山东省届高三数学新高考模拟试题卷四附答案解析.docx
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山东省届高三数学新高考模拟试题卷四附答案解析
山东省2021届高三数学新高考模拟试题卷四
第】卷
一、单项选择题:
本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给岀的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.集合zt={x|(x+l)(x-2)W0},B={x"v2},则)
A.[0,2]B.[0.1]C.(0,2]D.[-1.0]
2.若复数2=磊(1表示虚数单位)为纯虚数,则实数Q的值为()
A.1B.0C.—JD.—1
3.设佃}为公差不为0的等差数列,p,q,k,I为正整数,则“p+Q祿+/”是“如+他>蚣+刀”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
1
4.己知a=23,Z?
=log2yc=log]y贝lj()
A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a
5.据《孙子算经》中记载,中国古代诸侯的等级从低到高分为:
男、子、伯、侯、公,共五级.现有每个级别的诸侯各一人,共五人,要把80个橘子分完且每人都要分到橘子,级別每髙一级就多分加个(加为正整数),若按这种方法分橘子,“公”恰好分得30个橘子的槪率是()
Alb7c4d5
6・17世纪徳国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:
“几何学里有两件宝,一个是勾股左理,另一个是黄金分割.如果把勾股左理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿•”黄金三角形有两种,英中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为36。
的等腰三角形(另一种是顶角为108。
的等腰三角形).例如,五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,如图所示,在其中一个黄金HABC中,器=写2根据这些信息,可得sm234°=()
A
n/\c
3+迈
8C
7.已知Fi,円分别是双曲线C:
石一£=l(a>0,b>0)的左、右焦点,直线/为双曲线C的一条渐近线,用关于直线/的对称点F1在以用为圆心,以半焦距c为半径的圆上,则双曲线C的离心率为()
A.^2C・2D.3
8・已知厶购。
为等边三角形,动点P在以BC为直径的圆上,若^=久廷+心乙则2+2“的最大值为()
a.£B.1
二、多项选择题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.已知a>b^2.贝lj()
1211
A.b2<3b~aB・a3-\-b3>a2b-\~ab2C・ab>a+b
2abab
10.如图,已知矩形-15CD中,AB=2AD,E为边•毎的中点,将沿直线DE翻折成ZUlDE,若M为线段川C的中点,则厶诚在翻折过程中,下列说法正确的是()
A.线段的长是左值B.存在某个位宜,使DEA.A1C
C.点M的运动轨迹是一个圆D.存在某个位置,使⑷丄平而如DE
11.数学中的数形结合,也可以组成世间万物的绚丽画而.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物,曲线C:
3+尸尸=16疋V2恰好是四叶玫塊线.给出下列结论正确的是()
A.曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)
B.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2
C.曲线C用成区域的而积大于4兀
D.方程(W+护)3=16;6卫5,>0)表示的曲线C在第一象限和第三象限
12.已知函数7(x)=sm(ex+0)(6y>O)满足7(xo)=y(xo+l)=—专,且金)在(xo,xo+1)上有最小值,无最大值.则()
B.若:
xo=0,则y(x)=sin(2nx—号
C.金)的最小正周期为3
D.金)在(0,2019)上的零点个数最少为1346个
第II卷
三、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.为做好社区新冠疫情防控工作,需将六名志愿者分配到甲.乙.丙、丁四个小区开展工作,其中甲小区至少分配两名志愿者,其它三个小区至少分配一名志愿者,则不同的分配方案共有种.(用
数字作答)
14.己知函数y(x)=x+2cosx+>.,在区间[o,上任取三个数XI,X2,X3,均存在以金1),y(X2),7(X3)
为边长的三角形,则2的取值范围是.
15.设抛物线护=2px(p>0)的焦点为F(1.O),准线为/,过焦点的直线交抛物线于B两点,分别过
A,E作/的垂线,垂足为C,D,若屮忏4眄,贝心=,三角形CDF的面积为•
16.在三棱锥P-ABC中,底而-18C是以ztC为斜边的等腰直角三角形,且肋=2,Rl=PC=yf5,
PB与底而ABC所成的角的正弦值为刍则三棱锥P-ABC的外接球的体积为•
四、解答题:
本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)如图,在ZU5C中,C=j,ZABC的平分线肋交zlC于点D且tanZCBZ)=|.
(1)求sin2:
(2)若C4CB=2S.求-15的长.
18.(12分淮①剧1—加=3(g?
>0),②—3d—9=0,③$=,一2”+2这三个条件中任选一个,补充在下而问题中.
已知:
数列仗”}的前”项和为Sn,且ai=l,.
(1)求数列{心}的通项公式:
(2)对大于1的自然数小是否存在大于2的自然数加,使得⑴,血,切成等比数列・若存在,求加的最小值;若不存在,说明理由.
19.(12分)如图,在直角梯形J5CD中…4B//DC.Z.1BC=90°.AB=2DC=2BC.E为,毎的中点,沿DE将ZUDE折起,使得点d到点P位置,且PE丄EB.M为朋的中点,N是EC上的动点(与点DC不重合).
(1)证明:
平而丄平|fffP5C:
(2)是否存在点N,使得二而角B-EN-M的余弦值为晋,若存在,确泄N点位程:
若不存在,说明理由.
20・(12分)沙漠蝗虫灾害年年有,今年灾害特别大.为防范罕见眾发的蝗群迁飞入境,我国决定建立起多道防线,从源头上控制沙漠蝗群.经研究,每只蝗虫的平均产卵数y和平均温度x有关,现收集了以往某地的7组数据,得到下而的散点图及一些统计量的值.
产卵数/个
350-
•
300-
250-
20(1
150-
•
100-
•
5()一
••八温度代
i1A
-10
7F
10
203040
平均温度X,C
21
23
25
27
29
32
35
平均产卵数X个
7
11
21
24
66
115
325
777777
»)=192,Xvf=569・D讯=18542,工x7=5414,,=25.2848,»囚=
nflrinr\n
(—1?
)
733.7079.其中zt=\nyhz=7&
Iri丿
(1)根据散点图判断,y=a+bx§y=ce珂其中e=2.718-自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型?
(给岀判断即可,不必说明理由)并由判断结果及表中数据,求出y关于x的回归方程.(计算结果精确到小数点后第三位)
(2)根拯以往统汁,该地每年平均温度达到28°C以上时蝗虫会造成严重伤害,需要人工防治,其他情况均不需要人工防治,记该地每年平均温度达到28°C以上的概率为卩(0<严1)・
1记该地今后5年中,恰好需要3次人工防治的概率为金),求金)的最大值,并求岀相应的槪率p
2当金)取最大值时,记该地今后5年中,需要人工防治的次数为X,求X的数学期望和方差.
n
S(咼一X)©-y)
AAA
附:
线性回归方程系数公式b=-,a=v-bx.
£(卫-X)2
/"I
21・(12分)已知圆6工+尸=4,左点J(L0),P为平而内一动点,以线段廿为直径的圆内切于圆O,设动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点0(2,羽)的直线/与C交于E,F两点,已知点D(2,0),直线x=xo分别与直线DE,DF交于
S,T两点.线段ST的中点M是否在上直线上,若存在,求岀该直线方程;若不是,说明理由.
22.(12分)已知函数金)=/一ax—cosx,其中dGR
(1)求证:
当aW—l时,y(x)无极值点;
(2)若函数gx)=7(x)+ln(x+l),是否存在e使得0x)在x=0处取得极小值?
并说明理由.
1・答案:
A
解析:
求得J=[-l,2],B=[04),所以J05=[0,2],故选A.
2.答案:
D
解析:
设z=bitbER且bHO,
1I-
□=bi,得到l+i=—ab+bi,
1+ai
•*.1=—ab9且1=6,解得a=—1,故选D.
3・答案:
D
解析:
设等差数列的公差为d.
Op+aq>ak4~a14-(p—l)d+ai+(q—V)d
>ai+(k—l)d+ai+(/—1)〃
=>d[(p+g)—伙+7)]>0
显然由p-\-q>k-\rl不一定能推出ap+a^>ak+ai,
由ap+ag>a*+a/也不一定能推出p+q>k+l,
因此p-\-q>k+l是ap+ag>e+a/的既不充分也不必要条件,故选D.
4・答案:
C
解析:
设首项为"i,因为和为80,
所以5ai+㊁X5X4X?
n=80,故m=8—|ai.因为加,
因此"公”恰好分得30个橘子的概率是壬故选B6.答案:
C
解析:
由题可知厶1CE=72。
F宓如凸—1
AC
Kcos72。
一一7^■—~,cos144°=2cos272。
-1=-逅矜则sm234o=sm(144°+90°)=cos144。
=一耳乜故选C.
7・答案:
C
TFi,刃是双曲线C的左.右焦点,.•.Fi(—c,0),F2(c,0),
TFi关于直线/的对称点为F1,则F1为(x,y),
•yav+0bX—C••尿=_=^=一・^.
•••Fi在以Fz为圆心,以半焦距c为半径的圆上,
.•件}+d=d,
整理可得4,=民即2a=c9
.9.e=-=2,故选C.a
方法二:
由题意知1O|=|OF1|=|OF2|=|F/02|,
所以三角形F1F1F2是直角三角形,且ZF1F1F2=3O°,
又由焦点到渐近线的距离为4得iFi|=2i,
所以2b=tc,所以e=2.
故选C.
8.答案:
C
解析:
设△J5C的边长为2.不妨设线段BC的中点0为坐标原点,BC所在直线为X轴建立平面直角坐标系则点A(09羽)、B(-LO).C(1,O),
以线段BC为直径的圆的方程为*+护=1,
设点P(cos&,sin—,
则=(_],—a/5),=(1,—羽),=(cos09sin0—y[3)9
由于=几+“,
贝〔J—2+“=cos—羽2—羽“=sin0—羽,
因此,2+2“的最大值为舟.
故选C.
9.答案:
BC
解析:
对于A,因为a>b22,
所以b2-(3b-a)=(a-b)+b(b-2)>Q.
故A错误;
对于B,可通过作差证明,B正确;
当<7=10,b=2时,左边=右边=扌,
故D错误.
所以,选BC.
10.答案:
AC
解析:
对A,取CD中点F,
连接MF,BF.则MF〃DgBF//DE,
由ZA\DE=ZMFB,MF=^AYD为定值,FB=DE为定證、
由余弦定理可得
MB》=MF1^FB2-IMFFBcosZMFB,
所以FE为定值,A正确;
若B正确,即DE±AiC9由Z/ED=ZBEC=45。
可得DE丄C£\则DE丄平面AxEC.
所以DE丄AiE.而这与ZUi丄/送矛盾,故B错误;
因为E是定点,所以M在以E为圆心,⑷为半径的圆上,故C正确;
取CD中点F,连接MF,BF,
则AdF//DAi9BF//DE.
由面面平行的判定定理得平面〃平面AiDE.
即有⑷〃平面AiDE,可得D错误.
故选AC.
11.答案:
BD
解析:
(W+3今=16心2勺6(匸尹
解得《+护冬4(当且仅当*=护=2时取等号),则B正确;
将工+3,=4和(工+〕今=16ry联立,
解得x2=/=2,
即圆《+护=4与曲线C相切于点(迈,返),(―\/2,迈),(―\/2,—\/2),(迈,一返),则A和C都错误;
由q>0,得D正确.综上,选BD.
12.答案:
AC
解析:
(Xo,Xo+1)区间中点为Xo+刁
根据正弦曲线的对称性知右.+¥)=—1,
故选项A正确;
若xo=0,则夬xo)=V(xo+1)=—舟,
即sm(p=—y不妨取0=—§,此时Xx)=sin(27cv—彳),满足条件,
但/¥)=1为(0,1)上的最大值,不满足条件,
故选项B错误;
两式相减得即函数的周期7=77=3,
故C正确;
区间(0,2019)的长度恰好为673个周期,
当/0)=0时,即0=M(kGZ)时,
金)在开区间(0,2019)上篆点个数至少为673X2-1=1345,
故D错误.故正确的是AC.
13.答案:
660
解析:
若甲小区2人,乙、丙、丁其中一小区2人,共有C3C认j种,若甲小区3人,乙、丙、丁每小区1人,共有C詁1种,则不同的分配方案共有C3CiAj+CgAj=66O种.
14.答案:
(件誓,+8)
解析:
求导得f(x)=l—2sinx,令(x)=0,得x=?
又由題意知7(彳)
易得心昨=点)=¥+书+2,
=壬+/>0,
由此解得2的取值范围为>>羽一辛.
15.答案:
25
解析:
抛物线y^=2px(p>Q)的焦点为F(1.0),所以p=2,准线为x=-l,
设过焦点的直线方程为x=?
wv+l,
设A(xi.yi)♦5(x2♦旳),
'一b,=4x
/•vi>'2=—4①
又世]=40F|,yi=~4y2②
由①②解得yi=—4,必=]或h=4,j2=—1,
所以|仞|=网一划=5,
所以三角形CDF的面积为㊁X2X5=5.
解析:
如图,取2C中点O',
因为PA=PC=^5,AB=BC9所以2C丄PO9,AC丄O'B,所以丄平面POfB,所以平面PO‘B丄平面ABC,易知ZO‘BP即为朋与底面2BC所成的角或补角.
O'B=£、O1P=<3,所以在△(/PB中,ey+PB2—2pPBcosZO‘BP=©『,因为smZ(TBP=£当cosZO'BF=普时,求得PB=3,此时ZPCB=ZR1B=90°.
9tf故“为三棱锥PABC外接球直径,r=—:
当cosZO'BP=-晋时,求得PB=\,延长BO'交外接球于0,则为圆O'的直径,则△。
肿的外接圆直径为球的直径,由PO2=BO2+BP2-2BOBPcosZOBP
-2-2
球的直径为2R=/;“=回
smZOBP、
可求得心弩.
综上外接球的体积为竽或竺驴
17.解析:
⑴设ACBD=e,因为taii^=|,
又&W(0,号),故sin0=習,cos0=^^-,
则sinZJ5C=sin2&=2sinOcos0
故sm-4=sin^7r—(扌+20)
=sin(f+2&
»=^(sm20+cos26)
R「ip
⑵由正弦定理砧~smZABC即爺=普,所以兀=誓0
io5
又=爭||||=28,
所以||||=28^/2,所以JC=4<2,
T,ABACJBAC—.-乂由^mC=smZJBC*連'所UJB=5'25
18.解析:
方案一:
选条件①.
(1)由尿+i_尿=3,得{加}是公差为3的等差数列,由6=1,得a?
=l,则於=3〃一2,
又伽>0,所以&=a/3〃—2.
(2)根据ai,a”,a”成等比数列,
得到a^=aiam9即3〃—2=p3加—2,
则有加=3沪一4幵+2,因为wEN*且“22,
所以w=3w2-4/?
+2GN\
当n=2时,加込=6;
方案二:
选条件②.
⑴因为a^—artani—3%l9=0
0(宀+3)(伽一血i—3)=0,
因为a】=l,所以an—ani—3=0>
则仗”}是等差数列,则“=3“一2.
(2)要使得anan.亦成等比数列.
只需要於=4伽,即(3〃一2尸=3加一2,
则有加=3沪一4n+2,
因为z/GN4且”22,所以加=3〃2—4〃+2WNS
当”=2时,Z?
?
mm=6;
方案三:
选条件③.
177=1
⑴由Sw=7?
2—2?
;+2,得如=•
2”—3“M2
(2)要使得a】,a„,岛成等比数列,
只需要a%=aiGn,即(2“一3)2=2加一3,
则有m=2n2—6w+6,
因为z/GN4且幵$2,所以?
w=2w2-6h+6GN4,
当”=2时,Wmm=2.
19.解析:
(1)证明:
因为M丄肋,PE丄ED、EBCED=E.所以PE丄平面EBCD
又PEU平面PE瓦所以平面PEB丄平面EBCQ,
而ECU平面肪CD,BCIEB.
所以平面PBC丄平面PEB、
由PE=EB,PM=MBEMLPB.于是EM丄平面PEC.
又EMU平面EMV,所以平面EMV丄平面PBC.
(2)假设存在点N满足题意,取E为原点,
直线肪,ED,EP分别为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系Eaj-,不妨设PE=EB=2,显然平面BEV的一个法向量为ni=(O.O,l),
设BN=7n(0<}n<2)9
则=(1Q1),=(2,九0).
设平面EACV的一个法向呈为/i2=(x,v,z),
则由/12=^2=0,
(1,0,1)(x,v,z)=0fx+z=0
即[,即[,
u(2,加,0)(x,y,z)=0|_2x+w=0
故可取n2=(m9—2,—w)>
所以COS(/I1,"2〉=
〃2
mm
_(0t0tl)(w>~2>—m)—m
<2初2+4寸2加2+4’
依题意I活卜瞑
解得加=1W(O,2),此时N为PC的中点.
综上知,存在点M使得二面角EENM的余弦值为罟,此时N为BC的中点.
20.解析:
(1)根据散点图可以判断,y=ce必更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类
对y=ce必两边取自然对数,得lny=lnc+dx;
令z=lnv,a=lnc,b=d,得z=a+bx;
7__
X(Xr—x)(Zr—Z)f-1
因为="
工(X,—X)2
=z-x=3.612-0.272X27.429^-3.849:
所以2关于x的回归方程为=0.272x-3.849:
所以y关于X的回归方程为=eORy3.849
(2)①由Xp)=CT-(l-p)2,
得/(p)=C?
p2(l-p)(3—5p),
因为0<旷1,令f(p)>0,得3—5p>0,所以金)在(0,I)上单调递增,
在(I,1)上单调递减,
所以金)有唯一的极大值为7(|),也是最大值;所以当严丰时,几叽 p=|,所以X〜E(5,I),所以X的数学期望为£(^)=5x|=3,方差为刀3)=5x|x|=|. 21.解析: (1)设以为直径的圆的圆心为B,切点为N,则|0同=2-區纬••・OB\+\BA\=2. 取/关于y轴的对称点zf,连接J'P. 故屮P\+\AP\=2(\BO\+|BzlI)=4>2. 所以点P的轨迹是以2为焦点,长轴长为4的椭圆. 其中,67=2,c=l, 曲线C方程为普 (2)设直线/的方程为x=e+(2—羽少设E(xi,yi)♦Fgm),M(xo,yo)9直线DE的方程为,=芒舟一2),故J‘s=W^(xo—2),同理W=^±5(xo—2); 所以2yo=ys+yT=^-^XQ-2)+^Z^(xo—2),即鵲沽+応 =2®-羽©i+m)疗 t[y^2—也(yi+旳)+3]'、'」 护』=? +(2_归) 皆+4护一12=0 化简得(3*+4)护+(12『一6书卢)尹+9»—12羽『=0, U(6^3^-12/92-12萌『 所以H+]々=・•\卢+4,阳2=“32+4 代入③得, =~=—⑴二⑴xo+2vq—2y[3=0, 所以点M都在定直线⑴x+23‘一=0上. 22.解析: (1)证明: 对7(x)求导得/*(x)=*+sinx—a,显然*>0,sinx2—1, 所以W+sinx—a>0—1—a$0,即/*(x)>0, 所以Xx)在其定义域上是单调递增函数, 故只力无极值点; ⑵解法一: 对g(x)求导得 g'(x)=eX+#y-a+sinx(x>-1), 又注意到g'(0)=2—a,令g'(0)=2-a=0,得<7=2. 此时g'2+sinx, 令力(x)=g‘匕)=*+三了一2+sinx,则於(X)=*—(x+])2+cOSX,显然,在x£(0,彳)上,eY>l>(、;]F,cosx>0,此时hf(x)=*—(J乔+cosx>0,故力(x)在(0,¥)上是増函数,所以力(x)>力(0)=0, 即g'(x)=*+Wy-2+smx>0;又当xG(-l,0)时, 令s(x)=(x+l)? e\/(x)=(x+l)2cosx, 则s'(x)=(x+l)(・x+3)*>0, s(x)是(一1,0)上的增函数, 所以S(—l)vs(xZ(0),即(Xs(x)vl, 故存在区间(xi.O)C(-hO),使即*#T? 又0v(x+1)2<1,cosl 使 ,即cosQ莎帀, 现设(xi,O)n(x2,O)=(xo,O), 则在区间(XO,O)上,*>心;1)2'COSX%;1)2同时成立, 故力(x)在血0)上是増函数,/心)4(0)=0.从而存在区间(gO),使得g'(-V)=4-—24-siiix<0: 因此存在a=2,使得g(x)在x=0处取得极小值• 解法二: x=0是夬x)的极小值点的必要条件是f(0)=2—°,即。 =2一此时,g'(x)=eX+y^j—2+smx,显然当x曰0,号)时, g'(x)=ex+y^-2
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