数学建模作业.docx

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数学建模作业

数学建模作业

1、在甲乙双方的一场战争中，部分甲方部队被乙方部队包围长达4个月，乙方封锁了所有水陆交通通道，因此被包围的甲方只能依靠空中交通维持补给，运送4个月的供给依此分别需要2次、3次、3次、4次飞行，每次飞行编队由50架飞机组成，每架飞机都需要3名飞行员，每架飞机每月只能飞行一次，每名飞行员每月也只能飞行一次，每次执行完运输飞行任务后的返回途中有20%的飞机被乙方部队击落，导致机上的飞行员也牺牲或失踪。

在第一个月开始时，甲方拥有110架飞机和330名熟练的飞行员，每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机，新飞机必须经过一个月的检查磨合后才可以投入使用，新飞行员也必须在熟练飞行员的指导下经过一个月的训练才能成为熟练飞行员而投入飞行（作为教练的熟练飞行员本月不能参与飞行任务），每名熟练飞行员作为教练每月指导20名飞行员（包括自己在内）进行训练，每名飞行员在完成本月的飞行任务后必须有一个月的带薪休假，然后返回待命可再次投入飞行，已知各项费用平均单价如下表所示（单位：

千元）。

第一个月

第二个月

第三个月

第四个月

新飞机价格

200

195

190

185

闲置的熟练飞行员报酬

7

教练及飞行员报酬和训练费用

10

执行飞行任务的飞行员报酬

9

休假期的飞行员报酬

5

（1）为甲方安排一个总费用最小的飞行计划。

（2）如果每名熟练飞行员作为教练每月指导不超过20名飞行员（包括自己在内）进行训练，相应的模型和安排将会发生怎样的改变

解：

（1）

设每月初购买飞机数量为d1，d2，d3,d4架，每月闲置飞机数量为y1,y2,y3,y4架，每月教练与新飞行员总数量为a1,a2,a3,a4人，每月闲置熟练飞行员的数量为b1,b2,b3,b4人。

由于每月执行任务的飞行员和休假期的飞行员的数量是固定的，即这部分的花费是固定的，所以在优化目标中可以不必考虑。

模型建立：

决策变量：

设每月初购买飞机数量为d1，d2，d3,d4架，每月闲置飞机数量为y1,y2,y3,y4架，每月教练与新飞行员总数量为a1,a2,a3,a4人，每月闲置熟练飞行员的数量为b1,b2,b3,b4人。

目标函数：

设总费用为z元，则由价格平均表可知：

z=200d1+195d2+190d3+185d4+10a1++++7b1+++

约束条件包括：

（1）飞机数量限制：

四个月中出去执行任务的飞机数量分别为100，150，150，200架次，每次安全返回的数量为80，120，120，160架次。

根据每个月的实际情况可得方程：

100+y1=110；

150+y2=80+y1+d1；

150+y3=120+y2+d2；

200+y4=120+y3+d3；

（2）飞行员数量限制：

四个月中出去执行任务的飞行员的数量分别为300，450，450，600人，能安全返回的人数为240，360，360，480人，且安全返回的人均在下个月休假。

根据每个月的实际情况可得方程：

300++b1=330；

450++b2=a1+b1；

460++b3=a2+b2+240；

600++b4=a3+b3+360；

非负整数限制：

d1,d2,d3,d4,y1,y2,y3,y4,a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4均为正整数。

模型求解：

用Lingo软件进行求解

计算程序：

model:

min=200*d1+195*d2+190*d3+185*d4+10*a1+*a2+*a3+*a4+7*b1+*b2+*b3+*b4;

[plane]y1=10;

y1+d1-y2=70;

y2+d2-y3=30;

y3+d3-y4=80;

[person]*a1+b1=30;

a1+*a2-b2=450;

a2+*a3-b3=210;

a3+*a4-b4=240;

@gin（d1）;@gin（d2）;@gin（d3）;@gin（d4）;@gin（y1）;@gin（y2）;@gin（y3）;@gin（y4）;@gin（a1）;@gin（a2）;@gin（a3）;@gin（a4）;@gin（b1）;@gin（b2）;

@gin（b3）;@gin（b4）;

end

计算结果：

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

Objectivebound:

Infeasibilities:

Extendedsolversteps:

0

Totalsolveriterations:

446

ModelClass:

PILP

Totalvariables:

15

Nonlinearvariables:

0

Integervariables:

15

Totalconstraints:

8

Nonlinearconstraints:

0

Totalnonzeros:

34

Nonlinearnonzeros:

0

VariableValueReducedCost

D1

D2

D3

D4

A1

A2

A3

A4

B1

B2

B3

B4

Y1

Y2

Y3

Y4

RowSlackorSurplusDualPrice

1

PLANE

3

4

5

PERSON

7

8

9

最优解为d1=60,d2=30,d3=80,d4=0,y1=10,y2=y3=y4=0,a1=460,a2=220,

a3=240,a4=0,b1=7,b2=6,b3=4,b4=4；目标函数值为.

（2）设每月初购买飞机数量为d1，d2，d3,d4架，每月闲置飞机数量为y1,y2,y3,y4架，每月教练总数量为a1,a2,a3,a4人，每月新飞行员总数量为b1,b2,b3,b4人，每月闲置熟练飞行员的数量为c1,c2,c3,c4人。

则飞行员数量限制变为：

300+a1+c1=330

450+a2+c2=a1+c1+b1,b1≤20a1

450+a3+c3=a2+c2+b2,b2≤20a2

600+a4+c4=a3+c3+b3,b3≤20a3

模型变为：

minm=200d1+195d2+190d3+185d4+10a1++++7c1++

++10b1+++;

.y1=10

y1+d1-y2=70

y2+d2-y3=30

y3+d3-y4=80

300+a1+c1=330

450+a2+c2=a1+c1+b1,b1≤20a1

450+a3+c3=a2+c2+b2,b2≤20a2

600+a4+c4=a3+c3+b3,b3≤20a3d1,d2,d3,d4,y1,y2,y3,y4,a1,a2,a3,a4,c1,c2,c3,c4，b1,b2,b3,b4≥0且为整数

在Lingo软件上编程运行得，a1=22,a2=11,a3=12,a4=0,c1=8,c2=c3=c4=0,b1=431,b2=211,b3=228,b4=0（其余不变），目标函数值为。

2、观察鱼在水中的运动，发现它不是进行水平运动，而是突发性、锯齿形地向上运动，然后向下滑行。

可以认为这是在长期进化过程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式。

（1）设鱼总是以常速v运动，鱼在水中净重w，向下滑行的阻力是w在运动方向的分力；向上游动时所需的力是w在运动方向与运动所受阻力之和，而游动的阻力是滑行阻力的k倍。

水平方向游动时的阻力也是滑行阻力的k倍。

写出这些力的表达式。

（2）证明当鱼要从A点到达处于同一水平线上的B点时（见右图），沿折线ACB运动消耗的能量与沿水平线AB运动消耗的能量之比（向下滑行不消耗能量）为（k*sinα+sinβ）/[k*sin（α+β）]。

（3）据实际观察，tanα≈。

试对不同的值（,2,3），根据消耗能量最小的准则估计最佳的β值。

解：

（1）向下游动的滑行阻力f=w*sinα；

向上游动所需的力F1=k*w*sinα+w*sinβ；

水平方向的游动阻力f1=k*w*sinα

（2）证明：

设AC竖直高度为h

则AC=h/sinβ、AB=h/tanβ+h/tanα

所以沿折线ACB运动所消耗的能量W1=F1*AC=h/sinβ*（k*w*sinα+w*sinβ）；

沿水平线AB运动消耗的能量W2=f1*AB=k*w*sinα*（h/tanβ+h/tanα）

所以W1/W2=（k*sinα+sinβ）/[k*sin（α+β）]

（3）因为鱼做锯齿状游动时，消耗能量的大小受k值及夹角α，β的大小共同影响。

故令Q=w1/w2，因为A,B一定时，鱼水平运动所消耗的能量w2恒定不变

求对Q关于β的偏导，并令偏导值为零，得出α与β的关系，因为tanα≈，所以对于不同的k值（,2,3），求出消耗能量最小时的β，分别为β≈37，β≈49，β≈59

3、某银行经理计划用一笔资金进行证券投资业务，可供购进的证券及其相应信息如下表所示，且有如下规定和限制：

（1）市政证券的收益可以免税，其它证券的收益需要按50%的税率纳税；

（2）政府及代办机构的证券总共至少购进400万元；

（3）所购证券的平均信用等级不超过（信用等级越小，信用程度越高）；

（4）所购证券的平均到期年限不超过5年；

证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益率（%）

A市政29

B代办机构215

C政府14

D政府13

E市政52

请回答下列问题：

（1）若该经理有1000万资金，应如何投资

（2）如果能够以%的利率借到不超过100万元，该经理应该如何操作

（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为%，投资应否改变若证券C的税前收益减少为%，投资应否改变

注：

为简化问题起见，题中的税前收益率和利率都与年限无关，即都为固定值。

解：

（1）

设投资A、B、C、D和E的资金分别为a1、a2、a3、a4和a5（百万元）。

模型建立

决策变量：

投资A、B、C、D和E的资金分别为a1、a2、a3、a4和a5。

目标函数：

设税后收益为y（百万元），

则y=++++.

（1）

约束条件包括：

（1）经理所投资金数额的限制。

（2）投资政府a3，a4及代办机构a2的证券总额限制。

（3）所购证券的平均信用等级的限制。

（4）所购证券的平均到期年限的限制。

则约束条件分别表示为：

a1+a2+a3+a4+a5≤10；

（2）

a2+a3+a4≥4；（3）

（2a1+2a2+a3+a4+5a5）/（a1+a2+a3+a4+a5）≤；

即6a1+6a2-4a3-4a4+36a5≤0；（4）

（9a1+15a2+4a3+3a4+2a5）/（a1+a2+a3+a4+a5）≤5；

即4a1+10a2-a3-2a4-3a5≤0；（5）

a1≥0，a2≥0，a3≥0，a4≥0，a5≥0；（6）

模型求解：

采用Lingo软件进行求解

计算程序：

model:

max=*a1+*a2+*a3+*a4+*a5;

[rule]a2+a3+a4>=4;

[limit]6*a1+6*a2-4*a3-4*a4+36*a5<=0;

4*a1+10*a2-a3-2*a4-3*a5<=0;

[found]a1+a2+a3+a4+a5<=10;

end

计算结果：

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

Infeasibilities:

Totalsolveriterations:

3

ModelClass:

LP

Totalvariables:

5

Nonlinearvariables:

0

Integervariables:

0

Totalconstraints:

5

Nonlinearconstraints:

0

Totalnonzeros:

23

Nonlinearnonzeros:

0

VariableValueReducedCost

A1

A2

A3

A4

A5

RowSlackorSurplusDualPrice

1

RULE

LIMIT

4

FUND

用LINGO求解得到：

最优解为a1=，a2=0，a3=，a4=0，a5=，最优值为z=.

所以，分别在A、C、E上投资百万元，百万元，百万元，最大税后收益为百万元。

（2）经题意分析知，将第一题中的

（2）约束右端改为11。

使用Lingo软件编程得：

model:

max=*a1+*a2+*a3+*a4+*;

[rule]a2+a3+a4>=4;

[limit]6*a1+6*a2-4*a3-4*a4+36*a5<=0;

4*a1+10*a2-d3-2*a4-3*a5<=0;

[found]a1+a2+a3+a4+a5<=11;

end

结果为：

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

Infeasibilities:

Totalsolveriterations:

3

ModelClass:

LP

Totalvariables:

5

Nonlinearvariables:

0

Integervariables:

0

Totalconstraints:

5

Nonlinearconstraints:

0

Totalnonzeros:

23

Nonlinearnonzeros:

0

VariableValueReducedCost

A1

A2

A3

A4

A5

RowSlackorSurplusDualPrice

1

RULE

LIMIT

4

FOUND

由LINGO求解得到最优解为a1=，a2=0，a3=，a4=0，a5=，最优值为z=.

所以，分别在A、C、E上投资百万元，百万元，百万元，最大税后收益为百万元，大于先前所得百万元。

所以经理应该借贷。

（3）、在Lingo软件中运行Ranges选项得

Rangesinwhichthebasisisunchanged:

ObjectiveCoefficientRanges:

CurrentAllowableAllowable

VariableCoefficientIncreaseDecrease

A1

A2INFINITY

A3

A4INFINITY

A5

RighthandSideRanges:

CurrentAllowableAllowable

RowRHSIncreaseDecrease

RULEINFINITY

LIMIT

4

FOUNDINFINITY

由运行结果可知，A的税前收益可增加%，所以A的税前收益增加为%时，投资不应该变；C的税前收益可减少%，所以说C的税前收益减少为%时，投资应该改变。