16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用.docx
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16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用
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1.均匀分布1
2.正态分布(高斯分布)2
3.指数分布2
4.Beta分布(分布).............................................................................2
5.Gamma分布3
6.倒Gamma分布4
7.
威布尔分布(Weibull
分布、韦伯分布、韦布尔分布)
.................5
8.
Pareto分布................................................................................................
6
9.
Cauchy分布(柯西分布、柯西-洛伦兹分布)...............................
7
10.
2
.........................................................................
7
分布(卡方分布)
11.
t分布........................................................................................................
8
12.
F分布........................................................................................................
9
13.
二项分布................................................................................................
10
14.
泊松分布(Poisson分布).............................................................
10
15.
对数正态分布.......................................................................................
11
1.均匀分布
均匀分布X~U(a,b)是无信息的,可作为无信息变量的先验分布。
f(x)
1
ba
.
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ab
E(X)
2
(ba)2
Var(X)
12
2.正态分布(高斯分布)
当影响一个变量的因素众多,且影响微弱、都不占据主导地位时,这个变量
很可能服从正态分布,记作X~N(,
2)。
正态分布为方差已知的正态分布
N(,2)的参数
的共轭先验分布。
1
(x)2
e2
2
f(x)
2
E(X)
2
Var(X)
3.指数分布
指数分布X~Exp()是指要等到一个随机事件发生,需要经历多久时间。
其
中
0为尺度参数。
指数分布的无记忆性:
PXst|XsP{Xt}。
f(x)ex,x0
E(X)
1
Var(X)
1
2
4.Beta分布(分布)
.
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Beta分布记为X~Be(a,b),其中Beta(1,1)等于均匀分布,其概率密度函数
可凸也可凹。
如果二项分布
B(n,p)中的参数p的先验分布取Beta(a,b),实验数
据(事件A发生y次,非事件A发生n-y次),则p的后验分布Beta(a
y,bny),
即Beta分布为二项分布B(n,p)的参数p的共轭先验分布。
(x)
0tx1etdt
f(x)
(a
b)
xa
1(1
x)b1
(a)
(b)
E(X)
a
a
b
Var(X)
ab
b)2(ab
1)
(a
5.Gamma分布
Gamma分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的和的分布,解决的
问题是“要等到n个随机事件都发生,需要经历多久时间”,记为X~Ga(a,b)。
其中a0为形状参数,b0为尺度参数。
Gamma分布为指数分布Exp()的参数、Poisson分布P()的参数的共轭先验分布。
a
f(x)bxa1ebx,x0
(a)
E(X)
a
b
Var(X)
a
b2
.
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6.倒Gamma分布
倒Gamma分布记为X~IGa(a,b)
。
若随机变量X~Ga(a,b),则
1~IGa(a,b)。
其中a
0为形状参数,b
0为尺度参数。
倒
Gamma分布为指
X
数分布Exp()的参数1
、均值已知的正态分布N(
2)的参数
2的共轭先验分
布。
f(x)
ba
x(a1)ebx,x0
(a)
E(X)
b
a
1
Var(X)
b2
a
2
(a
1)2(a
2)
.
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7.威布尔分布(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布)
威布尔分布记为X~W(m,
)。
其中m
0为形状参数,
0为尺度参数。
当m
1,它是指数分布;m2
时,是Rayleigh
distribution(瑞利分布)。
常用
于拟合风速分布,并用最小二乘法、平均风速估计法或极大似然法求解其参数。
m1
xm
mx
e
x0
f(x)
E(X)
1
1
m
2
2
Var(X)
2
1
1
1
m
m
.
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8.Pareto分布
Pareto分布记为X~Pa(a,b)。
其中b
0为门限参数,a
0为尺度参数。
Pareto分布是一种厚尾分布。
Pareto分布为均匀分布U(0,
)的参数
的共轭先验
分布。
a
a
1
b
x
b
f(x)
x
b
E(X)
ab
a
1
a1
.
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ab2
Var(X)(a1)2(a2),a2
9.Cauchy分布(柯西分布、柯西-洛伦兹分布)
Cauchy分布记为X~Ca(a,b)。
其中a为位置参数,b
0为尺度参数。
中位
数Mode(X)a,期望、方差都不存在。
如果
X1,X2,
Xn是分别符合柯西分布
的相互独立同分布随机变量,那么算术平均数
X1,X2,
Xn
/n服从同样的柯西
分布。
标准柯西分布Ca(0,1)是t分布的一个自由度。
这种分布更适合拟合那种比较扁、宽的曲线。
1
b
f(x)
2
(x
a)2
b
10.
2分布(卡方分布)
n
设X1,X2,,Xn是来自N(0,1)的样本,则称统计量
2
Xi2服从自由度为
i1
n的
2分布,记为
2~
2(n)。
1
n1x
f(x)
n
x2e2,x0
n
22
2
E(X)n
Var(X)
2n
.
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11.t分布
设X~N(0,1),Y~2(n),且X,Y相互独立,则称随机变量tX服从
Y
n
自由度为n的t分布。
记为t~t(n)。
当自由度n时,t分布将趋于N(0,1)。
有时样本量很小,不知道总体的标准偏差,则可以依赖t统计量(也称为t分数)
的分布,其值由下式给出:
X
s
~t(n
1)
,其中X是样本均值,μ是总体均值,
n
s是样本的标准偏差,n是样本大小。
n
1
x
2
n1
2
2
f(x)
n
1
n
n
2
E(X)
0
Var(X)
n
n
n2
2
.
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12.F分布
U
设U~
2(n1),V~
2(n2),且U,V相互独立,则称随机变量F
n1服从
V
n2
自由度为(n1,n2)的F分布,记为F~F(n1,n2)。
设X1,X2,
Xn1与Y1,Y2,,Yn2分
别是来自正态总体N(1,
12)和N(
2,22)的样本,且这两个样本相互独立。
设X,
Y分别是这两个样本的样本均值;
s12,s22分别是这两个样本的样本方差,则有
s12
s22
~F(n1
1,n21);当
2
2
2
时,
(XY)(1
2)
2),其中
2
1
2
1
1
~t(n1n2
1
2
sw
n2
2
n1
sw2
(n11)s12
(n21)s22
。
n1
n22
n1n2
n1
n1
2
n1
x2
1
2
n2
f(x)
x
0
n
n
1
2
n1
n2
1n1
x
2
2
2
n2
E(X)
n1
n1
2
n1
2
Var(X)
2n12(n1
n2
2),n1
4
n2(n12)2(n1
4)
.
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13.二项分布
二项分布十分好理解,给你n次机会抛硬币,硬币正面向上的概率为p,问
在这n次机会中有k次(k≤n)硬币朝上的概率为多少。
记为X~B(n,p)。
当n
足够大,且
p不接近于0
也不接近于1时,二项分布B(n,p)可用正态分布
N(np,np(1
p))来近似。
P(X
k)
n!
pk(1
p)nk,p[0,1]
(nk)!
k!
E(X)
np
Var(X)
np(1
p)
14.泊松分布(Poisson分布)
泊松分布解决的是“在特定一段时间里发生n个事件的概率”,记为
.
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X~P()。
当二项分布满足np时,二项分布近似为泊松分布。
泊松分布P()
n
当
足够大时,变成正态分布N(,
)。
P(X
k)
ke
0
k!
E(X)
Var(X)
15.对数正态分布
对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。
如果
Y是正
态分布的随机变量,则exp(Y)是对数正态分布;同样,如果
X是对数正态分布,
则ln(X)为正态分布,如果一个变量可以看成是许多很小独立因子的乘积,则这
个变量可以看作是对数正态分布,如拟合风速分布模型,记为
X~LN(,2)。
1
(lnx
)2
e
2
2
x0
f(x)
2
2
E(X)
e
2
Var(X)
(e
2
2
1)e2
16.瑞利分布
当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分布时,这个向量的模呈瑞利分布。
x2
f(x)
x2e22
x0
.
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E(X)
Var(X)
2
42
2
.
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.
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- 16 常见 概率 分布 密度 函数 意义 及其 应用