获得奖券的金额(元)
30
60
100
130
根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠。
例如,购买价为
400元的商
品,则消费金额为320元,获得的优惠为:
400X+30=110(元)。
(1)购买一件标价为1000元的商品,顾客得到的优惠率是多少?
(2)对于标价在500WWK800(元)的商品,顾客购买标价为多少元商品,可得到不小
1
于丄的优惠率。
3
O为坐标原点,矩形ABCD勺边AD与x轴的正半轴重合,另三边
A(1,0),AB=2AD=3,点E为OD的中点,以AD为直径作OM
(1)求经过C、E两点的直线的解析式;
(2)如果点P同时在OM和矩形ABCD内部,求a的取值范围;
(3)过点B作OM的切线交边CD于F点,当PF//AD时,判断直线CE与y轴的交点是否在抛物线上,并说明理由。
17、把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起,使三角板DEF的锐角顶点D与
角板ABC的斜边中点O重合,其中ABCDEF90°,CF45°,
ABDE4,把三角板ABC固定不动,让三角板DEF绕点0旋转,设射线DE与射线AB相交于点P,射线DF与线段BC相交于点Q.
(1)如图1,当射线DF经过点B,即点Q与点B重合时,易证△APDCDQ•此
时,AP-CQ•
(2)将三角板DEF由图1所示的位置绕点0沿逆时针方向旋转如图2,设旋转角为•其中0°90°,问AP-CQ的值是否改变?
说明你的理由.
18、如图,在直角坐标系中,矩形
OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C在坐标轴上,
OA80cm,OC60cm.动点P从点O出发,以5cm/s的速度沿y轴匀速向点A运
动,至U达点A即停止•设点P运动的时间为t(s).
(1)过点P作对角线OB的垂线,垂足为点T•求OPT的面积y与时间t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(2)在点P运动过程中,当点O关于直线CP的对称点O恰好落在对角线OB上时,求此时直线CP的函数解析式;
(3)探索:
以C,P,T三点为顶点的ACPT的面积能否达
图1
图2
图3
9
到矩形OABC面积的?
请说明理由.
80
参考答案
pq
1、C,2•答案:
D,由比例性质,1p1qpq2pq
11pq2
1p1q
3、C,4、C,5、D,6、B,7、A,
8、D
9•答案:
m<18,由绝对值的几何意义知,函数y|xa||xb||ab|(ab)当且仅当
axb时等号成立,
•••yx1x2x10x11(x1x11)(x2x10)
|111||210118,当且仅当2x10时等号成立.
故由方程x1x2x10x11m无解,得m18•
10、y4.3x55.、3,11、135或371293,12、①②③
解:
在Rt△DCH中,CD=4,CH=CB-BH=2
•••/DCH=60,即/BCD=60,
1
在四边形EHCF中,又CH=EF=2CH//EF,CF=一CD=2,
2
•四边形EHCF是菱形,
111
-Sabeh=—BHXEB=—X1xEB=—EB,
222
11
Saceh=—CH?
EB=—X2XEB=EB
22
1
…S^BEb=_S^CEH.
2
以AB的直径的圆的半径为J3,而EF=2,RKEF.
所以AB为直径的圆与CD不相切于点F.
24
13、分析:
作F关于ABBC的对称点F'、F"
5
F"是一个菱形对边上的关于中心
13、
,作AC关于ABBC的对称线段,可以发现F',
是菱形的高•根据菱形的性质即可求岀解答:
解:
作F关于ABBC的对称点
B对称的对称点.容易发现,
DE+EF+FD勺最小值.
F'F"的最短距离就是菱形对边的距离,也就
F'、F"
贝UFD=FD,FE=F'E.de+ef+fd=de+fd+F'E.
两点之间线段最短,可知当F固定时,值就是线段F'F〃的长.
于是问题转化:
F运动时,F'F"什么时候最短.F',F"是关于B点对称的.
作AC关于ABBC的对称线段,可以发现F',F"是一个菱形对边上的关于中心B对称的对称点.
很容易发现,
£
产;
”严"厅
rC
■iI—j■"
"~'^s
■l-
F'F"的最短距离就是菱形对边的距离,也就是菱形的高.
4x3x4
-=5x.
2424
x=■,高是■,
A
DE+FD+F'E的最小
则①②③正确•故选B.
24
故DE+EF+FD勺最小值为,,
此时F在斜边上的高的垂足点,D、E在B点.
点评:
本题考查菱形的判定和性质及轴对称--最短路线问题的综合应用,有一定的难度.关键是确定F在斜
边上的高的垂足点,D、E在B点.
14、①5:
2;②21
解;①如圉,根据圆和正方形的对称性可如:
G時
H为半圆附圆心,不坊愎&H二小则GF=2a-
在直角三雋形FGH中,由勾般定理可得HF={5a.由此可得,半圆的半径対苹:
a,正方形辿长曲注,所以半圜的半径与正方形边《的叱是怎益2a=J?
;2;
②国%芷士飛DEFG的面积分100,所以芷方样DEFG边竖対1D.
崖接丘氣AE,01.OJ,
VAC.EC^©0的切线,
ACJ=CI)Z0JC=Z0IC=90n,
VZACB=9O'I
二四边形OICJ昙正方器,且边恋是缶
设RD二瓷‘AD=y)则吕D二二工,AD=AJ=y»
在直角三角J^AEC中,由勺般定理得(zM)45+4〕2=(”护2Q;
在直悄三歸那中,
'/ZAEB=90i・,ED±AB(
仁AADE^iBDE^AABEi
千杲得?
I1EDZ=AD*3D,即107=s'y②.
解①式和②式,得K+y-2b
即半圆的直^AB=21.
(2)商品的标价为x元,则
500x
800,消费额:
400
0.8x
640,由已知得
0.2x
601
或
⑴)
0.2x
1001
(I)x
3
x
3
400
0.8x500
500
0.8x640
不等式(I)无解,不等式(H)的解为625x750
因此,当顾客购买标价在625x750元内的商品时,可得到不小于
-的优惠率。
3
(2)AP・CQ的值不会改变.
理由如下:
在△APD与△CDQ中,AC45°
APD180°45°(45°a)90°a,CDQ
即APDCDQ,•••△APDCDQ
.APCD
…ADCQ
2
21
•APCCQADgCDAD—AC8
2
(3)情形1:
当0°a45°时,2CQ4,即2x
DPBQ,过D作DG丄AP于G,
DN
N,•
DGDN
2
由
(2)知:
AP^Q8得AP-
x
于是y
1
ABgAC
11
CQgDNAPgDG
22
8x
角板重叠部分为四边形
8
-(2
x
4,
90°
情形2:
当45°此时两三角板重叠部分为
8
△DMQ,由于AP,PB
x
-4,易证:
△PBMDNM,x
BMPB即BMPB解得BM2PB84x
MNDN2BM2
2PB4x
二MQ4BMCQ4x
84x
于是y1MQgDN4x84X(0x<2)
24x
OBAC602802100.1分
QPTOB,Rt△OPTsRt△OBA.
PTOP,即巴JL,二OT=4t.•••y=6t2……3分
ABOB60100
当点P运动到C点时即停止运动,此时t的最大值为80
5
所以,t的取值范围是0Wt<16.4分
(2)当o点关于直线AP的对称点O恰好在对角线OB上时,C,T,P三点应在一
条直线上(如答图2).5分
CP
OB,OCP
OBC.
RtAOPCSRt△COB
OP
OC宀
OP
45.
点P的坐标为(0,45)
....6分
OC
BC
设直线CP的函数解析式为
ykx
b.将点C(60,0)和点P(0,
45)代入解析式,得
450k
060k
b解这个方程组,得k
3
一?
4
5.
b.
b
4;
此时直线
CP的函数解析式是
y
3
x45.
4
45
t9时,A,
(3)由
(2)知,
当
T,
P三点在一条直线上,此时点
5
三角形.
故分两种情况:
••8分
C,T,P不构成
(i)当0t9时,点T位于△AOP的内部
(如图3)•过C点作CEOB,垂足为点E,
S^CPT
Sacop
Sacto
Saotp
160
15t4t
481
4t
3t
6t2
54t.
……10分
2
2
2
若S
Sacpt
9s,
S矩形OABC
则应有
6t2
54t
540,
2
即t
9t900
由BC^EOCgBC可得CE48.
此时,(9)241900,所以该方程无实数根.
所以,当
(ii)当
9
0t9时,以A,P,T为顶点的△APT的面积不能达到矩形OABC面积的
80
9t<16时,点T位于△COP的外部.(如图4)
S^cptcto
otpcop
6t2
54t.(12分)
若$△apt80S矩形OABC,则应有GF
80
54t
540,
即t29t90
0.
解这个方程,得
t115,t26
0
(舍去).
所以,当
15时,以C,
综上所述,当t15时,以C,P,T为顶点的
13、分析:
作F关于ABBC的对称点F'、F",作菱形对边上的关于中心B对称的对称点.容易发现,高•根据菱形的性质即可求出DE+EF+FD勺最小值.解答:
解:
作F关于ABBC的对称点F'、F"贝UFD=FD,FE=F'E.
de+ef+fd=de+fd+F'E.
两点之间线段最短,可知当F固定时,DE+FD+F'小值就是线段F'F〃的长.
于是问题转化:
F运动时,F'F"什么时候最短.
F',F"是关于B点对称的.
作AC关于ABBC的对称线段,可以发现F',F"是一个菱形对边上的关于中心B对称的对称点.
9
P,T为顶点的△APT的面积能达到矩形OABC面积的.
80
9
△APT的面积能达到矩形OABC面积的.
80
AC关于ABBC的对称线段,可以发现F',F"是一个
E的最
F'F"的最短距离就是菱形对边的距离,也就是菱形的
很容易发现,F'F〃的最短距离就是菱形对边的距离,也就是菱形的高.
4x3^4242424
—=5X,x=T,高是■,故DE+EF+FD勺最小值为T,
此时F在斜边上的高的垂足点,D、E在B点.
点评:
本题考查菱形的判定和性质及轴对称--最短路线问题的综合应用,有一定的难度•关键是确定
边上的高的垂足点,D、E在B点.
F在斜