相似三角形选择压轴题精选.docx
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相似三角形选择压轴题精选
2014年1月发哥的初中数学组卷
一.选择题(共30小题)
1.(2013•南通)如图.Rt△ABC内接于⊙O,BC为直径,AB=4,AC=3,D是的中点,CD与AB的交点为E,则等于( )
A.
4
B.
3.5
C.
3
D.
2.8
2.(2013•黑龙江)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,∠ABC=45°,AD=CD,CE平分∠ACB交AB于点E,在BC上截取BF=AE,连接AF交CE于点G,连接DG交AC于点H,过点A作AN⊥BC,垂足为N,AN交CE于点M.则下列结论;①CM=AF;②CE⊥AF;③△ABF∽△DAH;④GD平分∠AGC,其中正确的个数是( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
3.(2013•海南)直线l1∥l2∥l3,且l1与l2的距离为1,l2与l3的距离为3,把一块含有45°角的直角三角形如图放置,顶点A,B,C恰好分别落在三条直线上,AC与直线l2交于点D,则线段BD的长度为( )
A.
B.
C.
D.
4.(2013•德阳)如图,在⊙O上有定点C和动点P,位于直径AB的异侧,过点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点Q,已知:
⊙O半径为,tan∠ABC=,则CQ的最大值是( )
A.
5
B.
C.
D.
5.(2012•宁德)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上,EF∥AC∥HG,EH∥BD∥FG,则四边形EFGH的周长是( )
A.
B.
C.
2
D.
2
6.(2012•泸州)如图,矩形ABCD中,E是BC的中点,连接AE,过点E作EF⊥AE交DC于点F,连接AF.设=k,下列结论:
(1)△ABE∽△ECF,
(2)AE平分∠BAF,(3)当k=1时,△ABE∽△ADF,其中结论正确的是( )
A.
(1)
(2)(3)
B.
(1)(3)
C.
(1)
(2)
D.
(2)(3)
7.(2012•湖州)如图,已知点A(4,0),O为坐标原点,P是线段OA上任意一点(不含端点O,A),过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下,它们的顶点分别为B、C,射线OB与AC相交于点D.当OD=AD=3时,这两个二次函数的最大值之和等于( )
A.
B.
C.
3
D.
4
8.(2011•武汉)如图,在菱形ABCD中,AB=BD.点E、F分别在AB、AD上,且AE=DF.连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H.下列结论:
①△AED≌△DFB;②S四边形BCDG=CG2;③若AF=2DF,则BG=6GF.
其中正确的结论( )
A.
只有①②
B.
只有①③
C.
只有②③
D.
①②③
9.(2011•深圳)如图,△ABC与△DEF均为等边三角形,O为BC、EF的中点,则AD:
BE的值为( )
A.
:
1
B.
:
1
C.
5:
3
D.
不确定
10.(2011•牡丹江)如图,在正方形ABCD中,点O为对角线AC的中点,过点0作射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F,且∠EOF=90°,BO、EF交于点P.则下列结论中:
(1)图形中全等的三角形只有两对;
(2)正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍;
(3)BE+BF=0A;
(4)AE2+CF2=20P•OB.
正确的结论有( )个.
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
11.(2010•双鸭山)如图所示,已知△ABC和△DCE均是等边三角形,点B,C,E在同一条直线上,AE与BD与BD交于点O,AE与CD交于点G,AC与BD交于点F,连接OC,FG,其中正确结论的个数是( )
①AE=BD;②AG=BF;③FG∥BE;④∠BOC=∠EOC.
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
12.(2010•鸡西)在锐角△ABC中,∠BAC=60°,BD、CE为高,F是BC的中点,连接DE、EF、FD.则以下结论中一定正确的个数有( )
①EF=FD;②AD:
AB=AE:
AC;③△DEF是等边三角形;
④BE+CD=BC;⑤当∠ABC=45°时,BE=DE.
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
13.(2009•遵义)已知三个边长分别为10,6,4的正方形如图排列(点A,B,E,H在同一条直线上),DH交EF于R,则线段RN的值为( )
A.
1
B.
2
C.
2.5
D.
3
14.(2007•佳木斯)如图,已知▱ABCD中,∠BDE=45°,DE⊥BC于E,BF⊥CD于F,DE、BF相交于H,BF、AD的延长线相交于G,下面结论:
①DB=BE;②∠A=∠BHE;③AB=BH;④△BHD∽△BDG.其中正确的结论是( )
A.
①②③④
B.
①②③
C.
①②④
D.
②③④
15.(2006•泰州)如图,O为矩形ABCD的中心,将直角三角板的直角顶点与O点重合,转动三角板使两直角边始终与BC,AB相交,交点分别为M,N.如果AB=4,AD=6,OM=x,ON=y.则y与x的关系是( )
A.
B.
C.
y=x
D.
16.(2004•威海)如图,▱ABCD中,M,N为BD的三等分点,连接CM并延长交AB于E点,连接EN并延长交CD于F点,则DF:
AB等于( )
A.
1:
3
B.
1:
4
C.
2:
5
D.
3:
8
17.(2004•天津)如图,正△ABC内接于⊙O,P是劣弧BC上任意一点,PA与BC交于点E,有如下结论:
①PA=PB+PC;②;③PA•PE=PB•PC.其中,正确结论的个数为( )
A.
3个
B.
2个
C.
1个
D.
0个
18.(2004•天津)如图,已知等腰△ABC中,顶角∠A=36°,BD为∠ABC的平分线,则的值等于( )
A.
B.
C.
1
D.
19.(2004•荆州)如图,正方形ABCD的边长为2cm,以B为圆心,BC长为半径画弧交对角线BD于E点,连接CE,P是CE上任意一点,PM⊥BC,PN⊥BD,垂足分别为M、N,则PM+PN的值为( )
A.
cm
B.
1cm
C.
cm
D.
2cm
20.(2003•泰安)如图,在平行四边形ABCD中,M、N分别是边AB、CD的中点,DB分别交AN、CM于点P、Q.下列结论:
(1)DP=PQ=QB;
(2)AP=CQ;(3)CQ=2MQ;(4)S△ADP=S平行四边形ABCD.其中正确结论的个数为( )
A.
4
B.
3
C.
2
D.
1
21.(2003•黄石)如图,D、E是△ABC中BC边的两个分点,F是AC的中点,AD与EF交于O,则等于( )
A.
B.
C.
D.
22.(2013•南通二模)如图,已知在Rt△ABC中,AB=AC=2,在△ABC内作第一个内接正方形DEFG;然后取GF的中点P,连接PD、PE,在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ;再取线段KJ的中点Q,在△QHI内作第三个内接正方形…依次进行下去,则第n个内接正方形的边长为( )
A.
B.
C.
D.
23.(2013•南开区一模)在锐角△ABC中,∠BAC=60°,BD、CE为高,F是BC的中点,连接DE、EF、FD,则以下结论中一定正确的个数有( )
①EF=FD;②AD:
AB=AE:
AC;③△DEF是等边三角形.
A.
0个
B.
1个
C.
2个
D.
3个
24.(2013•连云港模拟)如图,Rt△ABC中,BC=,∠ACB=90°,∠A=30°,D1是斜边AB的中点,过D1作D1E1⊥AC于E1,连结BE1交CD1于D2;过D2作D2E2⊥AC于E2,连结BE2交CD1于D3;过D3作D3E3⊥AC于E3,…,如此继续,可以依次得到点E4、E5、…、E2013,分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013.则S2013的大小为( )
A.
B.
C.
D.
25.(2013•樊城区模拟)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,E为AB上一点,且DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,则下列结论中正确的有( )
①DE⊥EC;②∠ADE=∠BEC;③AD•BC=BE•AE;④CD=AD+BC.
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
26.(2012•武汉模拟)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,G为AB中点,在线段DG上取点F,使FG=AG,过点F作FE⊥DG交AD于点E,连接EC交DG于点H.已知EC平分∠DEF.下列结论:
①∠AFB=90°;②AF∥EC;③△EHD∽△BGF;④DH•FG=FH•DG.其中正确的是( )
A.
只有①②
B.
只有①②④
C.
只有③④
D.
①②③④
27.(2012•深圳二模)如图,已知等腰Rt△ABC中,∠B=90°,AB=BC=8cm,点P是线段AB上的点,点Q是线段BC延长线上的点,且AP=CQ,PQ与直线AC相交于点D.作PE⊥AC于点E,则线段DE的长度( )
A.
为4cm
B.
为5cm
C.
为cm
D.
不能确定
28.(2012•蕲春县模拟)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AE是直径,AD是高交⊙O于F,连接BE、CF,下列结论正确的有几个?
( )
①BE=CF;②AB•AC=AD•AE;③AD•DF=BD•CD;④AD2+BD2+FD2+CD2=AE2.
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
29.(2012•嘉定区一模)已知,那么下列等式中,不一定正确的是( )
A.
2x=3y
B.
C.
D.
30.(2012•江汉区模拟)已知:
Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB交AB于点D,点F为边AB的中点,EF∥CD交BC于点E,则下列结论:
①AC=EF;②BC﹣AC=2CE;③EF=CE;④EF•AB=AD•BE;
其中一定成立的是( )
A.
①②④
B.
③④
C.
①②③
D.
①②
2014年1月发哥的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共30小题)
1.(2013•南通)如图.Rt△ABC内接于⊙O,BC为直径,AB=4,AC=3,D是的中点,CD与AB的交点为E,则等于( )
A.
4
B.
3.5
C.
3
D.
2.8
考点:
垂径定理;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质.1904127
专题:
压轴题.
分析:
利用垂径定理的推论得出DO⊥AB,AF=BF,进而得出DF的长和△DEF∽△CEA,再利用相似三角形的性质求出即可.
解答:
解:
连接DO,交AB于点F,
∵D是的中点,
∴DO⊥AB,AF=BF,
∵AB=4,
∴AF=BF=2,
∴FO是△ABC的中位线,AC∥DO,
∵BC为直径,AB=4,AC=3,
∴BC=5,
∴DO=2.5,
∴DF=2.5﹣1.5=1,
∵AC∥DO,
∴△DEF∽△CEA,
∴=,
∴==3.
故选C.
点评:
此题主要考查了垂径定理的推论以及相似三角形的判定与性质,根据已知得出△DEF∽△CEA是解题关键.
2.(2013•黑龙江)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,∠ABC=45°,AD=CD,CE平分∠ACB交AB于点E,在BC上截取BF=AE,连接AF交CE于点G,连接DG交AC于点H,过点A作AN⊥BC,垂足为N,AN交CE于点M.则下列结论;①CM=AF;②CE⊥AF;③△ABF∽△DAH;④GD平分∠AGC,其中正确的个数是( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
考点:
相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;直角梯形.1904127
专题:
压轴题.
分析:
如解答图所示:
结论①正确:
证明△ACM≌△ABF即可;
结论②正确:
由△ACM≌△ABF得∠2=∠4,进而得∠4+∠6=90°,即CE⊥AF;
结论③正确:
证法一:
利用四点共圆;证法二:
利用三角形全等;
结论④正确:
证法一:
利用四点共圆;证法二:
利用三角形全等.
解答:
解:
(1)结论①正确.理由如下:
∵∠1=∠2,∠1+∠CMN=90°,∠2+∠6=90°,
∴∠6=∠CMN,又∵∠5=∠CMN,
∴∠5=∠6,
∴AM=AE=BF.
易知ADCN为正方形,△ABC为等腰直角三角形,∴AB=AC.
在△ACM与△ABF中,
,
∴△ACM≌△ABF(SAS),
∴CM=AF;
(2)结论②正确.理由如下:
∵△ACM≌△ABF,∴∠2=∠4,
∵∠2+∠6=90°,∴∠4+∠6=90°,
∴CE⊥AF;
(3)结论③正确.理由如下:
证法一:
∵CE⊥AF,∴∠ADC+∠AGC=180°,∴A、D、C、G四点共圆,
∴∠7=∠2,∵∠2=∠4,
∴∠7=∠4,又∵∠DAH=∠B=45°,
∴△ABF∽△DAH;
证法二:
∵CE⊥AF,∠1=∠2,
∴△ACF为等腰三角形,AC=CF,点G为AF中点.
在Rt△ANF中,点G为斜边AF中点,
∴NG=AG,∴∠MNG=∠3,∴∠DAG=∠CNG.
在△ADG与△NCG中,
,
∴△ADG≌△NCG(SAS),
∴∠7=∠1,又∵∠1=∠2=∠4,
∴∠7=∠4,又∵∠DAH=∠B=45°,
∴△ABF∽△DAH;
(4)结论④正确.理由如下:
证法一:
∵A、D、C、G四点共圆,
∴∠DGC=∠DAC=45°,∠DGA=∠DCA=45°,
∴∠DGC=∠DGA,即GD平分∠AGC.
证法二:
∵AM=AE,CE⊥AF,∴∠3=∠4,又∠2=∠4,∴∠3=∠2
则∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°.
∵△ADG≌△NCG,
∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC,
∴GD平分∠AGC.
综上所述,正确的结论是:
①②③④,共4个.
故选D.
点评:
本题是几何综合题,考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点,有一定的难度.解答中四点共圆的证法,仅供同学们参考.
3.(2013•海南)直线l1∥l2∥l3,且l1与l2的距离为1,l2与l3的距离为3,把一块含有45°角的直角三角形如图放置,顶点A,B,C恰好分别落在三条直线上,AC与直线l2交于点D,则线段BD的长度为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
相似三角形的判定与性质;平行线之间的距离;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.1904127
分析:
分别过点A、B、D作AF⊥l3,BE⊥l3,DG⊥l3,先根据全等三角形的判定定理得出△BCE≌△ACF,故可得出CF及CE的长,在Rt△ACF中根据勾股定理求出AC的长,再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF,故可得出CD的长,在Rt△BCD中根据勾股定理即可求出BD的长.
解答:
解:
别过点A、B、D作AF⊥l3,BE⊥l3,DG⊥l3,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AC=BC,
∵∠EBC+∠BCE=90°,∠BCE+∠ACF=90°,∠ACF+∠CAF=90°,
∴∠EBC=∠ACF,∠BCE=∠CAF,
在△BCE与△ACF中,
,
∴△BCE≌△ACF(ASA)
∴CF=BE=3,CE=AF=4,
在Rt△ACF中,
∵AF=4,CF=3,
∴AC===5,
∵AF⊥l3,DG⊥l3,
∴△CDG∽△CAF,
∴=,=,解得CD=,
在Rt△BCD中,
∵CD=,BC=5,
∴BD===.
故选A.
点评:
本题考查的是相似三角形的判定与性质,根据题意作出辅助线,构造出相似三角形是解答此题的关键.
4.(2013•德阳)如图,在⊙O上有定点C和动点P,位于直径AB的异侧,过点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点Q,已知:
⊙O半径为,tan∠ABC=,则CQ的最大值是( )
A.
5
B.
C.
D.
考点:
圆周角定理;圆内接四边形的性质;相似三角形的判定与性质.1904127
专题:
计算题;压轴题.
分析:
根据圆周角定理的推论由AB为⊙O的直径得到∠ACB=90°,再根据正切的定义得到tan∠ABC==,然后根据圆周角定理得到∠A=∠P,则可证得△ACB∽△PCQ,利用相似比得CQ=•PC=PC,PC为直径时,PC最长,此时CQ最长,然后把PC=5代入计算即可.
解答:
解:
∵AB为⊙O的直径,
∴AB=5,∠ACB=90°,
∵tan∠ABC=,
∴=,
∵CP⊥CQ,
∴∠PCQ=90°,
而∠A=∠P,
∴△ACB∽△PCQ,
∴=,
∴CQ=•PC=PC,
当PC最大时,CQ最大,即PC为⊙O的直径时,CQ最大,此时CQ=×5=.
故选D.
点评:
本题考查了圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了三角形相似的判定与性质.
5.(2012•宁德)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上,EF∥AC∥HG,EH∥BD∥FG,则四边形EFGH的周长是( )
A.
B.
C.
2
D.
2
考点:
平行线分线段成比例;勾股定理;矩形的性质.1904127
专题:
压轴题.
分析:
根据矩形的对角线相等,利用勾股定理求出对角线的长度,然后根据平行线分线段成比例定理列式表示出EF、EH的长度之和,再根据四边形EFGH是平行四边形,即可得解.
解答:
解:
在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,
根据勾股定理,AC=BD===,
∵EF∥AC∥HG,
∴=,
∵EH∥BD∥FG,
∴=,
∴+=+=1,
∴EF+EH=AC=,
∵EF∥HG,EH∥FG,
∴四边形EFGH是平行四边形,
∴四边形EFGH的周长=2(EF+EH)=2.
故选D.
点评:
本题考查了平行线分线段成比例定理,矩形的对角线相等,勾股定理,根据平行线分线段成比例定理求出+=1是解题的关键,也是本题的难点.
6.(2012•泸州)如图,矩形ABCD中,E是BC的中点,连接AE,过点E作EF⊥AE交DC于点F,连接AF.设=k,下列结论:
(1)△ABE∽△ECF,
(2)AE平分∠BAF,(3)当k=1时,△ABE∽△ADF,其中结论正确的是( )
A.
(1)
(2)(3)
B.
(1)(3)
C.
(1)
(2)
D.
(2)(3)
考点:
相似三角形的判定与性质;矩形的性质.1904127
专题:
压轴题.
分析:
(1)由四边形ABCD是矩形,可得∠B=∠C=90°,又由EF⊥AE,利用同角的余角相等,即可求得∠BAE=∠FEC,然后利用有两角对应相等的三角形相似,证得△ABE∽△ECF;
(2)由
(1),根据相似三角形的对应边成比例,可得,又由E是BC的中点,即可得,继而可求得tan∠BAE=tan∠EAF,即可证得AE平分∠BAF;
(3)当k=1时,可得四边形ABCD是正方形,由
(1)易求得CF:
CD=1:
4,继而可求得AB:
CD与BE:
DF的值,可得△ABE与△ADF不相似.
解答:
解:
(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠C=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°,
∵EF⊥AE,
∴∠AEB+∠FEC=90°,
∴∠BAE=∠FEC,
∴△ABE∽△ECF;
故
(1)正确;
(2)∵△ABE∽△ECF,
∴,
∵E是BC的中点,
即BE=EC,
∴,
在Rt△ABE中,tan∠BAE=,
在Rt△AEF中,tan∠EAF=,
∴tan∠BAE=tan∠EAF,
∴∠BAE=∠EAF,
∴AE平分∠BAF;
故
(2)正确;
(3)∵当k=1时,即=1,
∴AB=AD,
∴四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠D=90°,AB=BC=CD=AD,
∵△ABE∽△ECF,
∴=2,
∴CF=CD,
∴DF=CD,
∴AB:
AD=1,BE:
DF=2:
3,
∴△ABE与△ADF不相似;
故(3)错误.
故选C.
点评:
此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的判定与性质以及三角函数的定义.此题难度较大,注意掌握数形结合思想的应用.
7.(2012•湖州)如图,已知点A(4,0),O为坐标原点,P是线段OA上任意一点(不含端点O,A),过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下,它们的顶点分别为B、C,射线OB与AC相交于点D.当OD=AD=3时,这两个二次函数的最大值之和等于( )
A.
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