专题勾股定理与特殊角.docx
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专题勾股定理与特殊角
专题勾股定理与特殊角
方法归纳:
解决非直角三角形的求值问题时,一般要做垂线构造含特殊角的直角三角形来处理。
一、直接运用300或450的直角三角形
1、如图,△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,若AC=3,
求AD的长.
2、如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,∠A=30°,CD=2,求AB的长.
3、如图,△ABC中,AD⊥BC于D,∠B=60°,∠C=45°,AC=2,求BD的长
00
二、作垂线构造30或45的直角三角形
4、如图,在△ABC中,∠B=45°,∠A=105°,AC=2,求BC的长.
(二)将750转化为450和300
5、如图,在△ABC中,∠ACB=75°,∠B=60°,BC=23,求S△ABC
6、如图,在△ABC中,∠B=45°,∠BAC=75°,AB=6,求BC的长.
专题运用勾股定理列方程
方法归纳:
运用勾股定理列方程是数形结合思想的体现一、直接用勾股定理列方程
1、如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB交CB于D,CD=3,BD=5,求AD的长.
2、如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,且∠CAD=2∠BAD,若BD=3,CD=8,求AB的长.
二、巧用“连环勾”列方程
3、如图,在△ABC中,AB=5,BC=7,AC=42,求S△ABC.
4、如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AC=3,BC=4,求AD的长.
5、如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AD=1,BD=4,求AC的长
6、如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CD=3,BD=4,求AD的长
专题勾股定理与折叠问题
方法归纳:
抠住折叠前后的对应线段、对应角相等,将有关线段转化到直角三
角形中用勾股定理来解决。
一、折叠三角形
1、如图,在△ABC中,∠A=90°,点D为AB上一点,沿CD折叠△ABC,点A恰好落在BC边上的A′处,AB=4,AC=3,求BD的长.
二、折叠长方形
2、如图,长方形ABCD中,AB=4,BC=5,F为CD上一点,将长方形沿折痕AF折叠,点D恰好落在BC上的点E处,求CF的长
3、如图,长方形ABCD中,AD=8cm,AB=4cm,沿EF折叠,使点D与点B重合,
点C与C'重合.
(1)求DE的长
(2)求折痕EF的长.
4、如图,长方形ABCD中,AB=6,AD=8,沿BD折叠使A到A′处DA′交BC于
F点.
(1)求证:
FB=FD
(2)求证:
CA′∥BD
(3)求△DBF的面积
三、折叠正方形
5、如图,正方形ABCD中,点E在边CD上,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,G为BC的中点,连结AG、CF.
(1)求证:
AG∥CF
(2)求DE的值.
CE
专题勾股定理与分类讨论
方法归纳:
在涉及到等腰三角形、直角三角形及三角形面积、高等问题时往往需要分类讨论
一、锐角和钝角不明时需分类讨论
1、在△ABC中,AB=AC=5,S△ABC.=7.5,求BC的长
2、在△ABC中,AB=15,AC=13,AD为△ABC的高,且AD=12,求BC
二、腰和底不明时需分类讨论
3、如图1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D为射线AC上一点,且△ABD是等腰三角形,求△ABD的周长.
三、直角边和斜边不明时需分类讨论
4、已知直角三角形两边分别为2和3,则第三边的长为_____________
5、在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=2,以AB为边向外作等腰直角三角形ABD,求CD的长
专题利用勾股定理逆定理证垂直
方法归纳:
证垂直的方法较多,用勾股定理的逆定理证垂直可实现由数向形的转化
1、如图,在△ABC中,点D为BC边上一点,且AB=10,BD=6,AD=8,AC=17,其求CD的长.
2、如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=2,BC=5,CD=5,AD=4,求S四边形ABCD
3、如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,AB=5,AC=13,AD=6,求BC的长.
4、已知△ABC中,CA=CB,∠ACB=α,点P为△ABC内一点,将CP绕点C顺时针旋转α得到CD,连AD.
(1)如图1,当α=60°,PA=10,PB=6,PC=8时,求∠BPC的度数
(2)如图2,当α=90°,PA=3,PB=1,PC=2时,求∠BPC的度数
专题a2b问题的证明
方法归纳:
将a,b转化成某等腰三角形的斜边与直角边是解此类问题的关键。
一、直接以a,b为边构造等腰直角三角形
1、如图,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°,M、N分别为AC、BD的中点,连
MN、ON.求证:
MN=2ON.
2、已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点,AE=CF,连DE、EF.
(1)如图1,若E、F分别在AB、AC上,求证:
EF=2DE
(2)如图2,若E、F分别在BA、AC的延长线上,则
(1)中的结论是否仍成立?
请说明理由.
二、利用等线段代换构造等腰直角三角形
3、如图,△ABD中,O为AB的中点,C为DO延长线上一点,∠ACO=135°,∠ODB=45°探究OD、OC、AC之间相等的数量关系.
4、如图,△ABD是等腰直角△,∠BAD=90°,BC∥AD,BC=2AB,CE平分∠BCD,
交AB于E,交BD于H.
求证:
(1)DC=2DA;
(2)BE=2DH
专题
ab
2c或
3c
问题的证明
方法归纳:
将a
b
2c
转化为
a
2b的问题,再转化到
300或
450的等腰直
角三角形中去解决此类问题。
1、如图1,△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,D为AB的中点,M、N分别为AC、BC上一点,且DM⊥DN.
(1)求证:
CM+CN=BD
(2)如图2,若M、N分别在AC、CB的延长线上,探究CM、CN、BD之间的数量关系式
2、已知∠BCD=α,∠BAD=β,CB=CD.
(1)如图1,若α=β=90°,求证:
AB+AD=AC
(2)如图2,若α=β=90°,求证:
AB-AD=AC
(3)如图3,若α=120°,β=60°,求证:
AB=AD=AC
(4)如图3,若α=β=120°,求证:
AB-AD=AC
专题勾股定理综合
(一)纯几何问题
方法归纳:
将研究的线段转化到一个直角三角形中去,是解决与勾股定理有关的综合题的关键。
1、已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,∠EDF=90°,DE交射
线AC于E,DF交射线CB于F.
(1)如图1,当AC=BC时,EF2、AE2、BF2之间的数量关系为__________(直接
写出结果);
2
2
2
之间的数量关系,并加以证明;
(2)如图2,当AC≠BC时,试确定EF
、AE、BF
(3)如图3,当AC≠BC时,
(2)中结论是否仍成立?
2、已知△OMN为等腰直角△,∠MON=90°,点B为NM延长线上一点,OC⊥OB,
且OC=OB.
(1)如图1,连CN,求证:
CN=BM;
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(2)如图2,作∠BOC的平分线交MN于A,求证:
AN+BM=AB
(3)如图3,在
(2)的条件下,过A作AE⊥ON于E,过B作BF⊥OM于F,EA、BF的延长线交于P,请探究AE2、BF2、AP2之间的数量关系式.
专题勾股定理综合
(二)与代数有关结合
方法归纳:
在坐标系中研究勾股定理的应用,充分体现数形结合的思想。
1、已知点A的坐标为(1,-3),∠OAB=90°,OA=OB.
(1)如图1,求点B的坐标;
(2)如图2,AD⊥y轴于D,M为OB的中点,求DM的长;
2、已知点A、B分别在x轴、y轴上,OA=OB,点C为AB的中点,AB=12.
(1)如图1,求点C的坐标
222
(2)如图2,E、F分别为OA上的动点,且∠ECF=45°,求证:
EF=OE+AF(3)在图2中,若点E的坐标为(3,0),求CF的长
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