第1节 集合.docx
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第1节集合
第1节 集 合
考试要求 1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题;2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义;
3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;5.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
知识梳理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法:
列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
(1)子集:
若对任意x∈A,都有x∈B,则A⊆B或B⊇A.
(2)真子集:
若A⊆B,且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则AB或
BA.
(3)相等:
若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
(4)空集的性质:
∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U,则集合A的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A,或x∈B}
{x|x∈A,且x∈B}
{x|x∈U,且x∉A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A.
(2)A∪A=A,A∪∅=A,A∪B=B∪A.
(3)A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A.
[常用结论与微点提醒]
1.若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.
2.子集的传递性:
A⊆B,B⊆C⇒A⊆C.
3.注意空集:
空集是任何集合的子集,是非空集合的真子集,应时刻关注对于空集的讨论.
4.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB.
5.∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
诊断自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.( )
(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( )
(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( )
(4)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( )
解析
(1)错误.空集只有一个子集.
(2)错误.{x|y=x2+1}=R,{y|y=x2+1}=[1,+∞),{(x,y)|y=x2+1}是抛物线y=x2+1上的点集.
(3)错误.当x=1时,不满足集合中元素的互异性.
答案
(1)×
(2)× (3)× (4)√
2.(新教材必修第一册P9T1
(1)改编)若集合P={x∈N|x≤
},a=2
,则( )
A.a∈PB.{a}∈P
C.{a}⊆PD.a∉P
解析 因为a=2
不是自然数,而集合P是不大于
的自然数构成的集合,所以a∉P,只有D正确.
答案 D
3.(老教材必修1P44A组T5改编)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R且y=x},则A∩B中元素的个数为________.
解析 集合A表示以(0,0)为圆心,1为半径的单位圆上的点,集合B表示直线y=x上的点,圆x2+y2=1与直线y=x相交于两点
,
,则A∩B中有两个元素.
答案 2
4.(2019·全国Ⅲ卷)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=( )
A.{-1,0,1}B.{0,1}
C.{-1,1}D.{0,1,2}
解析 因为B={x|x2≤1|}={x|-1≤x≤1},又A={-1,0,1,2},所以A∩B={-1,0,1}.
答案 A
5.(2019·全国Ⅱ卷改编)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},全集U=R,则(∁UA)∪B=( )
A.(-1,+∞)B.(-∞,2)
C.(-1,2)D.∅
解析 易知∁UA={x|x≤-1},B={x|x<2}.
∴(∁UA)∪B={x|x<2}.
答案 B
6.(2020·南昌调研)已知集合M={x|0 A.9B.8C.7D.6
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