圆中基本图形及结论.docx
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圆中基本图形及结论
《圆的证明与计算》专题研究
圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题,此题完成情况的好坏对解决后面问题的发
挥有重要的影响,所以解决好此题比较关键。
一、考点分析:
1.圆中的重要定理:
(1)圆的定义:
主要是用来证明四点共圆.
(2)垂径定理:
主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.
(3)三者之间的关系定理:
主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.
(4)圆周角性质定理及其推轮:
主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.
(5)切线的性质定理:
主要是用来证明——垂直关系.
(6)切线的判定定理:
主要是用来证明直线是圆的切线.
(7)切线长定理:
线段相等、垂直关系、角相等.
2.圆中几个关键元素之间的相互转化:
弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.
二、考题形式分析:
主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线;第2问主要是与圆有关的计算:
①求线段长(或面积);②求线段比;③求角度的三角函数值(实质还是求线段比)。
三、解题秘笈:
1、判定切线的方法:
(1)若切点明确,则“连半径,证垂直”。
常见手法有:
全等转化;平行转化;直径转化;中线转化等;有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直;
(2)若切点不明确,则“作垂直,证半径”。
常见手法:
角平分线定理;等腰三角形三线合一,隐藏角平分线;总而言之,要完成两个层次的证明:
①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点);②直线与半径的关系是互相垂直。
在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例:
(1)如图,AB是⊙O的直径,BC⊥AB,AD∥OC交⊙O于D点,求证:
CD为⊙O的切线;
(2)如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O,交斜边AC于D,点E为BC的中点,连结DE,求证:
DE是⊙O的切线.
(3)如图,以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O,交底边BC于D,交另一腰于F,若
DE⊥AC于E(或E为CF中点),求证:
DE是⊙O的切线.
(4)如图,AB是⊙O的直径,AE平分∠BAF,交⊙O于点E,过点E作直线ED⊥AF,
交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点C,求证:
CD是⊙O的切线.
2、与圆有关的计算:
段或者角度的转化。
特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化,找出所求线段与已知线段的关系,从而化未知为已知,解决问题。
其中重要而常见的数学思想方法有:
(1)构造思想:
如:
①构建矩形转化线段;②构建“射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段可求其它所有线段长);③构造垂径定理模型:
弦长一半、弦心距、半径;④构造勾股定理模型;⑤构造三角函数.
(2)方程思想:
设出未知数表示关键线段,通过线段之间的关系,特别是发现其中的相等关系建立方程,解决问题。
(3)建模思想:
借助基本图形的结论发现问题中的线段关系,把问题分解为若干基本图
形的问题,通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论,进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
3、典型基本图型:
图形1:
如图1:
AB是⊙O的直径,点E、C是⊙O上的两点,基本结论有:
1)在“AC平分∠BAE”;“AD⊥CD”;“DC是⊙O的切线”三个论断中,知二推一。
2)如图2、3,DE等于弓形BCE的高;DC=AE的弦心距OF(或弓形BCE的半弦EF)。
3)如图(4):
若CK⊥AB于K,则:
1
①CK=CD;BK=DE;CK=BE=DC;AE+AB=2BK=2AD;
2
②⊿ADC∽⊿ACBAC2=AD?
AB
4)在
(1)中的条件①、②、③中任选两个条件,当BG⊥CD
于E时(如图5),则:
12
①DE=GB;②DC=CG;③AD+BG=AB;④AD?
BG=DG2=DC24
图形2:
如图:
Rt⊿ABC中,∠ACB=90°。
点O是AC上一点,以OC为半径作⊙O交AC
知一推三。
1
BO?
DE=CO?
CE=CE2;
2
2)①G是⊿BCD的内心;②CG=GD;③⊿BCO∽⊿CDE
3)在图
(1)中的线段BC、CE、AE、AD中,知二求四。
AE1
4)如图(3),若①BC=CE,则:
②AAED=12=tan∠ADE;③BC:
AC:
AB=3:
4:
5;(在
①、②、③中知一推二)④设BE、CD交于点H,,则BH=2EH
图形3:
如图:
Rt⊿ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D,基本结论有:
如右图:
(1)DE切⊙OE是BC的中点;
(2)若DE切⊙O,则:
①DE=BE=CE;
②D、O、B、E四点共圆∠CED=2∠A
③CD·CA=4BE2,DECDBC
RBDBA
图形特殊化:
在
(1)的条件下
如图1:
DE∥AB⊿ABC、⊿CDE是等腰直角三角形;如图2:
若DE的延长线交AB的延长线于点F,若AB=BF,则:
图形4:
如图,⊿ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC于点D,交AC于点F,
基本结论有:
(1)DE⊥ACDE切⊙O;
(2)在DE⊥AC或DE切⊙O下,有:
①⊿DFC是等腰三角形;BF
②EF=EC;③D是的中点。
④与基本图形1的结论重合。
⑤连AD,产生母子三角形。
图形5:
:
以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于E,基本结论有
A
O
C
图1
图3
1)如图1:
①AD+BC=CD;②∠COD=∠AEB=90°;③OD平分∠ADC(或OC平分∠BCD);(注:
在①、②、③及④“CD是⊙O的切线”四个论断中,知一推三)
1
④AD·BC=AB2=R2;
4
(2)如图2,连AE、CO,则有:
CO∥AE,CO?
AE=2R2(与基本图形2重合)
(3)如图3,若EF⊥AB于F,交AC于G,则:
EG=FG.
图形6:
如图:
直线PR⊥⊙O的半径OB于E,PQ切⊙O于Q,BQ交直线PQ于R。
基本结论有:
1)PQ=PR(⊿PQR是等腰三角形);
2)在“PR⊥OB”、“PQ切⊙O”、“PQ=PR
3)2PR·RE=BR·RQ=B·E2R=AB2
中,知二推一
图形7:
如图,⊿ABC内接于⊙O,I为△ABC的内心。
基本结论有:
1)如图1,①BD=CD=ID;②DI2=DE·DA;
1
③∠AIB=90°+∠ACB;
2
2)如图2,若∠BAC=60°,则:
BD+CE=BC.
A
OI
A
D
B
C
图2
图形8:
已知,AB是⊙O的直径,
C是BG中点,CD⊥AB于D。
BG交CD、AC
于E、F。
基本结论有:
1
(1)CD=BG;BE=EF=CE;GF=2DE
2
1
(反之,由CD=2BG或BE=EF可得:
C是BG中点)
1
(2)OE=AF,OE∥AC;⊿ODE∽⊿AGF
2
(3)BE·BG=B·DBA
(4)若D是OB的中点,则:
①⊿CEF是等边三角形;②
C
D
O
B
BC=CG=AG
四、范例讲解:
例题1:
△ABP中,∠ABP=90°,以AB为直径作⊙O交AP于C点,弧CF=CB,过C作
AF的垂线,垂足为M,MC的延长线交BP于D.
1)求证:
CD为⊙O的切线;
2)连BF交AP于E,若BE=6,EF=2,求EF的值。
AF
例题2:
直角梯形ABCD中,∠BCD=90°,AB=AD+BC,AB为直径的圆交BC于E,连OC、
BD交于F.
⑴求证:
CD为⊙O的切线;⑵若BE3,求BF的值。
AB5DF
1)求证:
PC为⊙O的切线。
2)过D点作DE⊥AB,E为垂足,连AD交BC于G,
例题4:
如图,已知△ABC中,以边BC为直径的⊙O与边AB交于点D,点E为的中
BD
点,AF为△ABC的角平分线,且AF⊥EC。
1)求证:
AC与⊙O相切;
2)若AC=6,BC=8,求EC的长
五、练习:
1.如图,Rt△ABC,以AB为直径作⊙O交AC于点D,BD=DE,过D作AE的垂线,
F为垂足.
(1)求证:
DF为⊙O的切线;
(2)若DF=3,⊙O的半径为5,求tanBAC的值.
2.如图,AB为⊙O的直径,C、D为⊙O上的两点,AD=DC,过D作直线BC的垂
线交直线AB于点E,F为垂足.
(1)求证:
EF为⊙O的切线;
(2)若AC=6,BD=5,求sinE的值.
3.如图,AB为⊙O的直径,半径OC⊥AB,D为AB延长线上一点,过D作⊙O的切
线,E为切点,连结CE交AB于点F.
(1)求证:
DE=DF;
(2)连结AE,若OF=1,BF=3,求tanA的值.
4.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,以AB上一点O为圆心过B、D两
点作⊙O,⊙O交AB于点一点E,EF⊥AC于点F.
(1)求证:
⊙O与AC相切;
(2)若EF=3,BC=4,求tanA的值.
5.如图,等腰△
ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC于点D,DE⊥AC于E.
1)求证:
DE为⊙O的切线;
2)若BC=45,AE=1,求cosAEO的值.
6.如图,BD为⊙O的直径,A为BC的中点,AD交BC于点E,F为BC延长线上一点,且FD=FE.
EDF的值.
(1)求证:
DF为⊙O的切线;
2)若AE=2,DE=4,△BDF的面积为83,求tan
7、如图,AB是⊙O的直径,M是线段OA上一点,过M作AB的垂线交AC于点N,
交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且∠ECF=∠E.
(1)求证:
CF是⊙O的切线;
(2)设⊙O的半径为1,且AC=CE3,求AM的长.
8、如图,AB是⊙O的直径,BC⊥AB,过点C作⊙O的切线CE,点D是CE延长线上一点,连结AD,且AD+BC=CD.
(1)求证:
AD是⊙O的切线;
(2)设OE交AC于F,若OF=3,EF=2,求线段BC的长.
9、如图,△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D,且CD=BD.
(1)求证:
BC是⊙O的切线;
(2)已知点M、N分别是AD、CD的中点,BM延长线交⊙O于E,EF∥AC,分别交
BD、BN的延长线于H、F,若DH=2,求EF的长.
10、如图,AB是半⊙O上的直径,E是B⌒C的中点,OE交弦BC于点D,过点C作交
AD的平行线交OE的延长线于点F.∠ADO=∠B.
(1)求证:
CF为⊙O的⊙O切线;
(2)求sin∠BAD的值.
11、如图,⊿ABC中,
AB=AC,以AC为直径的⊙
O与AB相交于点E,点F是BE的
中点.
(1)求证:
DF是⊙O的切线.
(2)若AE=14,BC=12,求BF的长
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