1992考研数三真题及解析.docx
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1992考研数三真题及解析
1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上•)
设商品的需求函数为2=100-5P,其中0.P分别表示为需求量和价格,如果商品需
求弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范用是
级数若卄的收敛域为
设A为W阶方阵,B为“阶方阵,且A=aC=
将UUE'EINA等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词SCIENCE的
概率为.
选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分•在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的■把所选项前的字母填在题后的括号内•)
设F(x)=—中/(X)为连续函数,则limF(x)等于
x-aI
(A)a-
(C)0(D)不存在
当xtO时■下而四个无穷小量中,哪一个是比貝他三个更髙阶的无穷小量?
(B)
⑷JV-
I—cos%
A的列向量线性相关
A的行向量线性相关
设A为///X«矩阵■齐次线性方程组Av=O仅有零解的充分条件是(A)A的列向量线性无关(B)
(0A的行向量线性无关(D)
设当事件A与B同时发生时,事件C必发生,则
设“个随机变量X”独立同分布,D(X,)=(T\X=-yX..
5'=—y(x,-x)\则
(0S是<7的相合估计量(即一致估讣量)(D)S与X柑互独立
三、(本题满分5分)
*
Incos(x-l)十1
ATM1、
设函数/(")={I-sin|.v问函数/(X)在x=l处是否连续?
若不连续,修
改函数在x=l处的定义使之连续.
Y7
设z=sin(xy)+(p(x,—},求,苴中仇匕v)有二阶偏导数.
ydxdy
(本题满分5分)
求连续函数/(X),使它满足/(X)+=X-
求证:
当x>l时,arctanx——arccos—=—
2I+X-4
设曲线方程y=e-\x>0).
得一旋转体,求此旋转体体积y(§);求满足V(«)=-Iim卩(§)的a.
C一*、亠
⑴把曲线y=«二X轴,y轴和宜线x=^(^>0)所帀成平而图形绕X轴旋转一周,
2一
(2)在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平而图形的而积最大,并求出该而积・九.(本题满分7分)
设矩阵a^B相似,其中
•-200"
"-10o'
A=
2x2
、B=
020
31I
00y
(1)求大和y的值.
⑵求可逆矩阵P,使得P-'AP=B,十.(本题满分6分)
已知三阶矩阵3HO,且B的每一个列向量都是以下方程组的解:
X,+2兀2_2x、=0,2儿-X,+几兀3=°,3X|+x?
_X3=°・
(1)求兄的值;
(2)证明B=O・
卜一、(本题满分6分)
十二.(本题满分7分)
假设测量的随机误差X~7V(0J0'),试求100次独立重复测量中,至少有三次测量误差
的绝对值大于19・6的概率◎,并利用泊松分布求出a的近似值(要求小数点后取两位有效数字).
[附表]
0.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001
十三、(本题满分5分)
一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的槪率相应为0.10,0.20和
0.30.假设%部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部件数,试求X的数学期望EX和方差QX.
十四、(本题满分4分)
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
g"0 0,其他, ⑴求随机变量X的密度办(X); (2)求概率P{x+y 1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一.填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分•)⑴【答案】(10,20] 【解析】根据e(P)=I00-5P>0.得价格P<20,又由2=100-5P得0(P)=-5, 按照经济学需求弹性的世义,有 Q(P)100-5P 所以商品价格的取值范用是(10,20]. (2)【答案】(0.4) 【解析】丙题设的幕级数是缺项幕级数,故可直接用比值判别法讨论苴收敛性.首先当x-2=0即X=2时级数收敛. 当X工2时,后项比前项取绝对值求极限有 (x-Tc 当——<1,即当0 4 又当x=O和x=4时得正项级数工一,由P级数: 丫一当">1时收敛: 当pMl时发散."■I"心" 综合可得级数的收敛域是(0,4)• 敛性• 【相关知识点】收敛半径的求法: 如果P=lim 两项的系数,则这幕级数的收敛半径 P +0 0, 0 ⑶【答案】f{x.y}dy 【解析】这是一个二重积分的累次积分,改换积分次序时,先表成: 原式=口f(x.y)dxdy. D 由累次积分的内外层积分限确定积分区威D: £)={aQ)|O 从而画出D的图形如图中的阴影部分,从图形可见D=9+/)2,且 q={(x,y)|OMx 所以/(2')必=[〃寸;/(兀刃心+]0必『^/(%,y)dy. ⑷【答案】(一1严" 【相关知识点】两种特姝的拉普拉斯展开式: 设A是W阶矩阵,3是《阶矩阵,则 AO A* OA *A / = =AB. = =(-lA・B *B OB B* BO \/ ⑸【答案】巫 【解析】按古典概型求出基本事件总数和有利的基本事件即可. 设所求概率为PG4),易见,这是一个古典型概率的计算问题,将给出的七个字母任意排 成一行,加全部的等可能排法为7! 种,即基本事件总数为«=7! 而有利于事件A的样本点2*21 数为2! ・2h即有利事件的基本事件数为4,根据古典槪型公式P(A)=—=—. 7! 1260 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分•) (1)【答案】(B) 【解析】方法1: limF(x)为“2”型的极限未泄式,又分子分耳在点0处导数都存在,0 所以可应用洛必达法则. 故应选(B). 方法2: 特姝值法・ 取f(x)=2,则limF(x)=lim「2"=2/.A-*nj-wT牙—aJa 显然(A),(C),(D)均不正确,故选(B). 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式: 若F⑴=0(讣,^⑴,0(0均一阶可导,则 F⑴=0⑺•/[AO]-N(f)•/[刃)〕. (2)【答案】(D) 【解折】由于20时,1-8S“討,心-1一尹故宀_沁,7匚7-是同阶无穷小,可见应选(D). (3)【答案】(A) 【解析】齐次方程组Ax=0只有零解0/04)=几 由于r(A}=A的行秩=A的列秩,现A是/«X«矩阵,r(A)=«.即A的列向量线性无 关•故应选(A). 【相关知识点】对齐次线性方程组Ay=0,有世理如下: 对矩阵A按列分块,有A=…,3)则山=0的向量形式为 A,a,+Xj%+…+兀匕=0. 那么,Ax・=0有非零解OQiC? …线性柑关 (4)【答案】(B) 【解析】依题意: 由“当事件A仃〃同时发生时,事件C必发生"得出ABuC,故 P(AB) 由概率的广义加法公式P(A\JB}=P(A)+P{B)-P(AB}推出 P(AB)=P{A}+P(B)-P{AUB): 又由概率的性质P(AUB)<1,我们得出 P(C)>P(AB)=P(A)+P(3)-P(AUB)>P(A)+P(B)-1, 因此应选(B). (5)【答案】(0 【解析】根据简单随机样本的性质,可以将X|,X2X“视为取自方差为b,的某总体 X的简单随机样本,X与s? 是样本均值与样本方差. 由于样本方差W是总体方差的无偏估计量,因此ES'^SESHb,否则若ES=6则(ES)-= 对于正态总体•5相互独立,由于总体X的分布未知,不能选(D)•同样因总体分布未知,也不能选(B)•综上分析,应选(C)•进一步分析,由于样本方差L是b? 的一致估计量,其连续函数5=后一定也是<7的一致估计量. Juv'dx=«v-Ju'vdx,或者Jitcfv=itv—Jvdu 五、(本题满分5分) 【解析】这是带抽象函数记号的复介函数的二阶混合偏导数,重要的是要分淸函数是如何复合的• 由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关加本题可以先求筹再求詁令. 由复合函数求导法,首先求z;p由题设Z;=vcos(Ay)+e;+—卩: y 再对y求偏导数,即得 =cos(xy)一Qsin(xy)+(好);+一(卩: );--©;'y八y… fx z、, X =cos(A>')-xysin(与)+外一 A>Jv XXI =cos(小)-Aysin(xy^)--百%一一g—r©"y">'"y"■ 【相关知识点】多元复合函数求导法则: 如果函数u=(p(x.ylv=y/(x.y)都在点(儿y)具有对X及对y的偏导数,函数z=/(",y)在对应点("「)具有连续偏导数,则复合函数 Z=f{ 0Zdzdudzdvz&i.dv dzdzdudzdvdu“dv =1=Ji.dydudydvdydy"dy 6.(本题满分5分) 【解析】两端对X求导,得f(x)+2/(x)=2x•记P(x)=2.Q(x)=2x,有通解 /(X)="”⑷划g)JP"%+C)=产(J2加djc+C)=C产+x-i,次中c为任意常数. 由原方程易见/(0)=0.代入求得参数C=-•从而所求函数/(x)=-e--^+x一一 222 【相关知识点】一阶线性非齐次方程y+P(%)y=e(x)的通解为 Jx+cY其中C为任意常数. 7.(本题满分6分) 【解析】方法h令/(X)=arctanx-—arccos—-—,则 21+.L4 心―•峠斗T). 1+x'2(X'-1)(1+%')" 因为/(X)在[1,4-0)连续,所以/(X)在[1,乜)上为常数,因为常数的导数恒为a故/W=/(I)=0,即arctanx-—arccos=ZL. 2I+x'4 方法2: 令f(X)=arctanx--arccos-—>则/(x)在[1」]上连续,在(1*)内可导, 21+X'4 由拉格朗日中值;^理知,至少存在一点纟€(1丿),使得 /(X)-/⑴二广(§)(—1)・ 由复合函数求导法则,得二卜。 心)' 所以/(x)=/(I).由/ (1)=0可得,当%>1时,arctanx-—arccos—=— 2I+X"4 【相关知识点】复合函数求导法则: 如果H=g(x)在点X可导,而>=/(X)在点it=g(x)可导,则复合函数y=f[g{x)] 八、(本题满分9分) 【解析】对于问题 (1),先利用世枳分求旋转体的公式求U(§),并求出极限limV(§)・问题 (2)是导数在求最值中的应用,首先建立目标函数,即面积函数,然后求最大值. (1)将曲线表成y是X的函数,套用旋转体体积公式 V(^)=;r£y-dx=龙£宀仪=-(1-严)“⑺)=-(1一产), ""22 limV(4)=lini—(1一0・")=—. ”49一<22 由题设知兰(1Y亠)=兰,得《=bn2, 2 ⑵过曲线上已知点(心儿)的切线方程为〉'一儿=£0-如),其中当『(兀)存在时, k=yg・ 设切点为a严),则切线方程为y-«"=-严(大-4)・ 令x=0,得,=£・“(1+«),令y=0,得X=l+"・ 由三角形而积iT算公式,有切线与两个坐标轴夹的面积为S=-(l+a)-e-\ 2 因匸=(1+4)厂一丄(1+")2^>・“=丄(1一/)严,令S'=(X得q=l心=一1(舍去)• 22■ 由于当《<1时,y>o;当(/>1时,s' 故所求切点是(》),最大而积为"尹宀2宀 【相关知识点】由连续曲线y=/(x).直线x=a.x=b及X轴所用成的曲边梯形绕X轴旋转一周所得的旋转体体积为: V=;r£f-(x)dx. 9.(本题满分7分) 【解析】因为A-B,故可用相似矩阵的性质建立方程组来求解参数X和y的值•若 P-'AP=A.则A是A的特征向量•求可逆矩阵P就是求A的特征向量. ⑴因为A〜B,故英特征多项式相同,即2£-A=/l£-BJiP (/l+2)[F-(x+l)zl+(x-2)]=(/l+l)M-2)(2-y)・ 由于是2的多项式,由A的任意性, 由上两式解出y=-2^x=0. •-2 0 o' "-1 0 o" (2)由 (1)知 2 0 2 0 2 0 3 I 1 0 0 -2 因为B恰好是对角阵,所以马上可得出矩阵A的特征值,矩阵A的特征值是 ■100" "10o" 当人=一1时,由(一E-A)x=O, -2-I-2 -> 012 -3-1-2 000 +x(本题满分6分) 【解析】对于条件AB=0应当有两个思路: 一是B的列向量是齐次方程组yU・=0的解: 另 一个是秩的信息即r(A)+r(B)<«.要有这两种思考问题的意识. 可逆■从而S十⑷)=屮0=0,这打BH0矛盾.故 得到属于特征值;l=-l的特征向量q=(0,-2」f• 4 0 0 1 0 0 当/U=2时,由(2E-A)x=0, -2 2 -2 —> 0 1 -1 -3 -1 I 0 0 0 得到属于特征值2=2的特征向量J= (0,1,1 y. "0 0 o' "1 1 1" 当/? 3=-2时,由(一2E-A)x=0, -2 -2 -2 -> 0 1 0 -3 -1 -3 0 0 0 得到属于特征值/1=-2的特征向量函=(10-1人 12-2 |a|=2-1几 31-1 以下同方法一. ⑵反证法: 对于AB=O.若网HO,则3可逆,那么4=(仙)歹"=0肝=0•与已知条件AH0矛盾•故假设不成立,|B|=0. 【相关知识点】对齐次线性方程组Av=O,有过理如下: 对矩阵A按列分块,有A=(q,a2•…,q)则Ai・=O的向量形式为 W)+W2+・・・+g=°・ 那么,Ax・=O有非零解oqc2,…,e,线性相关 O・・••%『)<«0厂(4)<儿 对矩阵3按列分块,记B=(久角虫),那么 ab=ag%02,A)=(aAM02M03)=(oQO)・ 因而AA=O/=(123),即a是Ax・=O的解. 十一、(本题满分6分) 【解析】在证明一个矩阵是正定矩阵时,不要忘记验证该矩阵是对称的.方法1: ;^^义法・ 因为A、B均为正;^矩阵,由正定矩阵的性质,故A^=A.B^=B.那么 A0、 r 2o] 'AO' 、°B) 、0Bl 0B \z L= =c,即c是对称矩阵. 设加+〃维列向量zr=(x「,T),其中若ZHO,则XM不同时为a不妨设XHO,因为A是正圧矩阵,所以XUx>o・ 又丙为B是正定矩阵,故对任意的"维向量y,恒有y'ay>g.于是 即Z'CZ是正定二次型,因此C是正泄矩阵. 方法2: 用正定的充分必要条件是特征值大于0,这是证明正定时很常用的一种方法• 因为A、B均为正总矩阵,由正定矩阵的性质,故#==B, 'a0、 T F0> 'A0、 、0B, 、0刃丿 、0艮 那么C'= =C,即C是对称矩阵. 设A的待征值是备人■九,B的特征值是付…,儿.由A3均正屯知 入>0•“丿>0(j=12・・・.〃? J=12…/)•因为 2E-C= =(2-人)…(2-血)(兄一“)…(兄 于是■矩阵C的特征值为知易,…乂八刈丿仆…,血. 因为C的特征值全大于0,所以矩阵CiEzk. 十二.(本题满分7分) 【解析】设事件A=“每次测量中测量误差的绝对值大于19.6",因为X~N(OJO2),即 EX=“=0,DX=y=101根据正态分布的性质则有: =! -? •-1.96<春<1.96}=1—[①(1.96)-①(一1.96)]=l-[e(l・96)-(l-e(l・96))]=2-2e(l・96)=2[(l-e(l・96)]=0・05・ 设y为100次独立重复测量中事件A出现的次数,则r服从参数为«=100,P=0,05 的二项分布•根据二项分布的定义,P(y=/c}=C^//(l-pr^(k=0丄2…),则至少有三 次测量误差的绝对值大于19.6的概率”为: a=PlY>3]=\-P{Y<3}=\-P{Y=Q]-P{Y=i}-P{Y=2} =1-%0・05"(1-0・05)甌-C;ooO・O5i(l-O・O5严一CLO・O52(1-O・O5严=1-0・95)8-100x0・95'刃xO・O5-1^x99xO95性Oal 2 根据泊松世理,对于成功率为"的畀重伯努利试验,只要独立重复试验的次数”充分大, 而〃相当小(一般要求/1>100,/7<0.1),则英成功次数可以认为近似服从参数为的泊松分 布,具体应用模式为若y-BG.p),则当《充分大,P柑当小时当y近似服从参数为a=W 设y为100次独立重复测量中事件A出现的次数,则y服从参数为«=100,/? =0.05的 二项分布•故 a=P{r>3)=i-p(y<3}=1-P{Y=o}-P{y=i}-P{y=2} 5-型宀-型0-兀-空e-人=1加"-兰0-人 0! 1! 2! 2 十三、(本题满分5分) 【解析】令随机变量 1,第,个部件需调整,•宀r (=1,2,3. 0,第f个部件不需调整, 依题意X|,X2.X3相互独立,且分別服从参数为0.1,0.2,0.3的0-1分布,即 由题意知X=X|+X2+X3,显然X的所有可能取值为0,1,2,3,又XpX2・X3相互独立, 所以 (1)P{X=0}=P{X|+X2+X3=0}=P{X,=0峑=0,^3=0} =P{X,=0}P{X2=O}P{X3=O}=O・9xO・8xO・7=O・5O4, P{X=[}=P{X,+X,+X,={} =P{Xj=l,X2=0,X3=0} +r{X,=0,X,=1,=0}+P{X,=0,X,=0,x,=\} =P{X,=1(P{X,=O|P{X,=O( +P{X,=O(P{X,=1}P{X3=O(+P{X,=0}P{X,=0}P{X3=l} =O・lxO・8xO・7+O・9xO・2xO・7+O・9xO・8xO・3=0.39& P{X=3]=P{X,+X2+X,=3]=P{X,=tX,={.X,={] =P{X]=1}P{X2=1}P{X3=l}=O」xO・2xO・3=0.006・ 由P{X=0}+P{X=\]+P{X=2}+P{X=3}=1得岀 P{X=2}=i-P{X=Q}+P{X=\}+P{X=3) =1-0.504-0.398-0.006=0・092・ 因此X的概率分布为 X 0 1 2 3 p 0.504 0.398 0.092 0.006 ⑵令p=p{X|=l}=0・h〃2=P{X2=l}=02必=卩{*3=1}=0・3.因Xf均服从0-1 分布,故EXj=gDX严pQ-Pd)所以E(X|)=O・1,E(X2)=O・2,E(X3)=O3 D(X,)=0.1x0.9=O.O9,D(X2)=O-2xO-8=OJ6,D(X0=03x0.7=0.21 X=Xj+X,+X,.因乙•服从0-1分布,且XjXpXs相互独立,故由数学期望与方差的 性质 EX=E(X,+X,+X^)=EX,+EX,+EX,=Q.6. DX=D(X,+X2+X,)=DX,+DX,+DX,=QA6, 注: X的期望与方差也可以直接用期望与方差的公式来计算: E(X)=0xP{X=0}+lxP{X=l}+2xP{X=2}+3xP{X=3} =Ox0.504+1X0.398+2x0.092+3x0.006=0.6, D(X)=Q-xP{X=Q}+\-xP{X=\}+2-xP{X=2]+3-xP{X=3} =o'X0.504+1-X0398+2-X0.092+3^0,006=0.46. 十四、(本题满分4分) 【解析】⑴已知联合槪率密度可以直接利用求边缘密度的公式AW=匸求出 边缘概率密度• 当x<0时,/x(x)=「0dy=0; J—X 当%>0时,fxM=jf(儿y)^A'=『Ot/y+J=-严因此X的密度为 办(x)h x>0, 0,X<0. ⑵概率P{x+y P{x+y .T+.V<1 再由二重积分的计算,化为累计积分求得概率 P{X+Y<1}・ P{X+Y<\}=JJ砂=加广 x+y i111
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