射影几何入门.docx

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射影几何入门

（一）　1-1对应1

1.1-1对应的定义1

2.1-1对应的意义和性质2

3.1-1对应在数学中的应用4

4.无穷集之间的1-1对应4

5.部分和整体的1-1对应,无穷集的定义9

6.无穷远点.点列和线束10

7.轴束.基本形11

8.三种基本形的六种透视对应12

9.射影关系14

10.1到无穷或无穷到1的对应16

11.平面点的无穷阶数17

12.一阶与二阶无穷集17

13.通过空间一点的所有直线17

14.通过空间一点的所有平面18

15.平面上所有的直线18

16.平面系和点系19

17.空间中的所有平面19

18.空间中的所有点20

19.空间系20

20.空间中的所有直线20

21.点与数之间的对应20

22.无穷远元素22

（二）1-1对应基本形之间的关系25

23.七种基本形25

24.射影性25

25.Desargues定理26

26.关于二个完全四边形的基本定理27

27.定理的重要性28

28.定理的重述28

29.四调和点概念29

30.调和共轭的对称性30

31.概念的重要性30

32.四调和点的投影不变性31

33.四调和线31

34.四调和平面.31

35.结果的概要性总结32

36.可射影性的定义33

37.调和共轭点相互之间的对应33

38.调和共轭的元素的隔离34

39.无穷远点的调和共轭34

40.射影定理和度量定理,线性作图法35

41.平行线与中点36

42.将线段分成相等的n个部分37

43.数值上的关系37

44.与四调和点关联的代数公式37

45.进一步的公式38

46.非调和比（交比）39

（三）射影相关基本形的结合41

47.叠加的基本形,自对应元素41

48.无自对应点的情况42

49.射影对应的基本定理,连续性假设43

50.定理应用于线束和平面束44

51.具有一公共自对应点的射影点列44

52.无公共自对应点的射影相关点列45

53.透视对应的两个射线束47

54.透视对应的面束（轴束）47

55.二阶点列47

56.轨迹的退化48

57.两阶线束48

58.退化情况48

59.二阶圆锥面49

（四）二阶点列49

60.二阶点列与二阶线束49

62.切线50

63.轨迹生成问题的陈述50

64.基本问题的解决51

65.图形的不同构作法52

66.将轨迹上四点连到第五点的直线52

67.定理的另一种陈述形式53

68.更为重要的定理54

69.Pascal定理54

70.Pascal定理中点的名称的替换54

71.在一个二阶点列上的调和点56

72.轨迹的确定56

73.作为二阶点列的圆和圆锥线56

74.通过五点的圆锥曲线57

75.圆锥线的切线58

76.内接四边形59

77.内接的三角形60

78.退化圆锥线61

（五）二阶线束63

79.已定义的二阶射线束63

80.圆的切线63

81.圆锥曲线的切线65

82.系统的生成点列线65

83.线束的确定65

84.Brianchon定理67

85.Brianchon定理中线的替换68

86.用Brianchon定理构造线束68

87.与一圆锥曲线相切的点68

88.外切四边形69

89.外切三边形70

90.Brianchon定理的应用70

91.调和切线71

92.可射影性和可透视性71

93.退化情况72

94.对偶律72

（六）极点和极线75

95.关于圆的极点和极线75

96.圆锥曲线的内点的共轭点的轨迹77

97.更多的性质78

98.极点极线的定义78

99.极点与极线的基本定理78

100.共轭点与共轭直线79

102.自配极三角形79

103.射影相关的极点与极线80

104.对偶性81

105.自对偶定理81

106.其他对应关系82

（七）圆锥曲线的度量性质83

107.直径与中心83

108.相关的几个定理83

109.共轭直径84

110.圆锥曲线的分类84

111.渐近线84

112.有关的几个定理85

113.关于渐近线的定理85

115.由双曲线及其渐近线切割的弦86

116.定理的应用86

117.由二条渐近线和一条切线形成的三角形87

118.用渐近线来表示一个双曲线的方程88

119.抛物线方程88

120.参引共轭直径的有心圆锥线的方程91

（八）对合（Involution）95

121.基本定理95

122.线性作图法96

123.直线上点的对合的定义97

124.对合中的二重点97

125.有关通过四点的圆锥曲线的Desargues定理99

126.退化圆锥线100

127.通过四点并与一已知直线相切的圆锥线100

128.二重对应100

129.Steiner的作图方法101

130.Steiner作图法在重对应中的应用102

131.二阶点列中点的对合103

132.射线的对合104

133.二重射线105

134.通过一固定点与四线相切的圆锥线105

135.双重对应105

136.处于对合下的二阶射线束106

137.有关对合二阶射线束的定理106

138.由一圆锥曲线确定的射线的对合106

139.定理的陈述106

140.定理的对偶107

（九）对合的度量性质109

141.无穷远点的引入;对合的中心109

142.基本度量定理109

143.二重点的存在110

144.二重射线的存在112

145.通过圆来构筑对合112

146.圆点113

147.对合中的正交射线对,圆对合114

148.圆锥线的轴114

149.由一圆锥线确定的对合的点是圆点115

150.圆点的性质115

151.圆点的位置116

152.寻找圆锥曲线的焦点117

153.圆和抛物线117

154.圆锥线焦点性质118

155.抛物线的情况119

156.抛物面反射镜119

157.准线．主轴．顶点119

158.圆锥线的另一种定义120

159.离心率120

160.焦距之和与差121

（十）综合射影几何的历史123

161.早期成果123

162.统一性原理124

163.Desargues124

164.极点与极线125

165.通过4点的二阶曲线的Desargues定理125

166.推广到空间的极点与极线理论126

167.描述圆锥曲线的Desargues方法126

168.Desargues工作的被接纳127

169.Desargues时代的保守性127

170.Desargues的写作风格128

171.Desargues工作缺乏欣赏129

172.Pascal与他的定理129

173.Pascal的短评130

174.Pascal的独创性130

175.DeLaHire和他的工作131

176.Descartes和他的影响132

177.Newton和Maclaurin133

178.Maclaurin的证法133

179.画法几何与综合几何的二次复兴134

180.对偶性,同调性,连续性,偶然性联系135

181.Poncelet和Cauchy135

182.Poncelet的工作136

183.解析几何妥欠综合几何的债137

184.Steiner和他的工作137

185.VonStaudt和他的工作138

186.近期的发展139

附录140

参考文献148

索引151

第1章1-1对应

1.1-1对应的定义

【定义】任意给定两个集合，如果在它们之间能够建立一种对应，使得任意一个集合中的每一个元素，都对应到另一集合中的一个且仅一个元素，那么，这两个集合就称为能够建立1-1对应的集合，简称两个集合为1-1对应（One-to-OneCorrespondence）。

这里，1-1对应是定义两个集合之间的一种关系，而不是它们元素之间的关系，但要确定两个集合是否有这种关系，需要考察它们的元素之间是否能够建立一个具体的1-1对应。

【例】试问由三个数字组成的集合{1,2,3},和由三个字母组成的集合{A,B,C}之间是否1-1对应

【答】我们在这两个集合的元素之间建立下面这样的对应：

1<->A，2<->B，3<->C

这里符号<->表示其左右两边元素为对应。

这样，两个集合中的每一个元素，都对应到了另一集合中的一个且仅一个元素。

所以集合{1,2,3}与集合{A,B,C}为1-1对应。

显然，包含两个数字的集合{1,2}或包含四个数字的集合{1,2,3,4}就不能与包含三个字母的集合{A,B,C}建立1-1对应。

集合1-1对应的概念非常简单，但也非常重要，它在科研、生产或在日常生活中都频繁使用。

例如，我们通常进行的计数过程就是将被计数对象与数字'1'、'2'、'3'…之间在心中建立1-1对应；在人类尚未进入文明时代、尚未发明数字之前，也已利用他们的手指与被计数对象（如每天的掠物）建立1-1对应。

科学家们的神圣工作是对自然界各种事物进行命名与分类，本质上就是将这些事物及其属性与适当的word（单字）建立1-1对应。

这种过程虽然不像计数那样简单，需要反复，需要修正和深化，不可能一次完成，但在本质上，每一步无非就是对事物及其属性进行记录，并用一些word与它们建立1-1对应。

这些word开始只是少数人的专用语言，随着科学不断普及，这些专业术语也就逐步演变成人们的日常用语。

如果你仔细分析语言的各种成分，你将发现，人类语言的全部概念实际都是利用1-1对应这种简单想法（idea）生成的。

2.1-1对应的进一步的意义和性质

集合的1-1对应是定义在两个集合上的两个互逆的1-1变换所联合组合。

如集合｛1,2,3｝与集合｛A,B,C｝的1-1对应

1<->A，2<->B，3<->C

就是下列两个1-1变换的组合：

ｆ：

（1->A，2->B，3->C）

ｇ：

（1<-A，2<-B，3<-C）

其中f是｛1,2,3｝到｛A,B,C｝的变换，g是｛A,B,C｝到｛1,2,3｝的变换，且ｇ与ｆ互逆。

如果将二个变换改为

ｆ：

（1->A，2->B，3->C）

ｇ：

（2<-A，1<-B，3<-C）

则尽管ｆ和ｇ都是1-1变换，使一个元素变到一个元素，但ｇ与ｆ不是互逆的两个变换，它们合在一起就不构成（同）一个1-1对应。

 1-1对应关系具有对称性和传递性。

即：

如果集合A与B为1-1对应，则B与A也1-1对应；如果集合A与B为1-1对应，且集合B与集合C也1-1对应，则集合A与C也1-1对应。

1-1对应规定的仅仅是元素的对应方式，不允许１个元素对应到多个元素，也不允许某个元素不与另一集合中的任何元素对应。

但除此以外不再附加任何条件。

我们不要求一个集合中的某个元素必须与另一集合中某个固定元素进行对应。

只要满足1-1关系，无论什么元素都可以与它对应。

如前节例子中的数字集｛1,2,3｝与字母集｛A,B,C｝之间，下列６种对应方式都是合格的1-1对应：

（1）1<->A，2<->B，3<->C

（2）1<->A，2<->C，3<->B

（3）1<->B，2<->A，3<->C

（4）1<->B，2<->C，3<->A

（5）1<->C，2<->A，3<->B

（6）1<->C，2<->B，3<->A

    可以看出，A,B,C三元素的任何一种排列，都可与1,2,3对应。

这6种不同的1-1对应可用以下6张关系表来表示：

每个表的左边列出了集合{1,2,3}的元素，上边列出集合{A,B,C}的元素，中间的每个格子代表对应行和列的元素是否有对应关系，T代表有对应关系，否则代表没有对应关系。

可以看出，每一行每一列都只有一个格子为T，这表示两个集合元素之间的对应为1-1的。

六个表代表六种不同的1-1对应方式。

如果两个集合都有n个元素，就有n！

种不同的1-1对应方式。

    其次，建立对应的两个集合完全任意。

它们可以有相同类型元素，如{1,2,3}与{4,5,6}对应；或完全相同的元素，如{1,2,3}与{1,2,3}本身对应（这样的2个集合间仍有6种可行的对应方式）；或不同类型的元素，如前所述的{1,2,3}与{A,B,C}之间的对应。

如果一个牧童用绳子把５头羊分别牵在５棵树上，就是让{羊}和{树}建立1-1对应；学生上课时，50名学生走进一间有50个座位的教室，找到空位就坐下，就是在{班级学生}和{教室座位}2个集合之间自动建立一个1-1对应；物理学家经常把各种客观事物的变化规律与他们主观想象出来的公式混为一谈，就是在{客观规律}和{错误公式}两个集合之间建立1-1对应。

本书考察的对应主要是点、线、面等几何元素组成的集合之间的对应，有时也考察其他对应，包括几何元素与数的对应、几何元素与字母的对应，等。

3.1-1对应在数学中的应用

    在数学中，人们努力从事的工作，常常就是在简单概念和复杂概念之间建立1-1对应，或者是在已探索过的领域和正在探索中的未知领域寻找1-1对应。

例如，利用平面几何中点和直线的性质或关系，到空间几何中去寻找点、线、面对应的性质和关系；利用中心、焦点、切线、渐近线等点和直线的性质来研究二阶曲线的性质。

解析几何是利用简单的代数方法来研究几何，而进入大学的高等代数中又反过来利用低维的几何直观来研究任意维的线性空间。

在我们学习射影几何时，也要利用我们已学过的各门数学知识，其中最重要的是平面几何的知识。

4.无穷集之间的1-1对应

    两个集合，如果它们相互1-1对应，我们通常就称这两个集合包含了相同数目的元素；如果一个集合的一部分与另一个集合1-1对应，那么前一集合的元素数目比后一集合的元素数目为大。

但这些结论仅适用于有限集，如果为无穷集，结论就常常不是这样了。

下面我们来看几个例子。

   ［例1］2,4,6,8,10,．．．等偶数仅仅是自然数的一半，但偶数集｛2,4,6,8,10,．．．｝与自然数集｛1,2,3,4,5,．．．｝是相互之间能够建立1-1对应的两个集合。

   【证明】我们为这两个集合的元素建立下面的对应：

自然数：

1，２，３，４，．．．

偶　数：

2，４，６，８，．．．

    在这种对应下，每个偶数2n都能找到一个自然数n与其对应，而且反之，每个自然数n也都能找到一个偶数2n与其对应。

可见，偶数虽为自然数的一半，但仍与自然数1-1对应。

   ［例2］自然数集合：

N={1,2,3,4,5,…}与自然数对（i,j），i,j=1,2,3,...的集合：

N2={（1,1）,（1,2）,（1,3）,…,（2,1）,（2,2）,（2,3）,…,（3,1）,（3,2）,（3,3）,…}为1-1对应的集合。

【证明】我们可以根据数对（i,j）的两个分量i,j的大小，将所有数对排成一个无穷方阵。

规定数对（i,j）放在方阵第i行j列。

这样每个数对（i,j）就有一个且仅有一个方阵格点与其对应，而所有数对就与方阵所有格点建立了1-1对应。

然后，再按下表所示方式将无穷多个方阵格点与无穷多个自然数建立对应：

1

2

6

7

↗

↙

.

3

5

8

↗

↙

.

.

4

9

13

↙

.

.

.

10

12

↙

↗

.

.

.

11

↙

↗

.

.

.

.

↙

↗

.

.

.

.

.

↗

.

.

.

.

.

.

    按这种对角线次序的排列方法，平面方阵的任意一个格点（i,j）都会有唯一的一个自然数ｎ（i,j）与其对应，而且反过来，每一个自然数n也一定能找到一个格点（i（n）,j（n））与此自然数对应。

所以，利用这种方法方式，平面正整数格点全体，因而也是数对（i,j）全体，与自然数全体建立了1-1对应。

    读者不妨思考一下，与自然数n=100对应的格点（i,j）的分量i,j是多少反过来，格点（10,10）对应的自然数n又是多少如果有条件且又有兴趣的话，还可在计算机上编个小程序来计算自然数ｎ与数对（i,j）之间的对应关系，无论用Ｃ用Delphi或者别的语言都行。

   【例3】１英寸线段上所有点与2英寸线段上所有的点为两个1-1对应的集合，

   【证明】如图4-1所示。

其中AB和A'B'分别是有2英寸和1英寸长的两条线段，C是AB上的任意一点。

为寻找A'B'上与C对应的点，我们连AA'和BB'，并延长交于S。

再作S与C的连线交A'B'于C'，则C'就是A'B'上与C对应的点。

反之，对A'B'上任意C'，同样可找出AB上的对应点C。

图4-1１英寸与2英寸长线段点的1-1对应

   【例4】对于无穷长直线AB上的任意一点，都能在1英寸长的线段A'B'上找到两个点与它对应。

   【证明】我们作一个半径为2π分之一英寸的圆，则其周长为1英寸，也就是线段A'B'的长。

因此，可以把这个圆看成就是由线段A'B'围成的圆，如图4-2所示。

    [注意，为了使标写的文字清晰，我们在图中把圆画大了一些，但所画圆的尺寸大小，不影响下面的证明。

]

    现设此圆的圆心为S。

我们从直线AB上的任意点C作直线与S相连，此直线与圆的下半段圆弧交于C'，与上半段圆弧交于C''。

则C'与C''就是与C对应的两点，由此得证。

图4-2１英寸圆周与无穷长直线点的对应

    反过来，对于圆上任意两个对称点C'与C''是否也能在直线AB上找到对应的一点呢显然，这里有一个例外，就是当C'与C''的连线C'C''平行于AB时，在AB上就找不到对应点了，因为这时的连线C'C''与AB不相交。

此例说明了一个似乎不可思议的事情：

1英寸线段A'B'上的点比无穷长直线AB上的点的两倍还要多出两个点。

   【例5】无穷直线上的点的集合与无穷平面上点的集合可以建立1-1对应。

   【证明】我们需要用以下三步来证明整个结论：

   （１）无穷直线与单位直线（0,1）中点可以建立1-1对应；　

   （２）单位直线（0,1）与单位平面（0,1）×（0,1）中点可以建立1-1对应；

   （３）单位平面（0,1）×（0,1）与无穷平面的点可以建立1-1对应。

然后，根据1-1对应关系的传递性，就证明了无穷直线上的点与无穷平面上点也可以建立1-1对应。

其中

（1）是明显的，我们只证

（2）和（3）。

先证

（2）。

因（0,1）中点是小于１的数d，可以用一个无穷小数

d=…

来表示，如果d原来为有穷小数，改为等价的无穷循环小数（如改为…），这样，（0,1）间的每一个数都有一个且仅有一个实数与它对应；现令

x=a3a5a7…,y=a4a6a8…

也就是说，用d的奇数位小数作为x的小数，d的偶数位小数作为y小数，那么，对任意一个直线点d，就有一个对应的平面点P（x,y）。

且反之，有一个平面点P（x,y），其中

x=a2a3a4…,y=b2b3b4…

那么也有唯一的直线点

d=b1a2b2a…

与它对应。

因此，单位平面点P（x,y）就和单位直线点d建立了1-1对应。

这样就证明了

（2）。

    再来证（3）。

将单位平面的垂直边v（0,1）与全平面x轴（-∞,+∞）对应，水平边u（0,1）与全平面y轴（-∞,+∞）对应。

这样单位平面内的点（u,v）就可与整个平面中的点（x,y）建立对应。

单位平面垂直边与x轴的对应如下图所示。

将单位平面的垂直边作纵轴v，S是纵轴顶部左边任取的点，S‘是纵轴底部右边任取的点。

图4-3使区间（0,1）中点与直线（-∞,+∞）中的点建立1-1对应

    垂线（0,1）被x轴分成上下两段，上段以S为中心与+ｘ轴对应；下段以S'为中心与-ｘ轴对应；中点与x=0点对应。

这样，整个x轴上的点就和（0,1）中的点建立了对应。

    类似地，单位平面水平边可与ｙ轴对应。

利用这两个分量的对应即实现单位平面与整个平面的点的对应。

从而证明了（3）。

    要特别注意，直线与平面上这种点的对应方式不具备连续性。

两个邻近的直线点对应到平面后位置可以不邻近，且反之也一样。

而本书后面将要考察的对应都要求有连续性，即其中任一集合的一个元素趋向另一元素时，另一集合的两个对应元素也必须充分接近。

除非其中的点为无穷远点才有例外。

    从上面各节的论述可以看出，1-1对应概念是比枚举（即计数）概念更为广泛的一种概念。

直线上的点我们无法一个一个地进行枚举，我们无法列出一个点的下一个点，但我们仍然可以考察这类集合之间的1-1对应。

    在集合论中，两个1-1对应的集称等势（power）集。

由上可知，当集合为有限时，等势集就意味元素数目相同。

但集合为无穷时，等势集并不意味包含的元素数目严格相同。

我们自然会问，是否所有无穷集都等势答案为否定，能够证明直线点集就比自然数集势要大，它们元素不能建立1-1对应（证略）。

凡和自然数1-1对应的集叫可列集（可数集、可枚举集），它们的势叫可列势。

凡和直线点集1-1对应的集叫连续集，它们的势叫连续势。

集合论中已证明比连续集更大的集也存在。

5.部分和整体的1-1对应，无穷集的定义

    从上节讨论的几个例子中我们都能看出一个非常重要的事实，即无穷集都可以与它的一个真子集（从原集合中排除一些元素之后的集合）建立1-1对应。

这种情况对于有限集是无法想象也根本不可能发生的。

无穷集之所以会有这一特点，根本原因就在于无穷集的一部分仍可能是无穷，因而元素的“数目”并不减少。

因此，可以利用无穷集的这一特征作为无穷集的一种定义：

   【定义】能与自己的真子集1-1对应的集称为无穷集。

    这一定义是一个正面定义，它与通常的，把无穷集说成是“无法枚举的集合”或“无法枚举完成的集合”等消极定义相比，更容易用实践检验，因而也是更为合理的定义。

6.无穷远点

    前面§4的例２中，我们证明了两个不同长度的线段上的点的全体可以建立1-1对应，同节的例４则证明一寸