小学五年级的奥数题因数及倍数docx.docx
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因数与倍数相关习题
(1)
一、填空题
1.28的所有因数之和是_____.
2.用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法.
3.一个两位数,十位数字减个位数字的差是28的因数,十位数字与个位数字的积是24.这个两位数是_____.
4.李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种树667棵,如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____人.
5.两个自然数的和是50,它们的最大公因数是5,则这两个数的差是_____.
6.现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相
等,最多可分给_____个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个.
7.一块长48厘米、宽42厘米的布,不浪费边角料,能剪出最大的正方形布片_____块.
8.长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料,能锯成尽可能大的正方体木块
(不余料)_____块.
9.张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个,又以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出,如果他要赚得10元钱利润,那么他必须卖出苹果_____个.
10.含有6个因数的两位数有_____个.
11.写出小于20的三个自然数,使它们的最大公因数是1,但两两均不互
质,请问有多少组这种解?
12.和为1111的四个自然数,它们的最大公因数最大能够是多少?
13.狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛,狐狸每次跳41米,黄鼠狼每次跳23米,
24
它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔123米设有一个陷井,当它们
8
之中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米?
14.已知a与b的最大公因数是12,a与c的最小公倍数是300,b与c的最
小公倍数也是
300,
那么满足上述条件的自然数
ab
c共有多少组
?
,
(例如:
a=12、b=300、c=300,与a=300、b=12、c=300是不同的两个自然数
组)
———————————————答案——————————————————————
答案:
1.56
28的因数有1,2,4,7,14,28,它们的和为
1+2+4+7+14+28=56.
2.4
因105的因数有
105和1,35和3,21与
1,3,5,7,15,21,35,105
5,15与7.所以能拼成
能拼成的方形的与分是
4种不同的方形.
3.64
因28=227,所以28的因数有6个:
1,2,4,7,14,28.在数字
中,只有6与4之,或者8与3之是24,又6-4=2,8-3=5.
故符合目要求的两位数有64.
0,1,2,
⋯,9
4.28
因667=2329,所以班生每人种的棵数只能是667的因
数:
1,23,29,667.然,每人种667棵是不可能的.
当每人种29棵,全班人数是23-1=22,但22不能被4整除,不可能.
当每人种23棵,全班人数是29-1=28,且28恰好是4的倍数,符合
目要求.
当每人种1棵,全班人数是667-1=666,但666不能被4整除,不可能.
所以,一班共有28名学生.
5.40或20
两个自然数的和是50,最大公因数是
35,它的差分(45-5=)40,(35-15=)20,
5,两个自然数可能是
所以填40或20.
5和
45,15
和
[注]这里的关键是依最大公因数是
5的条件
将
50分拆为两数之和
:
50=5+45=15+35.
6.36,1,3.
要把梨36个、桔子108个分若干个小朋友,要求每人所得的梨数、桔子
相等,小朋友的人数一定是36的因数,又要是108的因数,即一定是36和108
的公因数.因要求最多可分多少个小朋友,可知小朋友的人数是36和108的
最大公因数.36和108的最大公因数是36,也就是可分36个小朋友.
每个小朋友可分得梨:
3636=1(只)
每个小朋友可分得桔子:
10836=3(只)
所以,最多可分得36个小朋友,每个小朋友可分得梨1只,桔子3只.
7.56
剪出的正方形布片的能分整除方形的48厘米及42厘米,所以
它是48与42的公因数,目又要求剪出的正方形最大,故正方形的是48与
42的最大公因数.
因48=2
2
22
3,42=2
37,所以48与42的最大公因数是
6.,最
大正方形的是
6厘米.由此可按如下方法来剪:
每排剪8,可剪7
共可剪(48
6)
(42
6)=8
7=56()正方形布片.
8.
200
根据没有余料的条件可知、和高分能被正方体的棱整除,即正方体的棱是180,45和18的公因数.了使正方体木尽可能大,正方体的棱是180、45和18的最大公因数.180,45和18的最大公因数是9,所以正方体的棱是9厘米.,180厘米可公成20段,45厘米可分成5段,高18厘米可分成2段.根木料共分割成(1809)(459)(189)=200棱是9厘米的正方体.
9.150
根据3与5的最小公倍数是15,老傅以5元15个苹果,又以6元出15个苹果,,他15个苹果与出利1元.所以他利10元必出150个苹果.
10.
16
含有6个因数的数,它的质因数有以下两种情况:
一是有5个相同的质因数连
乘;二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次,
如果用M表示含有6个因数
的数,用a和b表示M的质因数,那么
M
a5或M
a2
b
因为M是两位数,所以Ma5只有一种可能
M
5
,而Ma
2
=
=2
=
b就有以下15
种情况:
M22
3,M22
5,M22
7,
M
22
11,M
22
13,M
22
17,
M
22
19,M
22
23,M
32
2,
M
32
5,M
32
7,M
3211,
M52
2,M52
3,M72
2.
所以,含有6个因数的两位数共有
15+1=16(个)
11.三个数都不是质数,至少是两个质数的乘积,两两之间的最大公因数只能分别是2,3和5,这种自然数有6,10,15和12,10,15及18,10,15三组.
12.四个数的最大公因数必须能整除这四个数的和,也就是说它们的最大公因数应该是1111的因数.将1111作质因数分解,得
1111=11101
最大公因数不可能是1111,其次最大可能数是101.若为101,则将这四个数分别除以101,所得商的和应为11.现有
1+2+3+5=11,
即存在着下面四个数
101,1012,1013,1015,
它们的和恰好是
101(1+2+3+5)=10111=1111,
它们的最大公因数为101.所以101为所求.
13.黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是23与123的“最小公倍数”99,
4
8
4
即跳了99
11=9次掉进陷井,狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是
41
和123
的
4
4
2
8
“最小公倍数”99,即跳了99
9=11次掉进陷井.
2
2
2
经过比较可知,黄鼠狼先掉进陷井,这时狐狸已跳的行程是41
9=(米).
2
14.先将12、300分别进行质因数分解:
2
12=23
300=2
2
3
2
5
(1)确定a的值.依题意a只能取12或125(=60)或1225(=300).
(2)确定b的值.
当a=12时,b可取12,或12
5,或12
25;
当a=60,300时,b都只能取12.
所以,满足条件的a、b共有5组:
a
a
a
a
a
=12
=12
=12
=60
=300
b
b
b
b
b
=12,
=60,
=300,
=12,
=12.
(3)确定a,b,c的组数.
对于上面a、b的每种取值,依题意,c均有6个不同的值:
52,52
,
22,52
2
2
2
,即,,,,,
2
5
2
3,52
3,5
2
3
255010075150300.
所以满足条件的自然数
a、b、c
共有
5
(组)
6=30
因数与倍数相关习题
(2)
一、填空题
1.把20个梨和25个苹果平均分给小朋友,分完后梨剩下2个,而苹果还
缺2个,一共有_____个小朋友.
2.幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个,平均分给大班小朋友;结果糖多出7颗,饼干多出4块,桔子多出2个.这个大班的小朋友最多有_____
人.
3.用长16厘米、宽14厘米的长方形木板来拼成一个正方形,最少需要用这样的木板_____块.
4.用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体,至少需要这种长方体木块_____块.
5.一个公共汽车站,发出五路车,这五路车分别为每隔3、5、9、15、10分钟发一次,第一次同时发车以后,_____分钟又同时发第二次车.
6.动物园的饲养员给三群猴子分花生,如只分给第一群,则每只猴子可得
12粒;如只分给第二群,则每只猴子可得15粒;如只分给第三群,则每只猴子可得20粒.那么平均给三群猴子,每只可得_____粒.
7.这样的自然数是有的:
它加1是2的倍数,加2是3的倍数,加3是4的倍
数,加4是5的倍数,加5是6的倍数,加6是7的倍数,在这种自然数中除了1以外最小的是_____.
8.能被3、7、8、11四个数同时整除的最大六位数是_____.
9.把26,33,34,35,63,85,91,143分成若干组,要求每一组中任意两个数的最大公因数是1,那么至少要分成_____组.
10.210与330的最小公倍数是最大公因数的_____倍.
二、解答题
11.公共汽车总站有三条线路,第一条每8分钟发一辆车,第二条每10分钟发一辆车,第三条每16分钟发一辆车,早上6:
00三条路线同时发出第一辆
车.该总站发出最后一辆车是20:
00,求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻.
12.甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数,商是12.如果甲乙两数的差是18,则甲数是多少?
乙数是多少?
13.用5、15、11分别去除某一个分数,所得的商都是整数.这个分数
285620
最小是几?
14.有15位同学,每位同学都有编号,他们是1号到15号,1号同学写了一个自然数,2号说:
“这个数能被2整除”,3号说:
“这个数能被他的编号数整除.1号作了检验:
只有编号连续的二位同学说得不对,其余同学都对,问:
(1)说的不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?
(2)如果告诉你,1号写的数是五位数,请找出这个数.
———————————————答案——————————————————————
答案:
1.9
若梨减少2个,则有20-2=18(个);若将苹果增加2个,则有25+2=27(个),这样都被小朋友刚巧分完.由此可知小朋友人数是18与27的最大公因数.所以最多有9个小朋友.
2.36
根据题意不难看出,这个大班小朋友的人数是
115-7=108,148-4=144,74-2=72的最大公因数.
所以,这个大班的小朋友最多有36人.
3.56
所铺成正方形的木板它的边长必定是长方形木板长和宽的倍数,也就是长方形木板的长和宽的公倍数,又要求最少需要多少块,所以正方形木板的边长应是14与16的最小公倍数.
先求14与16的最小公倍数.
21614
87
故14与16的最小公倍数是287=112.
因为正方形的边长最小为112厘米,所以最少需要用这样的木板
112112=78=56(块)
1614
4.5292
与上题类似,依题意,正方体的棱长应是
9,6,7的最小公倍数,9,6,7
的最小公倍数是
126.所以,至少需要这种长方体木块
126
126
126=142118=5292(块)
9
6
7
[注]上述两题都是利用最小公倍数的概念进行“拼图”的问题,前一题是平面图形,
后一题是立体图形,思考方式相同,后者可看作是前者的推广.将平面问题推广为空间问题
是数学家喜欢的研究问题的方式之一.希望引起小朋友们注意.
5.
90
依意知,从第一次同到第二次同的是3,5,9,15
和10的
最小公倍数.
因3,5,9,15
和10的最小公倍数是90,所以从第一次同后
90分
又同第二次.
6.
5
依意得
花生粒数=12第一群猴子只数
=15第二群猴子只数
=20第三群猴子只数
由此可知,花生粒数是12,15,20的公倍数,其最小公倍数是60.花生粒数是60,120,180,⋯⋯,那么
第一群猴子只数是5,10,15,⋯⋯
第二群猴子只数是4,8,12,⋯⋯
第三群猴子只数是3,6,9,⋯⋯
所以,三群猴子的只数是12,24,36,⋯⋯.因此,平均分三群猴子,每只猴子所得花生粒数是5粒.
7.421
依意知,个数比2、3、4、5、6、7的最小公倍数大1,2、3、4、5、6、7的最小公倍数是420,所以个数是421.
8.999768
由意知,最大的六位数是3,7,8,11的公倍数,而3,7,8,11的最小公倍数是1848.
因48=541⋯⋯231,由商数和余数可知符合条件的最大六位数是
1848的
541倍,或者是999999与231的差.所以,符合条件的六位数是
999999-231=999768.
9.
3
根据目要求,有相同因数的数不能分在一
26=213,91=713,143=1113,所以,所分数不会小于3.下面出一种分方案:
(1)26,33,35;
(2)34,91;(3)63,85,143.
因此,至少要分成3.
[注]所求组数不一定等于出现次数最多的质因数的出现次数,如
15=35,21=3
7,
35=57,3,5,7各出现两次,而这三个数必须分成三组,而不是两组.
除了上述分法之外,有多种分法,下面再出三种:
(1)26,35;33,85,91;34,63,143.
(2)85,143,63;26,33,35;34,91.
(3)26,85,63;91,34,33;143,35.
10.77
根据“甲乙的最小公倍数甲乙的最大公因数=甲数乙数”,将210330分解因数,再行合有
210330=1
=1
=(235)(235711)
因此,它的最小公倍数是最大公因数的711=77(倍).
10.根据意,先求出8,10,16的最小公倍数是80,即从第一次三同出后,每隔80分又同.
从早上6:
00至20:
00共14小,求出其中包含多少个80分.
601480=10⋯40分
由此可知,20:
00前40分,即19:
20最后一次三同的刻.
12.甲乙两数分除以它的最大公因数,所得的两个商是互数.而两
个互数的乘,恰好是甲乙两数的最小公倍数除以它的最大公因数所得的商
——12.一的根据是:
(我以“”代表两数的最大公因数,以“倍”代表两数的最小公倍数)甲数乙数=倍
甲数乙数倍约
=,所以:
约约约约
甲数
乙数倍
甲数
乙数
约
约=约
,
约=12
约
将12成互的两个数的乘:
①12=43,②12=112
先看①,明甲乙两数:
一个是它最大公因数的4倍,一个是它最大公因数的3倍.
甲乙两数的差除以上述互的两数(即4和3)之差,所得的商,即甲乙两数的最大公因数.
18(4-3)=18
甲乙两数,一个是:
183=54,另一个是:
184=72.
7
再看②,18(12-1)=1,不符合意,舍去.
13.依意,所求最小分数M,
N
M
5
a
M
15b
M
1
c
N
28
=
N
=
1
20
=
56
N
即M
28
a
M
56
b
M
20
c
N
5
=
N
15
=
N
21
=
其中abc
整数
.
因M是最小
且abc
是整数
所以M是
5,15,21
的最小公倍数
N是
N
M=105=26
1
28,56,20的最大公因数,因此,符合条件的最小分数:
N4
4
14.
(1)根据2号~15号同学所述,将合数4,6,⋯,15分解因数后,
由1号同学果,行分析推理得出的.
4=22,6=2
3,8=23,9=32,10=2
5,12=22
3,14=2
7,15=3
5
由此不断定得不的两个同学的号是
8与9两个自然数(可逐次
排除,只有8与9足要求).
(2)1号同学所写的自然数能被
2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,1512个数
整除,也就是它的公倍数.它的最小公倍数是
3=60060
因为60060是一位五位数
号同学写的五位数是60060.
而这
12个数的其他公倍数均不是五位数
所以
1
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