三角形全等之截长补短讲义及答案.docx
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三角形全等之截长补短讲义及答案
三角形全等之截长补短(讲义)
Ø课前预习
1.尺规作图(不写作法,保留作图痕迹):
(1)已知线段a,b(
),作一条线段,使它等于a+b.
(2)已知线段a,b(
),作一条线段,使它等于a-b.
2.想一想,证一证
已知:
如图,射线BM平分∠ABC,点P为射线BM上一点,
PD⊥BC于点D,BD=AB+CD,过点P作PE⊥BA于点E.
求证:
△PAE≌△PCD.
Ø知识点睛
截长补短:
题目中出现__________________________时,考虑截长补短;截长补短的作用是____________________________________
___________________________________________________.
Ø精讲精练
1.已知:
如图,在△ABC中,∠1=∠2,∠B=2∠C.
求证:
AC=AB+BD.
2.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,点E为AB边上一点,且DE平分∠ADC,CE平分∠BCD.
求证:
CD=AD+BC.
3.已知:
如图,在正方形ABCD中,AD=AB,∠B=∠D=∠BAD=90°,E,F分别为CD,BC边上的点,且∠EAF=45°,连接EF.
求证:
EF=BF+DE.
4.已知:
如图,在△ABC中,∠ABC=60°,△ABC的角平分线AD,CE交于点O.
求证:
AC=AE+CD.
5.已知:
如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD交BD的延长线于点E.
求证:
CE
BD.
【参考答案】
Ø课前预习
1.略
2.证明:
如图
∵BM平分∠ABC,PD⊥BC,PE⊥BA
∴PE=PD,∠PEB=∠PDB=∠PDC=90°
在Rt△PBE和Rt△PBD中,
∴Rt△PBE≌Rt△PBD(HL)
∴BE=BD
∵BE=AB+AE
BD=AB+CD
∴AE=CD
在△PAE和△PCD中
∴△PAE≌△PCD(SAS)
Ø知识点睛
线段间的和差倍分;
把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系.
Ø精讲精练
1.补短法:
证明:
如图,延长AB到E,使BE=BD,连接DE.
∴∠E=∠3
∵∠ABC是△BDE的一个外角
∴∠ABC=∠E+∠3
∴∠ABC=2∠E
∵∠ABC=2∠C
∴∠E=∠C
在△ADE和△ADC中
∴△ADE≌△ADC(AAS)
∴AE=AC
∴AC=AB+BE
=AB+BD
截长法:
证明:
如图,在AC上截取AF=AB,连接DF.
在△ABD和△AFD中
∴△ABD≌△AFD(SAS)
∴∠B=∠AFD,BD=FD
∵∠B=2∠C
∴∠AFD=2∠C
∵∠AFD是△DFC的一个外角
∴∠AFD=∠C+∠FDC
∴∠FDC=∠C
∴DF=FC
∴BD=FC
∴AC=AF+FC
=AB+BD
2.
证明:
如图,在DC上截取DF=DA,连接EF.
∵DE平分∠ADC,CE平分∠BCD
∴∠1=∠2,∠3=∠4
在△ADE和△FDE中
∴△ADE≌△FDE(SAS)
∴∠A=∠DFE
∵∠A=∠B=90°
∴∠DFE=∠CFE=∠B=90°
在△CFE和△CBE中
∴△CEF≌△CBE(AAS)
∴CF=CB
∴CD=DF+FC
=AD+BC
3.
证明:
如图,延长FB到G,使BG=DE,连接AG.
∵∠ABC=∠D=90°
∴∠ABG=∠D=90°
在△ABG和△ADE中
∴△ABG≌△ADE(SAS)
∴∠3=∠2,AG=AE
∵∠BAD=∠1+∠2+∠EAF
=90°
∠EAF=45°
∴∠1+∠2=45°
∴∠1+∠3=45°
即:
∠GAF=∠EAF=45°
在△EAF和△GAF中
∴△EAF≌△GAF(SAS)
∴EF=GF
∴EF=BG+BF=BF+DE
4.证明:
如图,在AC上截取AF=AE,连接OF.
∵AD,CE分别是△ABC的角平分线
∴∠1=∠2,∠3=∠4
在△AEO和△AFO中
∴△AEO≌△AFO(SAS)
∴∠5=∠6
在△ABC中,∠B=60°
∴∠1+∠2+∠3+∠4=120︒
∴∠2+∠3=60︒
∵∠5是△AOC的一个外角
∴∠5=∠2+∠3=60︒
∴∠8=∠5=60︒
∠6=∠5=60°
∠7=180°-∠5-∠6=60°
∴∠7=∠8
在△CFO和△CDO中
∴△CFO≌△CDO(ASA)
∴CD=CF
∴AC=AF+CF
=AE+CD
5.
证明:
如图,延长CE交BA的延长线于F.
∵CE⊥BD
∴∠BEC=∠BEF=90°
∵BD平分∠ABC
∴∠1=∠2
∴∠F=∠BCE
∴BC=BF
∴EF=EC=
CF
∵∠BAC=90°,∠BEC=90°
∴∠1+∠4=90°,∠3+∠5=90°
∵∠4=∠5
∴∠1=∠3
∵∠BAC=90°
∴∠BAD=∠CAF=90°
在△BAD和△CAF中
∴△BAD≌△CAF(ASA)
∴BD=CF
∵CE=
CF
∴CE=
BD
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