完整版高数中需要掌握证明过程的定理一doc.docx

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高数中的重要定理与公式及其证明

（一）

考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。

如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。

但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。

而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费

力，最后还弄得自己一头雾水。

因此，在这方面可以有所取舍。

应深受大家敬佩的静水深流力邀，也为了方便各位师弟师妹复习，不才凭借自己对考研数学的一点了解，总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理。

这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，从长远来看都是应当熟练掌握的。

由于水平有限，总结不是很全面，但大家在复习之初，先掌握这些公式定理证明过程是必要的。

1）常用的极限

lim

ln（1x）

ex

1

ax

1

lna，lim

（1x）a

1

1

cosx

1

x

1，lim

x

1，lim

x

x

a，lim

x

2

2

x0

x0

x0

x0

x0

【点评】：

这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想

1

过它们的由来呢？

事实上，这几个公式都是两个重要极限

lim（1

x）x

e与

x0

limsinx1的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技

x0x

巧。

证明：

ln（1x）

1

ln（1

x）

lim

1：

由极限lim（1x）x

e两边同时取对数即得

lim

。

x

x

1

x0

x0

x0

limex1

1：

在等式limln（1

x）

1中，令ln（1

x）

t，则x

et

1。

由于极限

x0

x

x0

x

过程是x

0，此时也有t

t

1

。

极限的值与取极限的符号

0，因此有lim

t0et

1

是无关的，因此我们可以吧式中的

t换成x，再取倒数即得limex

1

1。

x

0

x

lim

ax

1

lna：

利用对数恒等式得lim

ax

1

limexlna

1，再利用第二个极限可

x0

x

x0

x

x0

x

得limexlna

1

lnalimexlna1

lna。

因此有limax

1

lna。

x0

x

x0xlna

x0

x

lim

（1

x）a

1

a：

利用对数恒等式得

x

0

x

lim

（1

x）a

1

limealn（1

x）

1

alimealn（1x）

1ln（1x）

alimealn（1x）

1limln（1x）

a

x

0

x

x0

x

x0aln（1

x）

x

x0aln（1

x）x0

x

上式中同时用到了第一个和第二个极限。

x

sinx

2

1

cosx

1

1

cosx

2sin2

1

1

：

利用倍角公式得

lim

2

2

2

。

lim

x2

2

lim

2

lim

x

2

x0

x0

x

x0

x

2x0

2

2）导数与微分的四则运算法则

（uv）'

u'

v',

d（uv）dudv

（uv）'

u'vuv',

d（uv）

vdu

udv

（u）'

vu'

uv'

d（u）

vdu

udv（v0）

v

v2

v

v2

【点评】：

这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。

而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概

念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。

具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。

3）链式法则

设yf（u）,u

（x），如果

（x）在x处可导，且f（u）在对应的u

（x）处可导，

则复合函数y

f（（x））在x处可导可导，且有：

f（

（x））

f'（u）'（x）或dy

dydu

'

【点评】：

同上。

dx

dudx

4）反函数求导法则

设函数y

f（x）在点x的某领域内连续，在点x0处可导且f'（x）

0，并令其反函

数为x

g（y），且x0所对应的y的值为y0，则有：

'

1

1

dx

1

g

（y0）

f'（x0）

f'（g（y0））

或dy

dy

dx

【点评】：

同上。

5）常见函数的导数

x

'

x1，

'

cosx，cosx

'

sinx，

sinx

lnx'

1，logax'

1

，

x

xlna

e

x'

x

，a

x'

x

e

elna

【点评】：

这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。

实际上，

掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对极限的计算也是很好的练习。

现选取其中典型予以证明。

证明：

x

x

1：

导数的定义是f'（x）

lim

f（x

x）

f（x），代入该公式得

'

x

x0

x

lim

（x

x）

x

（1

x）

1

1lim

（1

x）1

x

1。

最后一

x

x

x

x

'

x

x

x

x0

x

0

x

步用到了极限

（1

x）a

1

x

0的情形。

lim

x

a。

注意，这里的推导过程仅适用于

x0

x0的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。

sinx

cosx：

利用导数定义sinx

lim

sin（x

x）

sinx，由和差化积公式得

'

'

x

0

x

limsin（xx）

sinx

lim

2cos（x

x）sin

x

cosx

。

cosx

sinx的证明类

2

2

'

x0

x

x0

x

似。

1

ln（x

x）

lnx

ln（1

x）

1

'

'

x

：

利用导数定义lnx

lim

。

lnx

x

lim

0

x

x

x

x

x

0

1

lnx）。

logax

'

的证明类似（利用换底公式

loga

x

xlna

lna

e

x'

x

：

利用导数定义

x

'

e（xx）

ex

x

ex1

x

。

a

x'

x

lna的

e

e

lim

x

lime

e

e

x0

x

0

x

证明类似（利用对数恒等式

ax

exlna）。

6）定积分比较定理

如果在区间[a,b]上恒有f（x）0，则有

b

f（x）dx0

a

推论：

ⅰ如果在区间[a,b]上恒有f（x）

b

b

g（x），则有f（x）dx

g（x）dx；

a

a

ⅱ设M和m是函数f（x）在区间[a,b]上的最大值与最小值，则有：

b

m（ba）f（x）dxM（ba）

a

【点评】：

定积分比较定理在解题时应用比较广，定积分中值定理也是它的推论。

掌握其证明过程，对理解及应用该定理很有帮助。

具体的证明过程教材上有。

7）定积分中值定理

设函数f（x）在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点使得下式

成立：

b

f（x）dxf（）（ba）

a

【点评】：

微积分的两大中值定理之一，定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论，在证明题中有重要的作用。

考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的题目，重要性不严而喻。

具体证明过程见教材。

8）变上限积分求导定理

如果函数f（x）在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数

可导，并且它的导数是

'（x）

d

x

f（x）dxf（x）,ax

b

dxa

设函数F（x）

u（x）

'（x）f（u（x））u'（x）

f（t）dt，则有F

v（x）

x

（x）f（x）dx在[a,b]上

a

f（v（x））v'（x）。

【点评】：

不说了，考试直接就考过该定理的证明。

具体证明过程见教材。

9）牛顿-莱布尼兹公式

如果函数f（x）在区间[a,b]上连续，则有

b

f（x）dxF（b）F（a），其中F（x）是

a

f（x）的原函数。

【点评】：

微积分中最核心的定理，计算定积分的基础，变上限积分求导定理的推论。

具体证明过程见教材。

10）费马引理：

设函数f（x）在点x0的某领域U（x0）内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的

xU（x0），有f（x0）f（x）或f（x0）f（x），那么f'（x0）0

【点评】：

费马引理是罗尔定理的基础，其证明过程中用到了极限的保号性，是很重要的思想方法。

具体证明过程见教材。

11）罗尔定理：

如果函数f（x）满足

（1）在闭区间

[a,b]

上连续；

（2）在开区间

（a,b）

上可导

（3）在区间端点处的函数值相等，即

f（a）

f（b）

那么在

（a,b）内至少存在一点

（a

b），使得f

'（）

0。

【点评】：

罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脉相承的三大定理；它们从形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但实际上却是相互蕴含，可以相互推导的。

这几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主要的证明方法。

中值定理的证明是高数中的难点，一定要多加注意。

具体证明过程见教材。

12）拉格朗日中值定理：

如果函数f（x）满足

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间（a,b）上可导

那么在（a,b）内至少存在一点

（a

b），使得f'（）

f（b）

f（a）。

b

a

【点评】：

同上。

13）柯西中值定理：

如果函数f（x）和g（x）满足

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间（a,b）上可导

那么在（a,b）内至少存在一点

（a

b），使得f'（）

f（b）

f（a）。

g'（）

g（b）

g（a）

【点评】：

同上。

14）单调性定理：

设函数f（x）在[a,b]上连续，在（a,b）上可导。

'

如果在（a,b）上有f（x）0，那么函数f（x）在[a,b]上单调递增。

【点评】：

这个定理利用导数与切线斜率的关系很容易理解，但实际证明中却不能用图形来解释，需要更严密的证明过程。

证明：

仅证明

f'（x）0的情形，f'（x）0的情形类似。

x1,x2

（a,b），假定x1x2

则利用拉个朗日中值定理可得，

x2,x2使得f（x1）f（x2）f'

（x1x2）。

由于f'

0，因此f（x1）

f（x2）

0。

由x1,x2

的任意性，可知函数

f（x）在[a,b]上单调递增。

14）（极值第一充分条件）

o

设函数f（x）在x0处连续，并在x0的某去心邻域U（x0,）内可导。

ⅰ）若x

（x0

x0）时，f'（x）

0,而x

（x0,x0

）时，f'（x）

0,则f（x）在x0处

取得极大值

ⅱ）若x

（x0

x0）时，f'（x）

0,而x

（x0,x0

）时，f'（x）

0,则f（x）在x0处

取得极小值；

o

ⅲ）若x

U（x0,）时，f'（x）符号保持不变，则f（x）在x0处没有极值；

【点评】：

单调性定理的推论，具体证明过程见教材。

15）（极值第二充分条件

）

设函数

f（x）

在

x0处存在二阶导数且

f'（x0）

0，那么

ⅰ）若f''（x0）

0,

则f（x）在x0

处取得极小值；

ⅱ）若f''（x0）

0,

则f（x）在x0

处取得极大值。

【点评】：

这个定理是判断极值点最常用的方法，证明过程需要用到泰勒公式。

证明：

仅证明f''（x0）

0,的情形，f''（x0）

0,的情形类似。

由于f（x）在x0处存在二阶导数，由带皮亚诺余项的泰勒公式得。

在

x0的某领域

x

x0

2

内成立f（x）

fx0

f'x0

x

x0

f''

x0

o

x

2

x0

2

由于f'（x0）

0，因此

xx0

2

2

f（x）

fx0

f''x0

oxx0

2

2

fx0

x

2f''

x0

o

x

x0

x0

2

x

x0

2

2

''

o

x

x0

由高阶无穷小的定义可知，当x

0，又由于fx0

0，

x0时，有

x

2

x0

2

f''

x0

o

x

x0

2

0

。

因此在x0的某领域内成立

2

x

2

x0

2

进一步，我们有fx0

x

x0

2

f''

x0

o

x

x0

f

x0。

2

x

x0

2

也即，在x0的某领域内成立f（x）

f

x0

。

由极值点的定义可知f（x）在x0处取得极小值。

16）洛必达法则

设函数f（x）,g（x）在x

a的空心邻域内可导，g'（x）

0，且lim

f'（x）

A

xag'（x）

则有lim

f（x）

。

A，其中A可以是有限数，也可以是

xag（x）

【点评】：

洛必达法则是计算极限时最常用的方法，但它的证明却很少有人关注。

洛必达法则是拉格朗日中值定理的推论，证明过程比较简单，也是一个潜在的考点，需要引起注意。

具体证明过程见教材。