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第二章条件概率与统计独立性

“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。

其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。

《说文解字》中有注曰：

“师教人以道者之称也”。

“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。

“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。

“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。

“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。

慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。

只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。

今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。

1、字母M，A，X，A，M分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM的概率是多少？

我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。

为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?

吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:

“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!

”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。

特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:

提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。

知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。

根本原因还是无“米”下“锅”。

于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。

所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。

要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。

2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。

这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。

要求学生抽空抄录并且阅读成诵。

其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。

如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。

如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?

3、若M件产品中包含m件废品，今在其中任取两件，求：

（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；

（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。

4、袋中有a只黑球，b吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（）。

5、从{0，1，2，…，9}中随机地取出两个数字，求其和大于10的概率。

6、甲袋中有a只白球，b只黑球，乙袋中有吸白球，吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？

7、设的N个袋子，每个袋子中将有a只黑球，b只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？

8、投硬币n回，第一回出正面的概率为c，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p，求第n回时出正面的概率，并讨论当时的情况。

9、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。

以pn，qn，rn分别记在第n次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。

试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn，qn，rn表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当时的情况。

10、设一个家庭中有n个小孩的概率为

这里。

若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有个男孩的概率为。

11、在上题假设下：

（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率；

（2）已知家庭中没有女孩，求正好有一个男孩的概率。

12、已知产品中96%是合格品，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05，求在简化方法检查下，合格品的一个产品确实是合格品的概率。

13、设A，B，C三事件相互独立，求证皆与C独立。

14、若A，B，C相互独立，则亦相互独立。

15、证明：

事件相互独立的充要条件是下列2n个等式成立：

其中取或。

16、若A与B独立，证明中任何一个事件与中任何一个事件是相互独立的。

17、对同一目标进行三次独立射击，第一，二，三次射击的命中概率分别为0.4，0.5，0.7，试求

（1）在这三次射击中，恰好有一次击中目标的概率；

（2）至少有一次命中目标的概率。

18、设相互独立，而，试求：

（1）所有事件全不发生的概率；

（2）诸事件中至少发生其一的概率；（3）恰好发生其一的概率。

19、当元件k或元件或都发生故障时电路断开，元件k发生故障的概率等于0.3，而元件k1，k2发生故障的概率各为.2，求电路断开的概率。

20、说明“重复独立试验中，小概率事件必然发生”的确切意思。

21、在第一台车床上制造一级品零件的概率等于0.7，而在第二台车床上制造此种零件的概率等于0.8，第一台车床制造了两个零件，第二台制造了三个零件，求所有零件均为一级品的概率。

22、掷硬币出现正面的概率为p，掷了n次，求下列概率：

（1）至少出现一次正面；

（2）至少出现两次正面。

23、甲，乙，丙三人进行某项比赛，设三个胜每局的概率相等，比赛规定先胜三局者为整场比赛的优胜者，若甲胜了第一，三局，乙胜了第二局，问丙成为整场比赛优胜者的概率是多少？

24、甲，乙均有n个硬币，全部掷完后分别计算掷出的正面数相等的概率。

25、在贝努里试验中，事件A出现的概率为p，求在n次独立试验中事件A出现奇数次的概率。

26、在贝努里试验中，若A出现的概率为p，求在出现m次A之前出现k次A的概率。

27、甲袋中有只白球和一只黑球，乙袋中有N只白球，每次从甲，乙两袋中分别取出一只球并交换放入另一袋中去，这样经过了n次，问黑球出现在甲袋中的概率是多少？

并讨论时的情况。

28、某交往式计算机有20个终端，这些终端被各单位独立操作，使用率各为0.7，求有10个或更多个终端同时操作的概率。

29、设每次射击打中目标的概率等于0.001，如果射击5000次，试求打中两弹或两弹以上的概率。

30、假定人在一年365日中的任一日出生的概率是一样的，在50个人的单位中有两面三刀个以上的人生于元旦的概率是多少？

31、一本500页的书，共有500个错字，每个字等可能地出现在每一页上，试求在给定的一页上至少有三个错字的概率。

32、某疫苗中所含细菌数服从普阿松分布，每1毫升中平均含有一个细菌，把这种疫苗放入5只试管中，每试管放2毫升，试求：

（1）5只试管中都有细菌的概率；

（2）至少有3只试管中有细菌的概率。

33、通过某交叉路口的汽车可看作普阿松过程，若在一分钟内没有车的概率为0.2，求在2分钟内有多于一车的概率。

34、若每蚕产n个卵的概率服从普阿松分布，参数为，而每个卵变为成虫的概率为p，且各卵是否变为成虫彼此间没有关系，求每蚕养出k只小蚕的概率。

35、某车间宣称自己产品的合格率超过99%，检验售货员从该车间的10000件产品中抽查了100件，发现有两件次品，能否据此断定该车间谎报合格率？

36、在人群中男人患色盲的占5%，女人患色盲的占0.25%，今任取一人后检查发现是一个色盲患者，问它是男人的概率有多大?

37、四种种子混在一起，所占的比例是甲：

乙：

丙：

丁=15：

20：

30：

35，各种种子不同的发芽率是：

2%，3%，4%，5%，已从这批种子中任送一粒观察,结果未发芽，问它是甲类种子的概率是多少?

38、对同一目标由3名射手独立射击的命中率是0.4、0.5,和0.7，求三人同时各射一以子弹而没有一发中靶的概率?

39、有两个袋子，每个袋子装有a只黑球，b只白球，从第一个中任取一球放入第二个袋中，然后从第二个袋中取出一黑球的概率是多少？

40、已知产品中96%是合格的，现有一种简单的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05，求此简化法检查下为合格品的一个产品确实是合格品的概率。

41、某射手用三支枪各向靶射一发子弹，假设三支枪中靶的概率分别为，结果恰有两弹中靶，问枪射中的概率为多少?

42、已知产品中96%是合格的，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05,求此简化法检查下为合格品的一个产品确实是合格品的概率。

43、设第一个盒子中有两个白球和一个黑球，第二个盒中有三个白球和一个黑球，第三个盒子中有两个白球和两个黑球。

此三个盒子外形相同，某人任取一个盒子，再从中任取一个球，求他取得白球的概率。

44、用血清蛋白的方法诊断肝癌，令“被检查者患有肝癌”，“判断被检查者患有肝癌”。

设现有一个人诊断患有肝癌，求他确有肝癌的概率。

45、一批零件共100个，次品有10个。

每次从其中任取1个零件，菜取3次，取出后不放回。

示第3次才取得合格品的概率。

46、10个零件中有3个次品，7个合格品，每次从其中任取1个零件，共取3次，取后不放回。

求：

（1）这3次都抽不到合格品的概率；

（2）这3次至少有1次抽到合格品的概率。

47、一批产品中有15%的次品。

进行独立重复抽样检查，问取出的20个样品中最大可能的次品数是多少？

并求其概率。

48、一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布。

求

（1）每分钟恰有6次呼唤的概率；

（2）每分钟呼唤次数不超过10的概率。

49、有一汽车站有大量汽车通过，设每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001。

在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于的概率。

50、某商店出售某种贵重物品，根据以往的经验，每月销售量服从参数的泊松分布。

问在月初进货时，要库存多少件才能以99。

2%的概率充分满足顾客的需要？

51、从某厂产品中任取200件，检查结果发现其中有4件废品。

我们能否认为该产品的废品率不超过0.005？

52、若是三个独立的事件，则亦是独立的。

53、设P（A）>0，若A与B相互独立,则P（B|=P（B）。

54、若相互独立，则和及与亦独立。

55、设P（A）>0,P（B）>0，证明A和B相互独立与A和B互不相容不能同时成立。

56、求证：

如果，则。

57、证明：

若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立。

58、设A，B，C三事件相互独立，求证皆与C独立。

59、若A，B，C相互独立，则亦相互独立。

60、若A与B独立，证明中任何一个事件与中任何一个事件是相互独立的。

第二章解答

1、解：

自左往右数，排第i个字母的事件为Ai，则

所以题中欲求的概率为

2、解：

总场合数为23=8。

设A={三个孩子中有一女}，B={三个孩子中至少有一男}，A的有利场合数为7，AB的有利场合为6，所以题中欲求的概率P（B|A）为

3、解：

（1）M件产品中有m件废品，件正品。

设A={两件有一件是废品}，B={两件都是废品}，显然，则，

题中欲求的概率为

（2）设A={两件中有一件不是废品}，B={两件中恰有一件废品}，显然，则.

题中欲求的概率为

（3）P{取出的两件中至少有一件废品}=.

4、解：