完整版几何模型一线三等角模型.docx
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完整版几何模型一线三等角模型
一线三等角模型
一.一线三等角概念
“一线三等角”是一个常见的相似模型,上构成的相似图形,这个角可以是直角,不同的称呼,“K形图”,
二•一线三等角的分类全等篇
指的是有三个等角的顶点在同一条直线也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有“弦图”
锐角
同侧
异侧
相似篇
锐角
同侧
异侧
三、“一线三等角”
1.一般情况下,如图
2•当等角所对的边相等时,则两个三角形全等易得△AE3ABDE.
.如图3-1,若CE=ED则厶AE3ABDE.
ff
构造模型解题
图3-5
其实这个第4图,延长DC反而好理解.相当于两侧型的,不延长理解,以为是一种新型的,同侧穿越型?
不管怎么变,都是由三等角确定相似三角形来进行解题
四、“一线三等角”的应用
1.“一线三等角”应用的三种情况.
a.图形中已经存在“一线三等角”,直接应用模型解题;
b.图形中存在“一线二等角”,不上“一等
A
4•“中点型一线三等角“的变式(了解)
5.“一线三等角”的各种变式(图3-5,以等腰三角形为例进行说明)
c.图形中只有直线上一个角,不上“二等角”构造模型解题•
体会:
感觉最后一种情况出现比较多,尤其是压轴题中,经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时,我经常构造“一线三等角”来解题•
2.在定边对定角问题中,构造一线三等角是基本手段,尤其是直角坐标系中的张角问题,在x轴或y轴(也可以是平行于x轴或y轴的直线)上构造线三等角解决问题更是重要的手段•
3.
构造一线三等角的步骤:
找角、定线、构相似
则tmZAEC=tanZBFD=taDGiWlZAEC=ZBFD=a=ZA?
B^^iPAE«iBPF・
坐标系中,要讲究“线”的特殊性
如图3-6,线上有一特殊角,就考虑构造同侧型一线三等角
当然只加这两条线通常是不够的,为了利用这个特殊角导线段的关系,过C、D
两点作直线I的垂线是必不可少的。
两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。
上面就是作辅助线的一般程序,看起来线条比较多,很多老师都认为一下子不容易掌握•
解题示范
例1如图所示,一次函数yx4与坐标轴分别交于A、B两点,点P是线段AB上
一个动点(不包括A、B两端点),C是线段0B上一点,/OPC=45°若△OPC是等腰三角形,求点P的坐标•
例2如图所示,四边形ABCD中,/C=90°/ABD=/DBC=22.5°AE丄BC于E,/ADE=67.5°AB=6,贝UCE=.
例3如图,四边形ABCD中,/ABC=/BAD=90°,ZACD=45°,AB=3,AD=5.求BC的长.
x-3
例4如图,△ABC中,/BAC=45°,AD丄BC,BD=2,CD=3,求AD的长.
一线三等角,补形最重要,内构勤思考,外构更精妙•找出相似形,
比例不能少•巧设未知数,妙解方程好
还是可以纵横斜三个方向构造,坐标系中一般考虑纵横两个方向构造
例5如图,在△ABC中,/BAC=135,AC=.2AB,AD丄AC交BC于点D,若AD=2,
求Z\ABC的面积
当然有45°或135。
等特殊角,据此也可以构造不同的一线三等角
一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起,是相似集中条件的一种
大练身手:
】.如團,A4占<7中,tan厶6=—=90°,AD=2,5C=4.求的比
Z如图*△彳RQ中,zJ¥= 王如图,在四边形脑CD中*ABADZACB=ZAC1>45*fAC4,求2\£〔4的周比 C 5•如图.在Rt^ABC中,ZACB-30Q■场平分ZCAB.若ZCDB-60。 CA二価求应)的长. 巧、 /\ 6•如图・在等腰宜角三角形中.ZBAO909•D为仙上一鼠连接CdP为CD上一民ZBFD二45°,若CP=6,MCD的面积为18,则线段D〃的长为• &如樹,△仙C中.ZBAO909■肋=2血■点D悝BC边上.BC^JiCD,DE丄PCLLDE=DCDE 交AC边与点F.EF=V5,则/IC的长为・ 9•如图,任平向岂角坐标条中.点4(4.0〉,点(0.2歼点C在第一欽限内,若AMC为等边三角形,则 点C的坐标为 10•矩形ABCD坐标系的位置如图所示,点*(2届,0)点C(05),反比例浙敬的图像交边血、 BCTD.E两点•且ZDOE45*,则匕. 11•如用.点线—2—4交坐标轴与不〃两点•交双曲线y--(x>0)于点G点P在点C AT 的右侧的双曲线匕ZPBC=45°•则点P的坐标为. 12.在MBC中,AB=2>l2.ZB=45%以点4为直角顶点作寻腰直角△/<%•点D^.BC上■点EgAC上, 若CE^JS■则CD的长为. 13•如图,直角ZXMC中.ZC=909.AC=6.BO8.£>是斜边的中点.E为BC上动点,DF丄4E于点F,连接DE.若ADEF是等腰頁角三角形.求DE的长度. 14•在^ABC中.Z£=45a,ZC=30°,点D足BC上一点.连接Q・过点4作4G丄应>・在4G上取 点氏连接£>F・延长IM至民使AE=AF.连接EG.DG,H.GE=DF. (1)若AB=142AB=2.求BC的长; (2)tHlRJb当点G在AC时,求证IBD^-CGx 2 (3)如用2,当点G在ACM直平分线上时,直接写出笔的值. 例7: 在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),B(0,3),C(-3,0),D是线段AB上一 点,CD交y轴于E,且S^bce=2S^aob. (1)求直线AB的解析式; (2)求点D的坐标,猜想线段CE与线段AB的数量关系和位置关系,并说明理由; (3)若F为射线CD上一点,且/DBF=45°求点F的坐标. x 例8如图,直线y=x+2与y轴交于点C,与抛物线y=ax2交于A、B两点(A在B的左侧),BC=2AC,点P是抛物线上一点. (1)求抛物线的函数表达式; (2)若点P在直线AB的下方,求点P到直线AB的距离的最大值; (3)若点P在直线AB的上方,且/BPC=45°求所有满足条件的点P的坐标. 练1•如图,抛物线的顶点为C(-1,-1),且经过点A、点B和坐标原点0,点B的横坐标为—3. (1)求抛物线的解析式; (2)若点D为抛物线上的一点,且△B0D的面积等于△B0C的面积,请直接写出点D的坐标; (3)若点E的坐标为(0,2),点P是线段BC上的一个动点,是否存在点P,使得/OPE=45°若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 课后作业: 如图,点A(0,-1),B(3,0),P为直线y=-x+5上一点,若/APB=45°,求点P的坐标 在四边形ABCD中,/ABC=/BAD=90°,/ACD=45°,AB=3,AD=4,求AC的长. 如图,正方形ABCD中,点E,F,G分别在AB,BC,CD上,△EFG为等边三角形,求证: BE+GC=3BC 如图,△ABC: △DBA,且AC=2BC,求证: CD=2AB. 如图,在四边形ABCD中,/ABC=90°AB=3,BC=4,CD=10,DA=5^5,求BD的长 如图,点A是反比例(X>0)图形上一点,点B是X轴正半轴上一点,点C的坐标为(0,2),点厶ABC是等边三角形时,求点A的坐标. 掀物线y=*牡门与坐标轴交于水R、C三点.点尸隹撫物钱上.PE丄RU于点&若PE=2CE. 求尸点坐拆- 如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C, 17 直线I: y=-2X+m经过点A,与抛物线交于另一点D(5,--),点P是直线I上方的抛物线上的动点,连接PCPD. (1)求抛物线的解析式; (2)当厶PCD为直角三角形时,求点P的坐标; (3)设厶PCD的面积为S,请你探究: 使S的值为整数的点P共有几个,说明理由. 4222 1•如图1,已知直线y=kx与抛物缎27X~3交于点A(3,6). (1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度; (2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M(点M、0不 重合),交直线0A于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究: 线段QM与线段QN的长度之比是否为定值? 如果是,求出这个定值,如果不是,说明 理由; (3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段0A上(与点0、A不重合),点D(m,0)是x轴正半轴上的动点,且满足/BAE=ZBED=ZA0D.继续探究: m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个? 如图,直线AC: y=-2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过A、C两点,与x轴交于另一点B(B在A的右侧),且△0B8AOCA. (1)求抛物线的解析式; (2)点D为抛物线上一点,/DCA=45°求点D的坐标;
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- 完整版 几何 模型 一线 等角