空间几何的外接球和内切球问题八个无敌模型.docx
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空间几何的外接球和内切球问题八个无敌模型
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球
类型一、墙角模型(三条线两个垂直,不找球心的位置即可求出球半径)
图1
方法:
找三条两两垂直的线段,直接用公式
(2R)a
b2
c2,即2Ra2b2c2,求出R
1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为
16B.20C.24
体积为16,则这个球的表面积是(C)
.32
2)
若三棱锥的三个侧面两垂直,且侧棱长均为3,
则其外接球的表面积是
22222
1)Va2h16,a2,4R2a2a2h2
2)
4R23339,
2
S4R29
3)
在正三棱锥SABC中,M、N分别是棱SC、
BC的中点,且AMMN,若侧棱SA23,则
正三棱锥SABC外接球的表面积是
。
36
解:
引理:
正三棱锥的对棱互垂直。
证明如下:
如图(3)-1,取AB,BC的中点D,E,连接AE,CD,AE,CD交于H,连接SH,则H是底面正三角
形ABC的中心,SH平面ABC,SHAB,
ACBC,ADBD,CDAB,AB平面SCD,
ABSC,同理:
BCSA,ACSB,即正三棱锥的对棱互垂直,本题图如图(3)-2,AMMN,SB//MN,
AMSB,ACSB,SB平面SAC,
SBSA,SBSC,SBSA,BCSA,
SA平面SBC,SASC,
故三棱锥SABC的三棱条侧棱两两互相垂直,
(2R)2(23)2(23)2(23)236,即4R236,
正三棱锥SABC外接球的表面积是36
4)在四面体SABC中,SA平面ABC,BAC120,SAAC2,AB1,则该四面体的外接
球的表面积为(D)A.11B.7
5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为
C.10
40
.
6、4
3,那么它的外接球的表面积是
6)已知某几何体的三视图如图所示,三视图是腰长为
何体外接球的体积为
1的等腰直角三角形和边长为1的正方形,则该几
解析:
(4)在ABC中,BC2AC2AB22ABBCcos1207,
BC7,ABC的外接球直径为
2r
BC
sinBAC
727
33
2
222
(2R)2(2r)2SA2
,选D
5)三条侧棱两两生直,设三条侧棱长分别为
a,b,c(a,b,cR),则
ab12
bc8,abc24,a3,b4,c2,(2R)2a2b2c229,S4R229,
ac6
(6)(2R)2
2a
b2c23,R2
3,
R3
4
2
43
4
33
3
VR
,
3
3
8
2
类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)1.题设:
如图5,PA平面ABC
解题步骤:
第一步:
将ABC画在小圆面上,A为小圆直径的一个端点,作小圆的直径AD,连接PD,则PD必过球心O;
第二步:
O1为ABC的外心,所以OO1平面ABC,算出小圆O1的半
径O1Dr(三角形的外接圆直径算法:
利用正弦定理,得
abc
sinAsinBsinC
2r)
OO11PA;
第三步:
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:
①
(2R)2PA2(2r)22RPA2(2r)2;
②R2r2OO12Rr2OO12
2.题设:
如图6,7,8,P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱锥PABC的底面ABC在圆锥的底上,顶点P点也是圆锥的顶点
P
P
P
P
O
O
O
O
C
C
A
A
A
D
A
B
B
图6
图8
P
P
P
C
B
D
O
3
A
P
P
P
P
O
O
O
A
A
A
A
C
C
C
C
B
B
B
B
O1
()C
O1
O1
O1
B.2
图9-1
图9-2
解题步骤:
ABC的外心O1,则P,O,O1三点共线;
第一步:
确定球心O的位置,取
第二步:
先算出小圆O1的半径AO1r,再算出棱锥的高PO1h(也是圆锥的高);
第三步:
勾股定理:
OA2O1A2O1O2R2(hR)2r2,解出R
R2,S4R21633
类型三、切瓜模型(两个平面互相垂直)
图9-3
图9-4
图8-3
图7-1
图7-2
图8-1
图8-2
方法
小圆直径参与构造大圆。
解:
选C,(3R)21R2,323RR21R2,
423R0,
例2一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为
C.16D.以上都不对
3
1.题设:
如图9-1,平面PAC平面ABC,且ABBC(即AC为小圆的直径)第一步:
易知球心O必是PAC的外心,即PAC的外接圆是大圆,先求出小圆的直径AC2r;第二步:
在PAC中,可根据正弦定理abc2R,求出R
sinAsinBsinC
2.如图9-2,平面PAC平面ABC,且ABBC(即AC为小圆的直径)
OC2O1C2O1O2R2r2O1O2AC2R2O1O2
3.如图9-3,平面PAC平面ABC,且ABBC(即AC为小圆的直径),且P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱PABC的底面ABC在圆锥的底上,顶点P点也是
圆锥的顶点
解题步骤:
第一步:
确定球心O的位置,取ABC的外心O1,则P,O,O1三点共线;
第二步:
先算出小圆O1的半径AO1r,再算出棱锥的高PO1h(也是圆锥的高);第三步:
勾股定理:
OA2O1A2O1O2R2(hR)2r2,解出R
4.如图9-3,平面PAC平面ABC,且ABBC(即AC为小圆的直径),且PAAC,则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:
①(2R)2PA2(2r)22RPA2(2r)2;
②R2r2OO12Rr2OO12
例3
(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为1,底面边长为23,则该球的表面积为。
(2)正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2,各顶点都在同一个球面上,则此球的体积为解:
(1)由正弦定理或找球心都可得2R7,S4R249,
4
(2)方法一:
找球心的位置,易知r1,h1,hr,故球心在正方形的中心ABCD处,R1,V
3方法二:
大圆是轴截面所的外接圆,即大圆是SAC的外接圆,此处特殊,RtSAC的斜边是球半径,
4
2R2,R1,V
3
3)在三棱锥PABC中,PAPBPC3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60,则该三棱锥外
接球的体积为(
)
C.4D.
4
A.B.
3
3
解:
选D,圆锥A,B,C
在以r
3的圆上,R1
2
4)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球径,且SC2,则此棱锥的体积为()
O的求面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直A
例4
(1)一个正六棱柱的底面上正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,
9
且该六棱柱的体积为9,底面周长为3,则这个球的体积为
8
R1,球的体积为V
3
2)直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上,
若ABACAA12,BAC120,则此
。
16
球的表面积等于
解:
BC23,2r234,r2,R5,S20
sin120
3)已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直,
EAEB3,AD2,AEB60,则多面体EABCD的外接球的表面积为
解析:
折叠型,法一:
EAB的外接圆半径为r13,OO11,
R132;法二:
O1M3,r2O2D13,R23134,R2,S16
2244
(4)在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB4,AC6,A,AA14则直三棱柱ABCA1B1C1的外接球
1113111的表面积为。
160
3
解析:
BC16362461228,BC27,2r237437,r237,
R2r2(AA1)228440,S160
2333
类型五、折叠模型
题设:
两个全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折叠(如图11)
第一步:
先画出如图所示的图形,将BCD画在小圆上,找出BCD和ABD的外心H1和H2;第二步:
过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线,两垂线的交点即为球心O,连接OE,OC;
第三步:
解OEH1,算出OH1,在RtOCH1中,勾股定理:
OH12CH12OC2
例5三棱锥PABC中,平面PAC平面ABC,△PAC和△ABC均为边长为2的正三角形,则三棱锥PABC外接球的半径为.
R2AO2AH2O1H2O1O25,R15
1133
类型六、对棱相等模型(补形为长方体)
题设:
三棱锥(即四面体)中,已知三组对棱分别相等,求外接球半径(ABCD,ADBC,ACBD)第一步:
画出一个长方体,标出三组互为异面直线的对棱;
第二步:
设出长方体的长宽高分别为
a,b,c,ADBCx,ABCDy,ACBDz,列方程组,
13
三棱锥的体积为V1Sh3
34
面积为
。
29
设长宽高分别为a,b,c,则a2b29,
2
解析:
如图12,设补形为长方体,三个长度为三对面的对角线长,
b2c24,c2a2162(a2b2c2)941629,2(a2b2c2)941629,
2929,S
22
1
OP,OC,则OAOBOCOPAB,O为三棱锥PABC外接球球心,然后在OCP中求出2
半径),当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关,只要不是平角球半径都为定
值。
则四面体ABCD的外接球的体积为()
125125125125
A.B.C.D.
12963
解:
(1)2RAC5,R5,V4R34125125,选C
23386
2)在矩形ABCD中,AB2,BC3,沿BD将矩形ABCD折叠,
连接AC,所得三棱锥
ABCD
的外接球的表面积为
解析:
(2)BD的中点是球心O,2RBD13,S4R213;
类型八、锥体的内切球问题
1.题设:
如图14,三棱锥PABC上正三棱锥,求其外接球的半径。
第一步:
先现出内切球的截面图,E,H分别是两个三角形的外心;
1
第二步:
求DHBD,POPHr,PD是侧面ABP的高;
3
2.题设:
如图15,四棱锥PABC上正四棱锥,求其外接球的半径
第一步:
先现出内切球的截面图,P,O,H三点共线;
1
第二步:
求FHBC,POPHr,PF是侧面PCD的高;
2
第三步:
由POG相似于PFH,建立等式:
OGPO,解出
HFPF
3.题设:
三棱锥PABC是任意三棱锥,求其的内切球半径
方法:
等体积法,即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等
第一步:
先画出四个表面的面积和整个锥体体积;
第二步:
设内切球的半径为r,建立等式:
VPABCVOABCVOPABVOPACVOPBC
111
SABCrSPABrSPAC
3ABC3PAB3PAC
1
3(SABCSPABSPACSPBC)r
第三步:
解出r
习题:
1.若三棱锥
A.3
解:
【A】(2R)2416166,R3【三棱锥有一侧棱垂直于底面,且底面是直角三角形】【共两种】2.三棱锥SABC中,侧棱SA平面ABC,底面ABC是边长为3的正三角形,
32
SABC的三条侧棱两两垂直,且SA2,SBSC4,则该三棱锥的外接球半径为()B.6C.36D.9
SA23,则该三
棱锥的外接球体积等于
32
8
3
3224解析:
2r2,(2R)241216,R24,R2,外接球体积
sin603【外心法(加中垂线)找球心;正弦定理求球小圆半径】3.正三棱锥SABC中,底面ABC是边长为3的正三角形,侧棱长为2,则该三棱锥的外接球体积等于.
9
6.三棱锥PABC中,平面PAC平面ABC,AC2,PAPC,ABBC,则三棱锥PABC外接球的半径为.
解:
AC是公共的斜边,AC的中点是球心O,球半径为R1
3VPABC
SOABC*SOPABSOPACSOPBC
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- 空间 几何 外接 内切球 问题 八个 无敌 模型
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