最新中考数学选择填空压轴题专题复习三角形综合问题.docx
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最新中考数学选择填空压轴题专题复习三角形综合问题
最新中考数学专题复习--三角形综合问题
例1.如图所示,矩形ABCD中,AB=4,,点E是折线ADC上的一个动点(点E与点A不重合),点P是点A关于BE的对称点.在点E运动的过程中,使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
同类题型1.1如图,在钝角△ABC中,分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF,EM平分∠AEB交AB于点M,取BC中点D,AC中点N,连接DN、DE、DF.下列结论:
①EM=DN;②S四边形ABDN;③DE=DF;④DE⊥DF.其中正确的结论的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
同类题型1.2如图,D,E分别是△ABC的边BC,AC上的点,若∠B=∠C,∠ADE=∠AED,则( )
A.当∠B为定值时,∠CDE为定值B.当∠1为定值时,∠CDE为定值
C.当∠2为定值时,∠CDE为定值D.当∠3为定值时,∠CDE为定值
同类题型1.3如图,在△ABC中,,∠BAC=120°,点D、E都在边BC上,∠DAE=60°.若BD=2CE,则DE的长为______________.
例2.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,E为AB边上一点,∠BCE=15°,且AE=AD.连接DE交对角线AC于H,连接BH.下列结论:
①ACD≌△ACE;②△CDE为等边三角形;③EH=2EB;④.其中正确的结论是________.
同类题型2.1如图所示,已知:
点A(0,0),,0),C(0,1)在△ABC内依次作等边三角形,使一边在x轴上,另一个顶点在BC边上,作出的等边三角形分别是第1个,第2个,第3个,…,则第n个等边三角形的边长等于____________.
同类题型2.2如图,点P在等边△ABC的内部,且PC=6,PA=8,PB=10,将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C,连接AP',则sin∠PAP'的值为_________.
例3.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于E,交AC于F,过点O作OD⊥AC于D.下列四个结论:
①∠A;②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切;
③EF是△ABC的中位线;④设OD=m,AE+AF=n,则mn.其中正确的结论是( )
A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④
同类题型3.1如图所示,四边形ABCD中,DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2.则BD的长为( )
A.B.C.D.
同类题型3.2如图,在Rt△ABC中,BC=2,∠BAC=30°,斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动,下列结论:
①若C、O两点关于AB对称,则;②C、O两点距离的最大值为4;
③若AB平分CO,则AB⊥CO;④斜边AB的中点D运动路径的长为;
其中正确的是______________(把你认为正确结论的序号都填上).
同类题型3.3如图,直角△ABC中,∠B=30°,点O是△ABC的重心,连接CO并延长交AB于点E,过点E作EF⊥AB交BC于点F,连接AF交CE于点M,则的值为( )
A.B.C.D.
例4.如图,在△ABC中,4AB=5AC,AD为△ABC的角平分线,点E在BC的延长线上,EF⊥AD于点F,点G在AF上,FG=FD,连接EG交AC于点H.若点H是AC的中点,则的值为________.
同类题型4.1如图,已知是△ABC的中线,过点作∥AC交BC于点,连接交于点;过点作∥AC交BC于点,连接交于点;过点作∥AC交BC于点,…,如此继续,可以依次得到点,,…,和点,,…,,则=_________AC.
同类题型4.2如图,过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC,AB恰好平分∠DAC,AF平分∠EAC交BC的延长线于点F.在AF上取点M,使得AF,连接CM并延长交直线DE于点H.若AC=2,△AMH的面积是,则的值是___________.
例5.如图,△ABC的面积为S.点,,,…,是边BC的n等分点(n≥3,且n为整数),点M,N分别在边AB,AC上,且,连接,,,…,,连接NB,,,…,,线段与NB相交于点,线段与相交于点,线段与相交于点,…,线段与相交于点,则,,,…,的面积和是____________.(用含有S与n的式子表示)
同类题型5.1如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的B′处,点A对应点为A′,且B′C=3,则AM的长是( )
A.1.5B.2C.2.25D.2.5
同类题型5.2如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED,连CE,则线段CE的长等于( )
A.2B.C.D.
同类题型5.3如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B′始终落在边AC上,若△MB′C为直角三角形,则BM的长为____________.
同类题型5.4如图,在矩形ABCD中,∠B的平分线BE与AD交于点E,∠BED的平分线EF与DC交于点F,若AB=9,DF=2FC,则BC=_________________.(结果保留根号)
参考答案
例1.如图所示,矩形ABCD中,AB=4,,点E是折线ADC上的一个动点(点E与点A不重合),点P是点A关于BE的对称点.在点E运动的过程中,使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
解:
①BP为等腰三角形一腰长时,符合点E的位置有2个,是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点即是点P;
②BP为底边时,C为顶点时,符合点E的位置有2个,是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P;
③以PC为底边,B为顶点时,这样的等腰三角形不存在,因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点.
选C.
同类题型1.1如图,在钝角△ABC中,分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF,EM平分∠AEB交AB于点M,取BC中点D,AC中点N,连接DN、DE、DF.下列结论:
①EM=DN;②S四边形ABDN;③DE=DF;④DE⊥DF.其中正确的结论的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
解:
∵D是BC中点,N是AC中点,
∴DN是△ABC的中位线,
∴DN∥AB,且AB;
∵三角形ABE是等腰直角三角形,EM平分∠AEB交AB于点M,
∴M是AB的中点,
∴AB,
又∵AB,
∴EM=DN,
∴结论①正确;
∵DN∥AB,
∴△CDN∽ABC,
∵AB,
∴,
∴S_(四边形ABDN),
∴结论②正确;
如图1,连接MD、FN,
∵D是BC中点,M是AB中点,
∴DM是△ABC的中位线,
∴DM∥AC,且AC;
∵三角形ACF是等腰直角三角形,N是AC的中点,
∴AC,
又∵AC,
∴DM=FN,
∵DM∥AC,DN∥AB,
∴四边形AMDN是平行四边形,
∴∠AMD=∠AND,
又∵∠EMA=∠FNA=90°,
∴∠EMD=∠DNF,
在△EMD和△DNF中,
,
∴△EMD≌△DNF,
∴DE=DF,
∴结论③正确;
如图2,连接MD,EF,NF,
∵三角形ABE是等腰直角三角形,EM平分∠AEB,
∴M是AB的中点,EM⊥AB,
∴EM=MA,∠EMA=90°,∠AEM=∠EAM=45°,
∴,
∵D是BC中点,M是AB中点,
∴DM是△ABC的中位线,
∴DM∥AC,且AC;
∵三角形ACF是等腰直角三角形,N是AC的中点,
∴AC,∠FNA=90°,∠FAN=∠AFN=45°,
又∵AC,
∴FA,
∵∠EMD=∠EMA+∠AMD=90°+∠AMD,
∠EAF=360°-∠EAM-∠FAN-∠BAC
=360°-45°-45°-(180°-∠AMD)
=90°+∠AMD
∴∠EMD=∠EAF,
在△EMD和△∠EAF中,
∴△EMD∽△∠EAF,
∴∠MED=∠AEF,
∵∠MED+∠AED=45°,
∴∠AED+∠AEF=45°,
即∠DEF=45°,
又∵DE=DF,
∴∠DFE=45°,
∴∠EDF=180°-45°-45°=90°,
∴DE⊥DF,
∴结论④正确.
∴正确的结论有4个:
①②③④.
选D.
同类题型1.2如图,D,E分别是△ABC的边BC,AC上的点,若∠B=∠C,∠ADE=∠AED,则( )
A.当∠B为定值时,∠CDE为定值
B.当∠1为定值时,∠CDE为定值
C.当∠2为定值时,∠CDE为定值
D.当∠3为定值时,∠CDE为定值
解:
在△CDE中,由三角形的外角性质得,∠AED=∠CDE+∠C,
在△ABD中,由三角形的外角性质得,∠B+∠1=∠ADC=∠ADE+∠CDE,
∵∠B=∠C,∠ADE=∠AED,
∴∠B+∠1=∠CDE+∠C+∠CDE=2∠CDE+∠B,
∴∠1=2∠CDE,
∴当∠1为定值时,∠CDE为定值.
选B.
同类题型1.3如图,在△ABC中,,∠BAC=120°,点D、E都在边BC上,∠DAE=60°.若BD=2CE,则DE的长为______________.
解:
将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF,取CF的中点G,连接EF、EG,如图所示.
∵,∠BAC=120°,
∴∠ACB=∠B=∠ACF=30°,
∴∠ECG=60°.
∵CF=BD=2CE,
∴CG=CE,
∴△CEG为等边三角形,
∴EG=CG=FG,
∴∠CGE=30°,
∴△CEF为直角三角形.
∵∠BAC=120°,∠DAE=60°,
∴∠BAD+∠CAE=60°,
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°.
在△ADE和△AFE中,,
∴△ADE≌△AFE(SAS),
∴DE=FE.
设EC=x,则BD=CD=2x,DE=FE=6-3x,
在Rt△CEF中,∠CEF=90°,CF=2x,EC=x,
x,
∴x,
,
∴-3.
例2.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,E为AB边上一点,∠BCE=15°,且AE=AD.连接DE交对角线AC于H,连接BH.下列结论:
①ACD≌△ACE;②△CDE为等边三角形;③EH=2EB;④.其中正确的结论是________.
解:
①∵∠ABC=90°,AB=BC,
∴∠BAC=∠ACB=45°,
又∵∠BAD=90°,
∴∠BAC=∠DAC,
在△ACD和△ACE中,
,
∴△ACD≌△ACE(SAS);故①正确;
②同理∠AED=45°,∠BEC=90°-∠BCE=90°-15°=75°,
∴∠DEC=60°,
∵△ACD≌△ACE,
∴CD=CE,
∴△CDE为等边三角形.故②正确.
③∵△CHE为直角三角形,且∠HEC=60°
∴EC=2EH
∵∠ECB=15°,
∴EC≠4EB,
∴
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