届甘肃省高三第二次诊断考试理科数学试题及答案.docx
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届甘肃省高三第二次诊断考试理科数学试题及答案
2017-2018年甘肃省第二次高考诊断试卷
理科数学
一、选择题
1、若复数,其中是虚数单位,则在复平面内对应的点在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【解析】,那么,∴答案B
2、已知的角所对的边分别为,若,则边()
A.B.C.D.
【解析】由正弦定理得,∴,答案B
3、过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若则()
A.B.C.D.
【解析】由抛物线的性质知道,答案C
4、下列选项中,是的必要不充分条件的是()
A.B.∁U∁U
C.D.
【解析】A:
是的充分不必要条件;B:
是的充要条件;C:
是的充分不必要条件;∴答案D
5、已知棱锥的正视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为的正三角形,该三棱锥的侧视图可能为()
【解析】侧视图是从左向右看,侧视图的底边长应当是正三角形的高,∴答案B
6、在区间上随机取一个,则的值在到之间的概率为()
A.B.C.D.
【解析】几何概型,,答案A
+7、如图所示,给出一个程序框图,若要使输入的值
与输出的值相等,则输入的这样的的值有()个
A.B.C.D.
【解析】这样的的值只有,答案C
8、若等边的边长为,平面内一点,
满足,则()
A.B.C.D.
【解析】,
∴,∴答案A
9、定义:
若函数的图像经过变换后所得图像对应函数的值域与的值域相同,则称变换是的“同值变换”.下面给出的四个函数及对应的变换,其中不属于的“同值变换”的是()
A.将函数的图像关于轴对称
B.将函数的图像关于点轴对称
C.将函数的图像关于轴对称
D.将函数的图像关于点轴对称
【解析】的值域是,图像关于轴对称后值域变为答案C
10、下列四个命题:
其中的真命题是()
A.B.C.D.
【解析】错误,正确,错误,正确,∴答案D
11、已知是不等式组所确定的平面区域,则圆在区域内的弧长为()
A.B.C.D.
【解析】设两条直线之间的夹角为,分析区域知为锐角,则,∴由弧长公式,∴,答案B
12、已知函数,下列命题:
①是奇函数;②是偶函数;③对定义域内的任意恒成立;
④当时,取得最小值
正确的个数有()个
A.B.C.D.
【解析】分析的图像知道①错误;②正确;③正确;④错误,∴答案B
二、选择题
13、的展开式中的常数项等于.(用数字作答)
【解析】由二项展开式的通项公式,∴,展开式中的常数⇔,∴,∴常数项,∴答案
14、已知,则.
【解析】∵,∴,由正切的二倍角公式,∴答案
15、设双曲线的渐近线与抛物线相切,则该双曲线的离心率为.
【解析】设切点为,斜率为,则切线方程为,整理后得到,另一方面双曲线的焦点在轴上,切线与双曲线的渐近线重合,即就是切线过原点,那么将代入直线的方程得到,∴直线的斜率为,此即,∴,∴答案
16、如图,已知正方体中,为线段的中点,为线段上的动点,则下列四个结论:
①存在点,使∥;
②存在点,使平面;
③与所成的角不可能等于;
④三棱锥的体积随动点而变化.
其中正确的是.
【解析】设正方体的边长为,以点为坐标原点,以所在的直线为轴建立空间直角坐标系,则,点,则,而,,
∴,因此,∴,∴,对于①而言就是否存在实数,使∥,而,
此即,这样的不存在,∴①错误;对于②而言就是否存在实数,使平面,首先我们在平面内任意找到两条相交直线的方向向量,不妨就找和,∴,于是⇒,即就是当为的中点的时候,∴②正确;同理,对于③而言,还是判断这样的实数是否存在,
,设其夹角为,则,令,此即,将上式平方解得,将回代原式结论成立,∴这样的存在;③错误;对于④来说,点无论在上怎样移动,底面的高不变,故而底面面积不变,三棱锥的高为定值,所以其体积不会随着点的变化而变化,故④错误,∴答案②
三、解答题
17、已知数列的前项和为且为正整数.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)若恒成立,求实数的最大值.
【解析】(Ⅰ)当时,,⇒;
当时①⇒②,①②,因此,此即,所以数列是首项,公比的等比数列,∴;(Ⅱ)∵恒成立,,此即
∴,令,∴单调递增,只需小于等于的最小值即可,当时取得最小值,∴,实数的最大值为.
18、如图,平行四边形中,,将沿折起到
的位置,使平面平面.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)若点为的中点,求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】(Ⅰ)在中,由余弦定理:
∴,∴和为直角三角形,此即而又是平面和平面的交线,且平面平面平面且平面,∴平面,同时平面,∴;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,以为坐标原点,所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系,则,
则,设平面的法向量为,则有,此即,令则,设直线与平面所成角为,则有.
19、某次考试按科目、科目依次进行,只有当科目成绩合格时才可参加科目的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这次考试,科目每次考试成绩合格的概率为,科目每次考试成绩合格的概率为,假设每次考试成绩与否互不影响.
(Ⅰ)求该生不需要补考就可以获得证书的概率;
(Ⅱ)在这次考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为,求的数学期望.
20、已知点为圆的圆心,是圆上的动点,点在圆的半径上,且有点和上的点,满足.
(Ⅰ)当点在圆上运动时,求点的轨迹方程;
(Ⅱ)若直线与(Ⅰ)中所求的点的轨迹交于不同的两点和,为坐标原点,且,求的取值范围.
21、设函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)若,为整数,且当时,,求的最大值.
22、如图,是的直径,,为上的点,是的角平分线,过点作交的延长线于,垂足为点.
(Ⅰ)求证:
是的切线;
(Ⅱ)求证:
.
23、在直角坐标系中,曲线的参数方程是:
为参数,以原点为极点,的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)设为曲线上的动点,求点到曲线上点的距离的最小值,并求此时点的直角坐标.
24、若不等式与不等式同解,而的解集为空集,求实数的取值范围.
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