届北京市东城区高三第二学期综合练习一 理科数学试题及答案.docx

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届北京市东城区高三第二学期综合练习一理科数学试题及答案

北京市东城区2017届高三第二学期综合练习

（一）

数学理试题

A4

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题3分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项．

1．已知集合，则（）．

A．B．或

C．D．

2．复数（）．

A．B．

C．D．

3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）．

A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度

4．设等差数列的前项和为，若，，则（）．

A．27B．36C．42D．63

5．在极坐标系中，点到直线的距离等于（）．

A．B．C．D．2

6．如图，在中，，，是的中点，则（）．

A．3B．4

C．5D．不能确定

7．若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（）．

A．2B．C．D．

8．已知符号函数则函数的零点个数为（）．

A．1B．2C．3D．4

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．的二项展开式中常数项为________．（用数字作答）

10．如图，是圆的直径，延长至，使，且，是圆的切线，切点为，连接，则________，________．

11．设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则的概率为________．

12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为______，不等式的解集为________．

13．某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有________种．（用数字作答）

14．如图，在三棱锥中，，，平面平面，为中点，点分别为线段上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为________．

三、解答题共6小题，共80分．

15．（本小题共13分）

在中，．

（1）求角的值；

（2）如果，求面积的最大值．

16、（本小题共13分）

某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：

小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间的有8人．

（1）求直方图中的值及甲班学生每天平均学习时间在区间的人数；

（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为，求的分布列和数学期望．

17、（本小题共14分）

如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，是中点，为上一点．

（1）求证：

平面；

（2）当为何值时，二面角为．

18、（本小题共13分）

已知函数，．

（1）当时，求的单调区间；

（2）已知点和函数图象上动点，对任意，直线倾斜角都是钝角，求的取值范围．

19、（本小题共13分）

已知椭圆过点和点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程．

20、（本小题共14分）

已知集合，若该集合具有下列性质的子集：

每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为子集，记子集的个数为．

（1）当时，写出所有子集；

（2）求；

（3）记，求证：

北京市东城区2017届高三第二学期综合练习

（一）

数学参考答案（理科）

一、选择题

1．C2．C3．D4．D

5．A6．B7．C8．B

二、填空题

9．10．；

11．12．；

13．2414．

三、解答题

15．（共13分）

解：

⑴因为，，

所以，．

因为．所以．

⑵因为，

所以，

因为，

所以，

所以（当且仅当时，等号成立），

所以，，

所以面积最大值为．

16．（共13分）

解：

⑴由直方图知，，

解得，

因为甲班学习时间在区间的有8人，

所以甲班的学生人数为，

所以甲、乙两班人数均为40人．

所以甲班学习时间在区间的人数为

（人）．

⑵乙班学习时间在区间的人数为（人）．

由⑴知甲班学习时间在区间的人数为3人，

在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，的所有可能取值为0，1，2，3．

，

，

，

．

所以随机变量的分布列为：

0

1

2

3

．

17．（共14分）

证明⑴因为平面，平面，

所以，

因为是矩形，所以．

因为，所以平面，

因为平面，所以，

因为，是中点，所以，

因为所以平面．

⑵解：

因为平面，，

所以以为坐标原点，、、所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，则，，，．

所以，．

设平面的法向量为，则

所以

令，得，，

所以．

平面的法向量为．

所以．

所以．

所以当时，二面角为．

17．（共13分）

解：

⑴当时，，定义域为，

↘

↗

所以当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．

⑵因为对任意，直线的倾斜角都是钝角，

所以对任意，直线的斜率小于0，

即，，

即在区间上的最大值小于1，

，．

令

①当时，在上单调递减，

，显然成立，所以．

②当时，二次函数的图象开口向下，

且，，

，，

故，在上单调递减，

故在上单调递减，，显然成立，所以．

⑶当时，二次函数的图象开口向上，

且，．

所以，当时，．

当时，．

所以在区间内先递减再递增．

故在区间上的最大值只能是或．

所以即所以．

综上．

19．（共13分）

解：

（Ⅰ）因为椭圆过点和点．

所以，由，得．

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）显然直线的斜率存在，且．

设直线的方程为．

由消去并整理得，

由，．

设，，中点为，

得，．

由，知，

所以，即．

化简得，满足．

所以．

因此直线的方程为．

（20）（共14分）

解：

（Ⅰ）当时，所以子集：

，，，，，，．

（Ⅱ）的子集可分为两类：

第一类子集中不含有，这类子集有个；

第二类子集中含有，这类子集成为的子集与的并，或为的单元素子集与的并，共有个．

所以．

因为，，

所以，，，，，．

（Ⅲ）因为，①

所以②

①②得

所以．