届新中考数学必考精点考点专题专题24矩形解析版.docx
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届新中考数学必考精点考点专题专题24矩形解析版
2021届新中考数学必考精点考点专题
专题24矩形问题
1.矩形的定义:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2.矩形的性质
(1)矩形的四个角都是直角;
(2)矩形的对角线平分且相等。
3.矩形判定定理
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;
(2)对角线相等的平行四边形是矩形;
(3)有三个角是直角的四边形是矩形。
4.矩形的面积:
S=ab(a、b分别表示矩形的长、宽)
【例题1】(2020•湘西州)如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上,矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上,矩形的边AB=a,BC=b,∠DAO=x,则点C到x轴的距离等于()
A.acosx+bsinxB.acosx+bcosx
C.asinx+bcosxD.asinx+bsinx
【答案】A
【解析】作CE⊥y轴于E,由矩形的性质得出CD=AB=a,AD=BC=b,∠ADC=90°,证出∠CDE=∠DAO=x,由三角函数定义得出OD=bsinx,DE=acosx,进而得出答案.
作CE⊥y轴于E,如图:
∵四边形ABCD是矩形,
∴CD=AB=a,AD=BC=b,∠ADC=90°,
∴∠CDE+∠ADO=90°,
∵∠AOD=90°,∴∠DAO+∠ADO=90°,
∴∠CDE=∠DAO=x,
∵sin∠DAO,cos∠CDE,
∴OD=AD×sin∠DAO=bsinx,DE=D×cos∠CDE=acosx,
∴OE=DE+OD=acosx+bsinx,
∴点C到x轴的距离等于acosx+bsinx.
【对点练习】(2019•贵州省铜仁市)如图为矩形ABCD,一条直线将该矩形分割成两个多边形,若这两个多边形的内角和分别为a和b,则a+b不可能是()
A.360°B.540°C.630°D.720°
【答案】C.
【解答】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形,每一个多边形的内角和都是180°的
倍数,都能被180整除,分析四个答案,
只有630不能被180整除,所以a+b不可能是630°.
【例题2】(2020•菏泽)如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=12,点P在对角线BD上,且BP=BA,连接AP并延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为.
【答案】3.
【解析】根据矩形的性质可得BD=13,再根据BP=BA可得DQ=DP=8,所以得CQ=3,在Rt△BCQ中,根据勾股定理即可得BQ的长.
∵矩形ABCD中,AB=5,AD=12,∠BAD=∠BCD=90°,
∴BD13,
∵BP=BA=5,
∴PD=BD﹣BP=8,
∵BA=BP,
∴∠BAP=∠BPA=∠DPQ,
∵AB∥CD,
∴∠BAP=∠DQP,
∴∠DPQ=∠DQP,
∴DQ=DP=8,
∴CQ=DQ﹣CD=DQ﹣AB=8﹣5=3,
∴在Rt△BCQ中,根据勾股定理,得
BQ3.
【对点练习】(2019内蒙古通辽)如图,在矩形ABCD中,AD=8,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为点E,且AE平分∠BAC,则AB的长为.
【答案】.
【解答】∵四边形ABCD是矩形
∴AO=CO=BO=DO,
∵AE平分∠BAO
∴∠BAE=∠EAO,且AE=AE,∠AEB=∠AEO,
∴△ABE≌△AOE(ASA)
∴AO=AB,且AO=OB
∴AO=AB=BO=DO,
∴BD=2AB,
∵AD2+AB2=BD2,
∴64+AB2=4AB2,
∴AB=
【例题3】(2020•聊城)如图,在▱ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF,AC,若AD=AF,求证:
四边形ABFC是矩形.
【答案】见解析。
【解析】根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等,利用AAS判定△ABE≌△FCE,从而得到AB=CF;由已知可得四边形ABFC是平行四边形,BC=AF,根据对角线相等的平行四边形是矩形,可得到四边形ABFC是矩形.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCE,
∵E为BC的中点,
∴EB=EC,
∴△ABE≌△FCE(AAS),
∴AB=CF.
∵AB∥CF,
∴四边形ABFC是平行四边形,
∵BC=AF,
∴四边形ABFC是矩形.
【对点练习】(2019•湖北省鄂州市)如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点O是对角线BD的中点,过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F.
(1)求证:
四边形DEBF是平行四边形;
(2)当DE=DF时,求EF的长.
【答案】见解析。
【解析】根据矩形的性质得到AB∥CD,由平行线的性质得到∠DFO=∠BEO,根据全等三角形的性质得到DF=BE,于是得到四边形BEDF是平行四边形;推出四边形BEDF是菱形,得到DE=BE,EF⊥BD,OE=OF,设AE=x,则DE=BE=8﹣x根据勾股定理即可得到结论.
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,
∴∠DFO=∠BEO,
又因为∠DOF=∠BOE,OD=OB,
∴△DOF≌△BOE(ASA),
∴DF=BE,
又因为DF∥BE,
∴四边形BEDF是平行四边形;
(2)解:
∵DE=DF,四边形BEDF是平行四边形
∴四边形BEDF是菱形,
∴DE=BE,EF⊥BD,OE=OF,
设AE=x,则DE=BE=8﹣x
在Rt△ADE中,根据勾股定理,有AE2+AD2=DE2
∴x2+62=(8﹣x)2,
解之得:
x=,
∴DE=8﹣=,
在Rt△ABD中,根据勾股定理,有AB2+AD2=BD2
∴BD=,
∴OD=BD=5,
在Rt△DOE中,根据勾股定理,有DE2﹣OD2=OE2,
∴OE=,
∴EF=2OE=.
一、选择题
1.(2020•怀化)在矩形ABCD中,AC、BD相交于点O,若△AOB的面积为2,则矩形ABCD的面积为()
A.4B.6C.8D.10
【答案】C
【解析】根据矩形的性质得到OA=OB=OC=OD,推出S△ADO=S△BCO=S△CDO=S△ABO=2,即可求出矩形ABCD的面积.
∵四边形ABCD是矩形,对角线AC、BD相交于点O,
∴AC=BD,且OA=OB=OC=OD,
∴S△ADO=S△BCO=S△CDO=S△ABO=2,
∴矩形ABCD的面积为4S△ABO=8,
2.(2020•达州)如图,∠BOD=45°,BO=DO,点A在OB上,四边形ABCD是矩形,连接AC、BD交于点E,连接OE交AD于点F.下列4个判断:
①OE平分∠BOD;②OF=BD;③DFAF;④若点G是线段OF的中点,则△AEG为等腰直角三角形.正确判断的个数是()
A.4B.3C.2D.1
【答案】A
【解析】由矩形得EB=ED=EA,∠BAD为直角,再由等腰三角形的三线合一性质可判断①的正误;证明△AOF≌△ABD,便可判断②的正误;连接BF,由线段的垂直平分线得BF=DF,由前面的三角形全等得AF=AB,进而便可判断③的正误;由直角三角形斜边上的中线定理得AG=OG,进而求得∠AGE=45°,由矩形性质得ED=EA,进而得∠EAD=22.5°,再得∠EAG=90°,便可判断④的正误.
①∵四边形ABCD是矩形,
∴EB=ED,
∵BO=DO,
∴OE平分∠BOD,
故①正确;
②∵四边形ABCD是矩形,
∴∠OAD=∠BAD=90°,
∴∠ABD+∠ADB=90°,
∵OB=OD,BE=DE,
∴OE⊥BD,
∴∠BOE+∠OBE=90°,
∴∠BOE=∠BDA,
∵∠BOD=45°,∠OAD=90°,
∴∠ADO=45°,
∴AO=AD,
∴△AOF≌△ABD(ASA),
∴OF=BD,
故②正确;
③∵△AOF≌△ABD,
∴AF=AB,
连接BF,如图1,
∴BF,
∵BE=DE,OE⊥BD,
∴DF=BF,
∴DF,
故③正确;
④根据题意作出图形,如图2,
∵G是OF的中点,∠OAF=90°,
∴AG=OG,
∴∠AOG=∠OAG,
∵∠AOD=45°,OE平分∠AOD,
∴∠AOG=∠OAG=22.5°,
∴∠FAG=67.5°,∠ADB=∠AOF=22.5°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴EA=ED,
∴∠EAD=∠EDA=22.5°,
∴∠EAG=90°,
∵∠AGE=∠AOG+∠OAG=45°,
∴∠AEG=45°,
∴AE=AG,
∴△AEG为等腰直角三角形,
故④正确;
故选:
A.
3.(2019•广东广州)如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若
BE=3,AF=5,则AC的长为()
A.4B.4C.10D.8
【答案】A
【解析】连接AE,由线段垂直平分线的性质得出OA=OC,AE=CE,证明△AOF≌△COE得出AF=CE=5,得出AE=CE=5,BC=BE+CE=8,由勾股定理求出AB==4,再由勾股定理求出AC即可.
连接AE,如图:
∵EF是AC的垂直平分线,
∴OA=OC,AE=CE,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,AD∥BC,
∴∠OAF=∠OCE,
在△AOF和△COE中,,
∴△AOF≌△COE(ASA),
∴AF=CE=5,
∴AE=CE=5,BC=BE+CE=3+5=8,
∴AB===4,
∴AC===4;
故选:
A.
4.(2019•山东泰安)如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为AB的中点,F为EC上一动点,P为DF中点,连接PB,则PB的最小值是()
A.2B.4C.D.
【答案】D
【解析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2,再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时,PB取得最小值;由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2,故BP的最小值为BP1的长,由勾股定理求解即可.
如图:
当点F与点C重合时,点P在P1处,CP1=DP1,
当点F与点E重合时,点P在P2处,EP2=DP2,
∴P1P2∥CE且P1P2=CE
当点F在EC上除点C、E的位置处时,有DP=FP
由中位线定理可知:
P1P∥CE且P1P=CF
∴点P的运动轨迹是线段P1P2,
∴当BP⊥P1P2时,PB取得最小值
∵矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为AB的中点,
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形,CP1=2
∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°,∠DEC=90°
∴∠DP2P1=90°
∴∠DP1P2=45°
∴∠P2P1B=90°,即BP1⊥P1P2,
∴BP的最小值为BP1的长
在等腰直角BCP1中,CP1=BC=2
∴BP1=2
∴PB的最小值是2
5.(2019湖北荆州)如图,矩形ABCD的顶点A,B,C分别落在∠MON的边OM,ON上,若OA=OC,要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线.小明的作法如下:
连接AC,BD交于点E,作射线OE,则射线OE平分∠MON.有以下几条几何性质:
①矩形的四个角都是直角,②矩形的对角线互相平分,③等腰三角形的“三线合一”.小明的作法依据是()
A.①②B.①③C.②③D.①②③
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD为矩形,
∴AE=CE,
而OA=OC,
∴OE为∠AOC的平分线.
二、填空题
6.(2020•绍兴)将两条邻
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