人教版小学三年级数学第20讲 乘除法的运算律和性质.docx
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人教版小学三年级数学第20讲乘除法的运算律和性质
第20讲乘、除法的运算律和性质
我们在第1讲中介绍了加、减法的运算律和性质,利用它们可以简化一些加、减法算式的计算。
本讲将介绍在巧算中常用的一些乘、除法的运算律和性质,其目的也是使一些乘、除法计算得到简化。
1.乘法的运算律
乘法交换律:
两个数相乘,交换两个数的位置,其积不变。
即
a×b=b×a。
其中,a,b为任意数。
例如,35×120=120×35=4200。
乘法结合律:
三个数相乘,可以先把前两个数相乘后,再与后一个数相乘,或先把后两个数相乘后,再与前一个数相乘,积不变。
即
a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)。
注意:
(1)这两个运算律中数的个数可以推广到更多个的情形。
即多个数连乘中,可以任意交换其中各数的位置,积不变;多个数连乘中,可以任意先把几个数结合起来相乘后,再与其它数相乘,积不变。
(2)这两个运算律常一起并用。
例如,并用的结果有
a×b×c=b×(a×c)等。
例1计算下列各题:
(1)17×4×25;
(2)125×19×8;
(3)125×72;(4)25×125×16。
分析:
由于25×4=100,125×8=1000,125×4=500,运用乘法交换律和结合律,在计算中尽量先把25与4、把125与8或4结合起来相乘后,再与其它数相乘,以简化计算。
解:
(2)125×19×8
=(125×8)×19
=1000×19
=19000;
(3)125×72
=125×(8×9)
=(125×8)×9
=1000×9
=9000;
(4)25×125×16或
=25×125×2×8
=(25×2)×(125×8)
=50×1000
=50000,
25×125×16
=25×125×4×4
=(25×4)×(125×4)
=100×500
=50000。
乘法分配律:
两个数之和(或差)与一数相乘,可用此数先分别乘和(或差)中的各数,然后再把这两个积相加(或减)。
即
(a+b)×c=a×c+b×c,
(a-b)×c=a×c-b×c。
例2计算下列各题:
(1)125×(40+8);
(2)(100-4)×25;
(3)2004×25;(4)125×792。
解:
(1)125×(40+8)
=125×40+125×8
=5000+1000
=6000;
(2)(100-4)×25
=100×25-4×25
=2500-100
=2400;
(3)2004×25
=(2000+4)×25
=2000×25+4×25
=50000+100
=50100;
(4)125×792
=125×(800-8)
=125×800-125×8
=(125×8)×100-1000
=1000×100-1000
=1000×(100-1)
=99000。
2.除法的运算律和性质
商不变性质:
被除数和除数乘(或除)以同一个非零数,其商不变。
即
a÷b=(a×n)÷(b×n)(n≠0)
=(a÷m)÷(b÷m)(m≠0)
例3计算:
(1)425÷25;
(2)3640÷70。
解:
(1)425÷25
=(425×4)÷(25×4)
=1700÷100
=17;
(2)3640÷70
=(3640÷10)÷(70÷10)
=364÷7
=52。
(2)两数之和(或差)除以一个数,可以用这两个数分别除以那个数,然后再求两个商的和(或差)。
即
(a±b)÷c=a÷c±b÷c。
例如,(8+4)÷2=8÷2+4÷2,
(9-6)÷3=9÷3-6÷3。
此性质可以推广到多个数之和(或差)的情形。
例如
(1000-688-136)÷8
=1000÷8-688÷8-136÷8
=125-86-17=22。
(3)在连除中,可以交换除数的位置,商不变。
即
a÷b÷c=a÷c÷b。
在这个性质中,除数的个数可以推广到更多个的情形。
例如,
168÷7÷4÷3=168÷3÷4÷7=……
例4计算下列各题:
(1)(182+325)÷13;
(2)(2046-1059-735)÷3;
(3)775÷25;
(4)2275÷13÷5。
解:
(1)(182+325)÷13
=182÷13+325÷13
=14+25
=39;
(2)(2046-1059-735)÷3
=2046÷3-1059÷3-735÷3
=682-353-245
=84;
(3)775÷25
=(700+75)÷25
=700÷25+75÷25
=28+3=31;
(4)2275÷13÷5
=2275÷5÷13
=455÷13
=35。
3.乘、除法混合运算的性质
(1)在乘、除混合运算中,被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置。
例如,
a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a。
(2)在乘、除混合运算中,去掉或添加括号的规则去括号情形:
括号前是“×”时,去括号后,括号内的乘、除符号不变。
即
a×(b×c)=a×b×c,
a×(b÷c)=a×b÷c。
括号前是“÷”时,去括号后,括号内的“×”变为“÷”,“÷”变为“×”。
即
a÷(b×c)=a÷b÷c,
a÷(b÷c)=a÷b×c。
添加括号情形:
加括号时,括号前是“×”时,原符号不变;括号前是“÷”时,原符号“×”变为“÷”,“÷”变为“×”。
即
a×b×c=a×(b×c),
a×b÷c=a×(b÷c),
a÷b÷c=a÷(b×c),
a÷b×c=a÷(b÷c)。
(3)两个数之积除以两个数之积,可以分别相除后再相乘。
即
(a×b)÷(c×d)
=(a÷c)×(b÷d)
=(a÷d)×(b÷c)。
上面的三个性质都可以推广到多个数的情形。
例5计算下列各题:
(1)136×5÷8
=136÷8×5
=17×5=85;
(2)4032÷(8×9)
=4032÷8÷9
=504÷9=56;
(3)125×(16÷10)
=125×16÷10
=256×4
(4)2560÷(10÷4)
=2560÷10×4
=1024;
(5)2460÷5÷2
=2460÷(5×2)
=2460÷10
=246;
(6)527×15÷5
=527×(15÷5)
=527×3
=1581;
(7)(54×24)÷(9×4)
=(54÷9)×(24÷4)
=6×6=36。
练习20
用简便方法计算下列各题。
1.
(1)12×4×25;
(2)125×13×8;(3)125×56;(4)25×32×125。
2.
(1)125×(80+4);
(2)(100-8)×25;(3)180×125;(4)125×88。
3.
(1)1375÷25;
(2)12880÷230。
4.
(1)(128+1088)÷8;
(2)(1040-324-528)÷4;
(3)1125÷125;
(4)4505÷17÷5。
5.
(1)384×12÷8;
(2)2352÷(7×8);
(3)1200×(4÷12);
(4)1250÷(10÷8);
(5)2250÷75÷3;
(6)636×35÷7;
(7)(126×56)÷(7×18)。
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