奥林匹克数学竞赛试题.docx
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奥林匹克数学竞赛试题
奥林匹克数学竞赛试题(几何部分)MathematicsOlympictest
(geometricpart)
1.已知在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=40°,∠C=50°,点E,F,M,N分别为四条边的中点,求证:
BC=EF+MN.【简单】
2.已知在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,P为平行四边形ABCD外一点,且∠APC=∠BPD=90°,求证:
平行四边形ABCD为矩形.【简单】
3.已知在三角形ABC中,AB=AC,CD⊥AB于D,P为BC上一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F.求证:
PE+PF=CD.【简单】
4.已知在等腰三角形ABC中,AB=AC,CD⊥AB,AH⊥FH,EF⊥AB,求证:
EF=CD+FH.【简单】
5.已知三角形ABC和三角形BDE都是等腰直角三角形,连结AD,延长CE交AD与F,求证:
CF⊥AD.【简单】
6.已知三角形ABC和三角形BDE都是正三角形,连结AD交BE于F,连结CE交AB于G,连结FG,求证:
FG∥CD.【简单】
7.已知三角形ABC为正三角形,内取一点P,向三边作垂线,交AB于D,BC于E,AC于F,求证:
PD+PE+PF=三角形的高.【简单】
8.已知三角形ABC为正三角形,AD为高,取三角形外一点P,向三边(或边的延长线)作垂线,交AB的延长线AE于M,交AC的延长线AF于N,交BC于Q,求证:
PM+PN-PQ=AD.【中等】
9.已知在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于O,DE平分∠ADC交AC于F,若∠BDE=15°,求∠COE的度数.【中等】
10.已知三角形ABC是直角三角形,∠BAC=90°,AD⊥BC,AE平分∠CAD,BF平分∠ABC,交AD于G,交AE于H,连结EG,求证:
EG∥AC.【中等】
11.已知三角形ABC和三角形BDE都是正三角形,连结AE,CD,取AE的中点N,取CD的中点M,连结BM,BN,MN.求证:
三角形BMN是等边三角形.【中等】
12.已知在正方形ABCD中,作对角线AC的平行线EG,作BC=CH,连结BE,延长HG交BE于F,连结CF,求证:
BC=CF.【中等】
13.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,BC=5,将腰CD绕点D逆时针旋转90°至DE,连结AE,求三角形ADE的面积.【中等】
14.已知在任意四边形ABCD中,AB=CD,P,Q,R分别为AD,BC,BD的中点,∠ABD=25°,∠BDC=65°,求∠PQR的度数.【中等】
15.已知在梯形ABCD中,AD∥BC,E为AB的中点,求证:
S三角形CDE=S三角形ADE+S三角形BCE.【较难】
16.已知矩形ABCD,在CD的延长线上取一点E,在BC的延长线上取一点F,使得∠DAE=∠DAF,AF和CD交于G,求证:
S矩形ABCD=S三角形AEF.【较难】
17.已知在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD=AE,AF⊥BE交BC于F,过F作FG⊥CD交BE的延长线于G,求证:
BG=AF+FG.
【很难】【提示:
过C点作AC的垂线,延长AF,交垂线于H.】
18.已知在正九边形ABCDEFGHI中,连结AE,AE=1,求AH+AI的长.【很难】【提示:
延长AH使HK=HG,连结KG.】
19.已知正方形ABCD内有一点P,且PB:
PC:
PD=3:
2:
1,求证:
∠CPD=135°.【超难】【提示:
过C作PC的垂线CP’,使CP=CP’.】
20.已知在任意四边形ABCD中,点E,F分别将AD,BC分成m:
n两部分,AF和BE交于P,CE和DF交于Q,求证:
S四边形EPFQ=S三角形CDQ+S三角形ABP.【超难】
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