高中数学人教A版选修21 模块综合检测2.docx
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高中数学人教A版选修21模块综合检测2
模块综合测试
(二)
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知命题p:
∀x∈R,x≥1,那么命题¬p为( )
A.∀x∈R,x≤1 B.∃x∈R,x<1
C.∀x∈R,x≤-1 D.∃x∈R,x<-1
解析:
全称命题的否定是特称命题.
答案:
B
2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)与抛物线y2=8x有一个相同的焦点F,且该点到双曲线的渐近线的距离为1,则该双曲线的方程为( )
A.x2-y2=2 B.-y2=1
C.x2-y2=3 D.x2-=1
解析:
本题主要考查双曲线与抛物线的有关知识.由已知,a2+b2=4 ①,焦点F(2,0)到双曲线的一条渐近线bx-ay=0的距离为=1 ②,由①②解得a2=3,b2=1,故选B.
答案:
B
3.已知命题p,q,如果命题“¬p”与命题“p∨q”均为真命题,那么下列结论正确的是( )
A.p,q均为真命题
B.p,q均为假命题
C.p为真命题,q为假命题
D.p为假命题,q为真命题
解析:
命题“¬p”为真,所以命题p为假命题.又命题“p∨q”也为真命题,所以命题q为真命题.
答案:
D
4.在三角形ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,已知命题p:
a>b,命题q:
tan2A>tan2B,则p是q的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:
本题主要考查充要条件的判定以及三角形、三角函数的有关知识.在三角形中,命题p:
a>b⇔A>B.命题q:
tan2A>tan2B⇔sin(A+B)sin(A-B)>0⇔A>B,显然p是q的充要条件,故选C.
答案:
C
5.如右图,在三棱锥A—BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC,E为BC中点,则·等于( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:
如右图,建立空间直角坐标系.
设DC=DB=a,DA=b,
则B(a,0,0)、C(0,a,0)、A(0,0,b),E(,,0),
所以=(-a,a,0),
=(,,-b),·=-++0=0.
答案:
A
6.若直线y=x+1与椭圆+y2=1相交于A,B两个不同的点,则||等于( )
A. B.
C. D.
解析:
联立方程组得3x2+4x=0,
解得A(0,1),B(-,-),
所以||==.
答案:
B
7.[2014·浙江省杭州二中期末考试]给出下列命题:
①若向量a,b共线,则向量a,b所在直线平行;
②若三个向量a,b,c两两共面,则a,b,c共面;
③已知空间中三个向量a,b,c,则对空间的任意一个向量p,总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc成立.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:
本题主要考查空间向量的共线、共面、空间向量的基本定理等基础知识.若向量a,b共线,则向量a,b所在直线平行或在同一条直线上,故①不正确;在三棱锥P-ABC中,取,,分别为向量a,b,c,则a,b,c两两共面,但a,b,c不共面,故②不正确;在三棱锥P-ABC中,取,,分别为向量a,b,c,则对向量,不存在实数x,y,z使得=xa+yb+zc成立,故③不正确;综上,正确命题的个数是0,故选A.
答案:
A
8.下列四个结论中正确的个数为( )
①命题“若x2<1,则-1
②已知p:
∀x∈R,sinx≤1,q:
若a
③命题“∃x∈R,x2-x>0”的否定是“∀x∈R,x2-x≤0”;
④“x>2”是“x2>4”的必要不充分条件.
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
解析:
只有③中结论正确.
答案:
B
9.[2014·河南省开封高中月考]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=,E、F分别是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心,则E、F两点间的距离为( )
A.1 B.
C. D.
解析:
本题主要考查空间中两点间的距离.以点A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则E(1,1,),F(2,1,),所以|EF|==,故选C.
答案:
C
10.如右图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=BC=CC1,AC⊥BC,点D是AB的中点,则直线B1B和平面CDB1所成角的正切值为( )
A.2 B.
C. D.
解析:
如下图,建立空间直角坐标系,可设AC=BC=CC1=1,
则A(1,0,0),B(0,1,0),D(,,0),B1(0,1,1),=(,,0),=(0,1,1),=(0,0,-1).
设平面CDB1的法向量为n=(x,y,z),
由即
不妨取n=(1,-1,1),
所以cos〈n,〉===-.
设直线B1B和平面CDB1所成角为α,则sinα=,
故cosα=,tanα=.
答案:
D
11.已知F是抛物线y2=4x的焦点,过点F且斜率为的直线交抛物线于A、B两点,则||FA|-|FB||的值为( )
A. B.
C. D.
解析:
本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及抛物线的有关性质.直线AB的方程为y=(x-1),由得3x2-10x+3=0,故x1=3,x2=,所以||FA|-|FB||=|x1-x2|=.故选A.
答案:
A
12.[2012·浙江高考]如图,F1、F2分别是双曲线C:
-=1(a,b>0)的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与双曲线C的两条渐近线分别交于P、Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|,则双曲线C的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析:
本题主要考查双曲线离心率的求解.结合图形的特征,通过PQ的中点,利用线线垂直的性质进行求解.不妨设c=1,则直线PQ:
y=bx+b,双曲线C的两条渐近线为y=±x,因此有交点P(-,),Q(,),设PQ的中点为N,则点N的坐标为(,),因为线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M,|MF2|=|F1F2|,所以点M的坐标为(3,0),因此有kMN==-,所以3-4a2=b2=1-a2,所以a2=,所以e=.
答案:
B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.命题“∃x∈R,x2+2x+2≤0”的否定是__________.
解析:
特称命题的否定是全称命题,故原命题的否定是∀x∈R,x2+2x+2>0.
答案:
∀x∈R,x2+2x+2>0
14.已知双曲线-=1的一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的离心率e为__________.
解析:
当m>0,n>0时,可设a=3k,b=4k,
则c=5k,所以离心率e=;
当m<0,n<0时,可设a=4k,b=3k,
则c=5k,所以离心率e=.
答案:
或
15.正方体ABCD—A1B1C1D1中,点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心,若+λ=0(λ∈R),则λ=__________.
解析:
如右图,连结A1C1,C1D,则E在A1C1上,F在C1D上易知EF綊A1D,∴=,
即-=0,∴λ=-.
答案:
-
16.[2014·湖北省襄阳五中月考]已知函数f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R),给出下列命题:
①若a2-b≤0,则f(x)在区间[a,+∞)上是增函数;②若a2-b>0,则f(x)在区间[a,+∞)上是增函数;③当x=a时,
f(x)有最小值b-a2;④当a2-b≤0时,f(x)有最小值b-a2.其中正确命题的序号是________.
解析:
本题考查含绝对值的二次函数单调区间和最小值问题的求解.由题意知f(x)=|x2-2ax+b|=|(x-a)2+b-a2|.若a2-b≤0,则f(x)=|(x-a)2+b-a2|=(x-a)2+b-a2,可知f(x)在区间[a,+∞)上是增函数,所以①正确,②错误;只有在a2-b≤0的条件下,才有x=a时,f(x)有最小值b-a2,所以③错误,④正确.
答案:
①④
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)
(1)设集合M={x|x>2},P={x|x<3},则“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的什么条件?
(2)求使不等式4mx2-2mx-1<0恒成立的充要条件.
解:
(1)x∈R,x∈(M∩P)⇔x∈(2,3).
因为“x∈M或x∈P”x∈(M∩P).
但x∈(M∩P)⇒x∈M或x∈P.
故“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的必要不充分条件.
(2)当m≠0时,不等式4mx2-2mx-1<0恒成立⇔⇔-4 又当m=0时,不等式4mx2-2mx-1<0对x∈R恒成立, 故使不等式4mx2-2mx-1<0恒成立的充要条件是-4 18.(12分)[2014·福建省质检]某几何体ABC-A1B1C1的三视图和直观图如图所示. (1)求证: A1C⊥平面AB1C1; (2)求二面角C1-AB1-C的余弦值. 解: (1)由三视图可知,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面A1B1C1,B1C1⊥A1C1,且AA1=AC=4,BC=3. 以点C为原点,分别以CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图.由已知可得A(4,0,0),B(0,3,0),C(0,0,0),A1(4,0,4),B1(0,3,4),C1(0,0,4), ∴=(4,0,4),=(4,0,-4),=(0,3,0). ∴·=4×4+0×0+4×(-4)=0,·=4×0+0×3+4×0=0. ∴CA1⊥C1A,CA1⊥C1B1,又C1A∩C1B1=C1,∴A1C⊥平面AB1C1. (2)由 (1)得,=(4,0,0),=(0,3,4), 设平面AB1C的法向量为n=(x,y,z),则⊥n,⊥n, ∴,∴, 即x=0,令y=4,则z=-3,得平面AB1C的一个法向量为n=(0,4,-3). 由 (1)知,是平面AB1C1的一个法向量, cos〈n,〉===-. 由图可知,二面角C1-AB1-C为锐角, 故二面角C1-AB1-C的余弦值为. 19.(12分)设直线l: y=x+1与椭圆+=1(a>b>0)相交于A,B两个不同的点,l与x轴相交于点F. (1)证明: a2+b2>1; (2)若F是椭圆的一个焦点,且=2,求椭圆的方程. 解: (1)证明: 将x=y-1代入+=1,消去x,整理,得(a2+b2)y2-2b2y+b2(1-a2)=0. 由直线l与椭圆相交于两个不同的点,得 Δ=4b4-4b2(a2+b2)(1-a2)=4a2b2(a2+b2-1)>0,所以a2+b2>1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 则(a2+b2)y-2b2y1+b2(1-a2)=0,① 且(a2+b2)y-2b2y2+b2(1-a2)=0.② 因为=2,所以y1=-2y2. 将y1=-2y2代入①,与②联立,消去y2,整理得(a2+b2)(a2-1)=8b2.③ 因为F是椭圆的一个焦点,则有b2=a2-1. 将其代入③式,解得a2=,b2=, 所以椭圆的方程为+=1. 20.(12分)已知两点M(-1,0)、N(1,0),动点P(x,y)满足||·||-·=0, (1)求点P的轨迹C的方程; (2)假设P1、P2是轨迹C上的两个不同点,F(1,0),λ∈R,=λ,求证: +=1. 解: (1)||=2,则=(x+1,y), =(x-1,y). 由|
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