复数与多项式方程.docx
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复数与多项式方程.docx
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复数与多项式方程
复数与多项式方程
三.复数与多项式方程
还可以用复数点或向量P,(x,y)
表示:
,;
(1)i,,1(x,y),x,iy
又可以用极坐标表示:
(x,y)图3-1
(2)x,rcos,,
(3)y,rsin,,
但不能决定,除非我们限制或想象每当(逆时针)转,(x,y)(r,,),0,,,2,,2,进入一个新的平面.注意当初
(2)及(3)是用来定义的.sin,,cos,
由
(1)知点可以乘:
(x,y),(u,v)
(x,iy)(u,iv),xu,yv,i(xv,yu),(xu,yv,xv,yu)
在许多数学分支里,我们都用
单位圆(unitcircle)上的点来平均:
i,.e,cos,,isin,
i,符号满足指数定律(indexlaw):
e
图3-2
i,i,i(,,,)1212.(指数和或及cos角和的公式)(4)ee,esin
(cos,,isin,)(cos,,isin,)1122证明:
左边=
cos,cos,,sin,sin,,i(sin,cos,,cos,sin,)12121212
18
==右边.cos(,,,),isin(,,,)1212
证毕.
习题:
.1.求(2,3i)(2,4i)
,i,i,i,,422.将、及写成的形式.ex,yiee
i,nin,(e),e3.证明:
,.n,1,2,?
给出复数,则x,iy
,r(cos,,isin,)x,iy
即
i,x,iy,re
u,iv再给,,r'(cos,',isin,')
i,'i(,,,')i,则(5)r'e,rr'ere
即
两复数相乘,长度得积,角度得和.
i,'i,r'乘以结的果:
特例:
ee
i,'i(,,,')i,i.,r'e,r'ee
i,'即转动向量一个角.r'e,
i,'i,'r(r'e),rr'eii.,
i,'r即将的长度调至倍~r'e
图3-3
例:
在四边形外(内)做正方形AEFB,BGHC,CIJD,DKLA,中心分别ABCD
0PR为P,Q,R,S,证明等于转.90QS
POP证明:
先用复数计算或(为原点):
O
OP,OA,AP
19
,i1104,45,(用(5)转长度调至倍),OA,e,AB
22
,i14,,OA,e,(OB,OA)
2
即
,,i,i1144.OP,(1,e,)OA,e,OB
22
同理
,,i,i1144,OQ,(1,e,)OB,e,OC
22
,,i,i1144,OR,(1,e,)OC,e,OD
22
,,i,i1144.OS,(1,e,)OD,e,OA
22
故由
PR,OR,OP
得
PR,a(OC,OA),b(OD,OB)其中
i,i,,,11441,.a,,eb,e
22同理
.QS,a(OD,OB),b(OA,OC)我们只需证:
i,2ePR,QS,
即证下四式:
,,,i,i,i,i,2222e(,a),be(,b),,a,,,,ea,,beb,a或二式:
20
,i,i,22,,ea,,beb,a
即
i,2,,()e,iia,,bib,a
或一式:
,(由此)ib,,i(,b),,i(ia),aia,,b
它几乎是显然的:
i,,1111114ia,i(1,e),i[1,(,i)],i(,i)222222
i,,11114,,(,i),.,e,,b
2222
证毕.
上题用欧几里得几何做要二、三十步,笛卡儿的贡献到此已瓜熟蒂落,多彩多姿.另一方面,i,,1的引入来自解多项式方程
f(x),0,(6)其中
2na,0,f(x),a,ax,ax,......,ax,n012n
Fa,a,a,......a属于一个有加、乘运算的集合.让我们从有理数域开始,发现Q012n
方程
2x,2,0
IR没有解.于是我们扩Q至实数域又发现
2x,1,0
IR{a,bi:
a,b没有解.于是我们扩至复数域是实数},这样(6)便一定有解;这
2,1个结果叫做代数基础定理,不易证明.及的引入使我们想到,如动物求生,解决数学问题往往要扩张“地盘”.现自《游子情》中拾二例:
z(甲)1+1猜想:
任一大于2的偶数都是两个质数的和.
21
当小于某数及大于某数时,1+1猜想已获得解决,其中谢谢计算机NNz12
工业的帮忙,已非常大.另一方面,可问有多少方法,将给出的正整数写成Nzr1
个不同的个位正整数的和,例:
,,z,15r,3
15,1,5,9,1,6,8,2,4,9,2,5,8
,,2,6,7,3,4,8,3,5,7,4,5,6
或用方图表示:
294
753
618
注意上面八个等式中,四个含5,故5必在图中央;三个含2,4,6,8,故2,4,6,8必在图角.
x,y,z(乙)费尔玛(PierredeFermat:
1601)氏猜想:
没有正整数存,1665
在,使
nnnx,y,z.(n,2)
222注意:
当时,上式有许多解,如(商高的勾股定理).3,4,5n,2
三百多年前,费尔玛在一页书里宣称他已解决(乙),只是页周空白不够写证明.以后数学家解决了这个猜想好几次,都被发现有误,直至二十世纪末才真正地解决.为解决上面的猜想,数学家不得不扩大原来的地盘,如苏东坡所云:
“不识庐山真面目,只缘身在此山中”.上面由有理数域Q扩至复数域,不是孤
F2,1立的接受及,我们还加入了足够的元素,使新的社会仍然保持Q的“域”(field)质:
i.a,b,F闭合性(closure),即都是二项运算:
任给,,,,
a,b,F,;ab,F
ii.a,b,F结合律(associativelaw):
任给,
(a,b),c,a,(b,c)(ab)c,a(bc),;
22
1iii.都有单位元(identity),以0,1表示,:
,,,0
;a,0,a,0,a,a,1,a,1,a
iv.逆(inverse):
(a).任给,存在逆:
a,F,a,F
;,a,a,0,a,(,a)
1(b).任给,存在(乘)逆:
a,0,a,Fa,F
1,1;aa,1,aa
分配律(distributivelaw):
任给,v.a,b,c,F
;a(b,c),ab,ac,(b,c)a,bc,ca
vi.交换律(commutativelaw):
任给,a,b,F
(a).,a,b,b,a
(b)..ab,ba
Fi,vi,包括十一个性质.简单的说,连同,及使我们能通过一般的四则运
i算解方程式(6)而“不出界”(用“闭合性”).数学家一方面将元素分解为最基本的元素[将正整数分解为质数的积及将多项式分解为一次式的积,都属于这类],一方面将结构细分:
Fiii(a).如果连同,满足及,叫半群(semi-group).
Fi,vi(b).如果连同,满足,叫群(group).
Fi,viivvi(c).如果连同,满足,但不一定满足(b)及(b),叫环(ring).,,
这样,我们便能分门地研究群、环、域„„,一如物理学家研究分子、原子、核子„„,生物学家研究细胞、胞核、染色体„„,从政者研究国、省、行政公署„„.数学家重结构而轻元素.例:
如果存在一个从群到群上的1-1函数f,使f保GG'
运算或说f为同态:
f(ab),f(a)f(b),a,b,G,则我们说G,同构或f是同G'构,且视为f(a);这么说,a是没有什么“元素权”的!
a,G
关于(6),让我们先来解一元二次方程:
23
2,(为常数,)(7)a,b,cax,bx,c,0a,0即
2,ax,bx,,c
即
bxc2,x,,,aa
222(a,b),a,2ab,b(用二项式定理的特例配方:
)
bcb22.(x,),,,()2aa2a
b开方及移至等式右边,得(7)的解2a
2bb,4acx,,,,,22a4a
即
2,b,b,4acx,.(8),2a
或直接分解因子:
2ax,bx,c
bxc2,ax,,()aa
bcb22,ax,,,(配方)[()()]aaa22
2bb,ac42,ax,,[()]2a2a4
22bb,acbb,ac44,ax,,x,,(用[()(]22aa2a2a44
22a,b,(a,b)(a,b))
22b,b,4acb,b,4ac()(),ax,x,.(9)2a2a
副产品:
bcx,x,,,xx,(10),,,,aa
24
2例:
解(11)x,5x,6,0
解:
由(8)得
2,(,5),(,5),4,1,65,1,,,x,22,1即
.x,2,x,3,,
解毕.
注意:
因是的因子,且,故(11)是,3,,2,3,(,2),,56
(x,2)(x,3),0,
即
或.x,2x,3
上解法叫“交叉相乘法”.
2例:
解(12)2x,3x,20,0
解:
由(8)得
2,3,3,4,2,(,20),3,169,3,13,,,,x,442,2即
5x,,4,.x,,1,2可用交叉相乘法解(12):
因是的因子,且,故(11)是4,,5202,4,5,1,3
(x,4)(2x,5),0,即
5或.x,x,,42
解毕.
2注意:
在(9)中,当时,得二实数因子;时,得重因子;b,4ac,0,0,0
时,得二复数因子.另外,二元二次方程
2Ax,2Bxy,Cx,Dy,E,0A,B,C,D,E,(是常数)(13)
25
y代表圆锥曲线,给出,也可由公式(8)求得.x
F为复数域及(6)的通解仍可以用根号来表示,但相当n,3或n,4时,
复杂.十九世纪的数学家曾致力于解(6),其中阿贝尔(NielsHenrkAbel:
1808-1829)及伽罗瓦(EvaristeGalois:
1811-1832,逝于比剑)影响讲者最深.数学客猛用数学而责怪数学家没用,数学匠直接费力地解(6)或别的问题,数学家则将问题转化,使观念提升及运算减少,真个是:
出庐山,才能看清庐山
n的真面目.回到(6),诸系数对应一个群,用来特征化(6)的解,其中的细,,ai,0i
节叫做伽罗瓦理论,它顺便而轻易地解决了欧几里得几何里不能三等分任意一角的问题.
26
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