概率论与数理统计知识点总结材料.docx
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概率论与数理统计知识点总结材料
第1章随机事件及其概率
(1)排列组合公式
Pm-m!
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
(m-n)!
Cm—m!
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
n!
(m_n)!
(2)加法和乘法原理
加法原理(两种方法均能完成此事):
m+n
某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n
种方法来元成,则这件事可由m+n种方法来元成。
乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):
mxn
某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n
种方法来元成,则这件事可由mxn种方法来元成。
(3)一些常见排列
重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)
顺序问题
(4)随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
(5)基本事件、样本空间和事件
在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有
如下性质:
1每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;
2任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用国来表示。
基本事件的全体,称为试验的样本空间,用0表示。
一个事件就是由0中的部分点(基本事件国)组成的集合。
通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是0的子集。
0为必然事件,?
为不可能事件。
不可能事件(?
)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,
必然事件(Q)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。
(6)事件的关系与运算
①关系:
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):
AuB
如果冋时有A匚B,B=A,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:
A-BA、B中至少有一个发生的事件:
AJB或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表
示为A-AB或者AB,它表示A发生而B不发生的事件。
A、B冋时发生:
A^B,或者ABa"1B=?
,则表示A与B不可能冋时发生,
称事件A与事件B互不相容或者互斥。
基本事件是互不相容的。
Q-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为
的事件。
互斥未必对立。
②运算:
结合率:
A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC
分配率:
(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)nC=(AC)U
A。
匕表示A不发生
(BC)
AUB
QOQO.
仃Ai=UAi
:
aCib,ATb=
德摩根率:
i二77
AUB二
设f、为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有-
个实数P(A),若满
足下列三个条件:
(7)概率
1°0
A2,…有
对于两两互不相容的事件A1
的公理化
CO
定义
P
UAi
=HP(Ai)
g丿
i:
4
常称为可列(完全)可加性。
则称P(A)为事件A的概率。
2°P©1)=P(^2)二…
P©n)
1=—。
n
(8)古典
设任一事件A,它是由⑷
…
⑷m组成的,则有
概型
P(A)={(d)U(co2)U…U(%)}=P(%)+p®)
+…+P®m)
mA所包含的基本事件数
一n一基本事件总数
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,冋时样本空
间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何
(9)几何
概型。
对任一事件A,
概型
讪=而。
其中L为几何度量(长度、面积、体积)
。
(10)加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当AB不相容P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)
当AB独立,P(AB)=P(A)P(B),P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB)
(11)减法
当BUA时,P(A-B)=P(A)-P(B)
公式
当A=Q时,P(B)=1-P(B)
(12)条件概率
定义设A、B是两个事件,且
P(A)>0
,则称P(AB)为事件A发生条件下,事
P(A)
件B发生的条件概率,记为P(B/A)=P(AB)。
P(A)
条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Q/B)=1二P(B/A)=1-P(B/A)
(13)乘法
公式
乘法公式:
P(AB)=P(A)P(B/A)
更一般地,对事件A,A,…An,若P(AA…An-1)>0,则有
P(A1A2...An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2...
An-1)
f0
(14)独立
性
1两个事件的独立性
设事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B),则称事件A、B是相互独立的。
若事件A、B相互独立,且P(A)>0,则有
P(B|A)=P(AB)=P(A)P(B)=p(b)
P(A)P(A)
若事件A、B相互独立,则可得到A与B、A与B、A与B也都相互
独立。
必然事件0和不可能事件?
与任何事件都相互独立。
?
与任何事件都互斥。
2多个事件的独立性
设ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件,
P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么AB、C相互独立。
对于n个事件类似。
(15)全概
公式
设事件B1,B2,…,Bn满足
1°B1,B2,,Bn两两互不相容,P(Bi)A0(i=1,2,,n),
n
AuUBi
2°7,
则有
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+…+P(Bn)P(A|Bn)。
全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题,全概率公式的题型:
将试验
可看成分为两步做,如果要求第二步某事件的概率,就用全概率公式;
(16)贝叶斯公式
设事件B1,B2,…,Bn及A满足
1°B1,B2,…,Bn两两互不相容,p(Bi)>0,i=1,2,…,n,
n
AuUBi
2°y,P(A)>0,
则
―…、P(Bi)P(A/Bi)
P(Bi/A)—,i=1,2,…no
乞P(Bj)P(A/Bj)
u
此公式即为贝叶斯公式。
P(Bi),(i=1,2,…,n),通常叫先验概率。
P(Bi/A),(i=1,2,…,
n),通常称为后验概率。
贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。
将试验可看成分为两步做,如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率,就用贝叶斯公式。
(17)伯努利概型
我们作了n次试验,且满足
每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生;
n次试验是重复进行的,即A发生的概率每次均一样;每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与
否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验。
用P表示每次试验A发生的概率,则A发生的概率为1-卩一q,用Pn(k)表
示n重伯努利试验中A出现k(。
兰k兰n)次的概率,
kknk
Pn(k)=CnPq,k=0,1,2,…,no
第二章随机变量及其分布
(1)离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量X的可能取值为X<(k=1,2,…)且取各个值的概率,即事件(X=Xk)的概率为
P(X=Xk)=Pk,k=1,2,…,
则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。
有时也用分布列的形
式给出:
XX1,X2,…,Xk,…
P(X=Xk)P1,P2,…,Pk,…。
显然分布律应满足下列条件:
□0
Zpk=1
(1)pkAO,k二1,2,…,
(2)7。
(2)连续型随机变量的分布密度
设F(X)是随机变量X的分布函数,若存在非负函数f(X),对任意实数X,有
X
F(x)=(x)dx
则称X为连续型随机变量。
f(x)称为X的概率密度函数或密度函数,简称概
率密度。
密度函数具有下面4个性质:
1、f(x2O。
2、亡f(x)dx=1。
3、P(nvX兰x2)=F(x2)—F(xj=广f(x)dx
4、P(x=a)=0,a为常数,连续型随机变量取个别值的概率为0
(3)离散与连续型随机变量的关系
P(X=x)拓P(xvXWx+dx)肚f(x)dx
积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X=xk)=pk在离散
型随机变量理论中所起的作用相类似。
(4)分布
设X为随机变量,x是任意实数,则函数
函数
F(x)二
=P(X兰x)
称为随机变量X的分布函数,本质上是一个累积函数。
P(a
分布函 数F(x)表示随机变量落入区间(-a,x]内的概率。 分布函数具有如下性质: 1° 0 兰F(x)兰1,+旳; 2° F(x)是单调不减的函数,即xicX2时,有F(xi)兰F(X2); 3° F (_oc)=limF(x)=0,F(+°°)=limF(x)=1; 4° F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的; 5° P(X=x)=F(x)—F(x—0)。 对于离散型随机变量,F(x)=送pk; x 对于连续型随机变量,F(x)=Jf(x)dx。 (5)八大 0-1分布 P(X=1)=p,P(X=0)=q 分布 二项分布 在n重贝努里试验中,设事件A发生的概率为p。 事件A发生的次 数是随机变量,设为X,则X可能取值为0,1,2,…,n。 P(X=k)=Pn(k)=C: pkqZ,其 中 q=1-p,0vpv1,k=0,1,2,…,n, 则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。 记为X~B(n,p)。 当n=1时,p(x=k)=pkqJ,k=0.1,这就是(0-1) 分布, 所以(0-1)分布是二项分布的特例。 泊松分布 设随机变量X的分布律为 k p(X=k)=—e"\丸>0,k=0,1,2…, k! 则称随机变量X服从参数为Z的泊松分布,记为X〜兀⑴或者 P(九)。 泊松分布为二项分布的极限分布(np=^,nTS)。 几何分布 P(X=k)=qp,k=1,2,3,…,其中p》0,q=1-p。 随机变量X服从参数为p的几何分布,记为G(p)。 均匀分布 设随机变量X的值只落在[a,b]内,其密度函数f(x)在[a,b]上 1 为常数1,即 b—a f1aWxWb f(x)=』b_a, [0,其他, 则称随机变量X在[a,b]上服从均匀分布,记为X〜U(a,b)。 分布函数为
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- 概率论 数理统计 知识点 总结 材料