城关小学数学校本课程.docx
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城关小学数学校本课程
(校本课程)
四、速算与巧算
【知识要点】
(一)四则运算的定律、性质、法则是进行速算与巧算的重要依据。
1、利用运算定律使计算简便。
2、利用运算顺序的改变使计算简便。
3、利用运算法则使计算巧妙。
(二)转化是速算与巧算的主要技巧。
1、当一个数接近整十、整百、整千……的时候,将其转化为整十、整百、整千的数,计算比较简便。
2、利用数的分解或拆数,转化后巧算。
3、改变计算方法(变加为减,变减为加,变乘为除,变除为乘)使计算简便。
(三)认真观察算式及数的特征,剖析数于数之间的关系,是灵活的选择和合理运用计算技巧的主要方法。
一、加法中的速算
1、计算等差连续数的和
相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数,又叫等差数列,如:
1,2,3,4,5,6,7,8,9
1,3,5,7,9
2,4,6,8,10
3,6,9,12,15
4,8,12,16,20等等都是等差连续数.
(1.)等差连续数的个数是奇数时,它们的和等于中间数乘以个数,如:
例:
1+2+3+4+5+6+7+8+9
=5×9中间数是5
=45共9个数
(2.)等差连续数的个数是偶数时,它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半,如:
例1:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=(1+10)×5
=11×5=55
共10个数,个数的一半是5,首数是1,末数是10.
例2:
3+5+7+9+11+13+15+17
=(3+17)×4=20×4=80
共8个数,个数的一半是4,首数是3,末数是17.
2、基准数法
例1:
23+20+19+22+18+21
解:
仔细观察,各个加数的大小都接近20,所以可以把每个加数先按20相加,然后再把少算的加上,把多算的减去.
23+20+19+22+18+21
=20×6+3+0-1+2-2+1
=120+3=123
6个加数都按20相加,其和=20×6=120.23按20计算就少加了“3”,所以再加上“3”;19按20计算多加了“1”,所以再减去“1”,以此类推.
例2:
8.1+7.8+8.2+8.4+7.9+7.6
解:
算式中的6个数都接近8,可以用8作为基准数,先求出6个8的和,再加上比8大的数中少加的部分,减去比8小的数中多加的部分。
也可以运用凑整法。
8.1+7.8+8.2+8.4+7.9+7.6
=8×6+0.1-0.2+0.2+0.4-0.1-0.4=8×6=48
例3:
102+100+99+101+98
解:
方法1:
仔细观察,可知各个加数都接近100,所以选100为基准数,采用基准数法进行巧算.
102+100+99+101+98
=100×5+2+0-1+1-2=500
方法2:
仔细观察,可将5个数重新排列如下:
(实际上就是把有的加数带有符号搬家)
102+100+99+101+98
=98+99+100+101+102
=100×5=500
可发现这是一个等差连续数的求和问题,中间数是100,个数是5.
3.利用“补数”巧算加法,通常称为“凑整法”。
两个数相加,若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…,就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。
如:
1+9=10,3+7=10,2+8=10,4+6=10,5+5=10。
又如:
11+89=100,33+67=100,22+78=100,44+56=100, 55+45=100,
在上面算式中,1叫9的“补数”;89叫11的“补数”,11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。
对于一个较大的数,如何能很快地算出它的“补数”来呢?
一般来说,可以这样“凑”数:
从最高位凑起,使各位数字相加得9,到最后个位数字相加得10。
如:
87655→12345,46802→53198,
87362→12638,…
(1)互补数先加。
例1巧算下面各题:
①36+87+64②99+136+101
③1361+972+639+28④5.8+2.32+0.68+4.2
解:
①式=(36+64)+87②式=(99+101)+136
=100+87=187=200+136=336
③式=(1361+639)+(972+28)④式=(5.8+4.2)+(2.32+0.68)
=2000+1000=3000=10+3=13
(2)拆出补数来先加。
例2①188+873②548+996③9898+203
④1999+199.9+19.99+1.99
解:
①式=(188+12)+(873-12)(熟练之后,此步可略)
=200+861=1061
②式=(548-4)+(996+4)
=544+1000=1544
③式=(9898+102)+(203-102)
=10000+101=10101
④式=2000+200+20+2-1-0.1-0.01-0.01
=2222-1.12=2220.88
二、减法中的速算
1.把几个互为“补数”的减数先加起来,再从被减数中减去。
例①300-73-27
②1000-90-80-20-10
解:
①式=300-(73+27)
=300-100=200
②式=1000-(90+80+20+10)
=1000-200=800
2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。
例①4723-(723+189)
②2356-159-256
解:
①式=4723-723-189
=4000-189=3811
②式=2356-256-159
=2100-159
=1941
3.利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整,再运算(注意把多加的数再减去,把多减的数再加上)。
例①506-397
②323-189
③467+997
④987-178-222-390
⑤12.59-3.24-5.76
解:
①式=500+6-400+3(把多减的3再加上)
=109
②式=323-200+11(把多减的11再加上)
=123+11=134
③式=467+1000-3(把多加的3再减去)
=1464
④式=987-(178+222)-390
=987-400-400+10=197
⑤式=12.59-(3.24+5.76)
=12.56-9=3.56
三、乘法中的速算
1.两数的乘积是整十、整百、整千的,要先乘.为此,要牢记下面这三个特殊的等式:
5×2=10 25×4=100125×8=1000
利用运算结合律进行速算。
例1计算①123×4×25
②125×2×8×25×5×4
解:
①式=123×(4×25)
=123×100=12300
②式=(125×8)×(25×4)×(5×2)
=1000×100×10=1000000
2.分解因数,凑整先乘。
例2计算①24×25
②56×125
③125×5×32×5
解:
①式=6×(4×25)
=6×100=600
②式=7×8×125=7×(8×125)
=7×1000=7000
③式=125×5×4×8×5=(125×8)×(5×5×4)
=1000×100=100000
练习:
72×12532×125×25
3.应用乘法分配律。
例3计算①175×34+175×66
②67×12+67×35+67×52+6
解:
①式=175×(34+66)
=175×100=17500
②式=67×(12+35+52+1)
=67×100=6700
(原式中最后一项67可看成67×1)
例4计算①123×101②123×99
解:
①式=123×(100+1)=123×100+123
=12300+123=12423
②式=123×(100-1)
=12300-123=12177
4.几种特殊因数的巧算。
例5一个数×10,数后添0;
一个数×100,数后添00;
一个数×1000,数后添000;
以此类推。
如:
15×10=150
15×100=1500
15×1000=15000
例6一个数×9,数后添0,再减此数;
一个数×99,数后添00,再减此数;
一个数×999,数后添000,再减此数;…
以此类推。
如:
12×9=120-12=108
12×99=1200-12=1188
12×999=12000-12=11988
例7一个偶数乘以5,可以除以2添上0。
如:
6×5=30
16×5=80
116×5=580。
例8一个数乘以11,“两头一拉,中间相加”。
如2222×11=24442
2456×11=27016
例9一个偶数乘以15,“加半添0”.
24×15
=(24+12)×10
=360
因为
24×15
=24×(10+5)
=24×(10+10÷2)
=24×10+24×10÷2(乘法分配律)
=24×10+24÷2×10(带符号搬家)
=(24+24÷2)×10(乘法分配律)
例10个位为5的两位数的自乘:
十位数字×(十位数字加1)×100+25
如15×15=1×(1+1)×100+25=225
25×25=2×(2+1)×100+25=625
35×35=3×(3+1)×100+25=1225
45×45=4×(4+1)×100+25=2025
55×55=5×(5+1)×100+25=3025
65×65=6×(6+1)×100+25=4225
75×75=7×(7+1)×100+25=5625
85×85=8×(8+1)×100+25=7225
95×95=9×(9+1)×100+25=9025
例11:
与25相乘的方法:
一个因数扩大4倍,另一个因数缩小4倍积不变。
如660×25=(660÷×4)×(25×4)=165×100=165×00,也就是把660÷4的商扩大100倍。
练习:
52×25720×25164×25224×252800×25
1680×25396×25476×25288×25912×25
例12:
(分解法)计算下面各题
(1)18×5.5
(2)8.88×1.25(3)34.7×0.25
(4)238÷1.25(5)0.25×12.5×3.2
【思路点拨】
(1)运用分解法巧算。
把18分解为9×2,然后运用乘法结合律,把2×5.5结合积为11,最后求出9与11的积。
(2)把8.88分解为8×1.11,然后运用乘法结合律。
(3)因为4×0.25=1,所以一个数乘0.25,就相当于这个数除以4.
(4)因为8×1.25=10,所以一个数除以1.25,相当于这个数除以10,再乘8,即先把小数点向左移动一位,再乘8.
(5)把3.2分解为4×0.8,在运用乘法结合律
四、除法及乘除混合运算中的巧算
1.在除法中,利用商不变的性质巧算
商不变的性质是:
被除数和除数同时乘以或除以相同的数(
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