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正交使用教材第四章
第四章配方均匀设计
配方设计在化工、橡胶、食品,材料工业等领域中十分重要,设某产品有种
s原料M1,…,Ms,它们在产品中的百分比分别记作X1,…,Xs。
显然。
X1二0,…,Xs30,X1+…+Xs=1.欲寻找最佳配方,需要做配方试验或混料试验,由
于X1,…,Xs之间不独立,前三章所介绍的各种试验设计方法均不适用于配方试
验,在文献中可以查到许多有用的方法,如单纯形格子点设计(Simplex-lattice
design),单纯形重心设计(Simplex-centrioddesign),轴设计(axialdesign)等,
Cornell^对各种配方试验设计方法作了详尽的介绍和讨论,本章先简单介绍文
献中推荐的这些方法,然后指出这些方法的缺点,并推出配方均匀设计。
4.1配方试验设计
其方
(0,0,
(0,0,
m=3时,
Scheffe于1958和1963创造了单纯形格子点设计和单纯形重心设计,法如下:
1、单纯形格子点设计
先确定一个正整数m,然后让每个原料取值
Xi=0,—,—,—=1,iS.
mmm
例如当s=3,m=1时,只有3个试验点:
(1,0,0),(0,1,0),
1),当s=3,m=2时,有6个试验点:
(1,0,0),(0,1,0),1),(1/2,1/2,0),(1/2,0,1/2),(0,1/2,1/2),当s=3,
有10个试验点:
(1,0,0,),(0,1,0),(0,0,1),(1/3,2/3,0),
(1/3,0,2/3),(0,1/3,2/3),(2/3,1/3,0),(2/3,0,1/3),(0,
2/3,1/3),(1/3,1/3,1/3),一般记为{S,m}设计,一个{s,m}设计有
l+mT、
"丿
个试验点。
2、单纯形重心设计
一个s维的单纯开重心设计共有2s—1个试验点,其中s个单一成分的点,(1,0,0,…,0),…,(0,…,0,1)。
(!
)个二种相等成分的试验点,即
G,;,o,…,0),…,(0,…,0,;,;),…,(;)=1个s种相等成分的试验点:
(2,…,1).当s=3时,共有7个试验点,它们为:
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(异,0),(二0,亠(0,异),(3,梟).
除上述两种设计外,还有许多其他方法,如Cornell建议的轴设计。
3、轴设计
单纯形Ts={(Xi,…,Xs):
Xi>0,i=1,…,s,Xi+Xs=1}的重心和它各顶点的联线称为
轴,轴设计取s个试验点,每个轴上一个点,使这些点到重心有相等的矩离d,
通常Ovdv(s-1)/s。
图12对s=3时给出三种设计的点图,由这些点图我们发现这些设计有如下两个问题:
1)试验点在试验范围Ts内分布不十分均匀。
2)在试验边界上有太多的试验点。
众所周知,在化学试验中,若有S种成分,
如果缺少一种或多种,则或者不起化学反应,或者生成另外一种产品。
为了克服上述两个缺点,王元、方开泰「9『建议用均匀设计的思想来做配方设计,产生了配方均匀设计。
4.2配方均匀设计
s种原料的试验范围是单纯形Ts,在上节已经提及,设我们打算比较n种不
同的配方,这些配方对应Ts中n个点,配方均匀设计的思想就是使这n个点在Ts
中散布尽可能均匀.其设计方案可用如下步骤获得:
1)给定s和n,根据附录的使用表查到生成向量(h1,…,hs」),并由这个生成向量
2)对每个i,计算
3)计算
由{Xki}就给出了对应n,S的配方均匀设计.并用记号UMn(ns)示之。
表26对n=11,s=3时给出了产生UM11(113)的过程.这时计算公式(4.2)有如下简
单形式
(4.3)
Xki=1-JCki
Xk2=%d(1-Ck2)
Xk3=JCk1Ck2
表26UMii(ii3)及其生成过程
No.
Ci
C2
Xi
X2
X3
1
1/22
13/22
0.787
0.087
0.126
2
3/22
5/33
0.631
0.285
0.084
3
5/22
19/22
0.523
0.065
0.412
4
7/22
11/22
0.436
0.282
0.282
5
9/22
3/33
0.360
0.552
0.087
6
11/22
17/22
0.293
0.161
0.546
7
13/22
9/22
0.231
0.454
0.314
8
15/22
1/22
0.174
0.788
0.038
9
17/22
15/22
0.121
0.280
0.599
10
19/22
7/22
0.071
0.634
0.296
11
21/22
21/22
0.023
0.044
0.993
公式(4.2河以用递推方法以节省计算量,其算法如下:
(a)
(b)
令gks=Igk0=0,k=1,n..
递推计算
c糾
gkj=gk,j+1,j=s-i,s-2,…,2,1
(c)
计算
Xkj=Jgkj-gk,j咕,j=1,…,s,k=1,…,n
则{Xkj}即为所求,用这个算法便于写计算程序。
由于编写产生UMn(ns)表的程序极其简单,因此无需列出各种配方均匀设计表,有关的软件已经形成,读者可以直接使用,而节省研制时间。
用配方均匀设计安排好试验后,根据试验的目的,获得反应变量Y的值{Y}
进一步的分析和以前一样也是用回归分析,当因素间没有交互作用时,用线性模型,当因素间有交互作用时用二次型回归模型,或其他非线性回归模型,现用下例来说明之。
例6在一个新材料研制中,选择了主要三种金属的含量X1;X2;X3作为因素.根据试验条件的允许和精度的要求,选择了UM15(153)表来安排试验,其试验方案
和Y值列于表27.由于Xi+X2+X3=1,故表中仅仅列出Xi和X2。
利用二次型回归模型和逐步回归最终选定回归方程为
Y*=10.09+0.797X4-3.454X:
-2.673X;+0.888X4X2
相应的R=0.90,由=0.289.由于X1+X2+X3=1,回归方程中仅有X1和x出现,我们看到X1和X2有交互作用。
限于篇幅,有关寻求最优配方的内容就不详尽叙述了,有兴趣的读者请参考方开泰和王元[16],张金廷[13]。
表27
试验方案和结果
No.
x1
x2
Y
1
0.817
0.055
8.508
2
0.684
0.179
9.464
3
0.592
0.340
9.935
4
0.517
0.048
9.400
5
0.452
0.210
10.680
6
0.394
0.384
9.748
7
0.342
0.592
9.698
8
0.293
0.118
10.238
9
0.247
0.326
9.809
10
0.204
0.557
9.732
11
0.163
0.809
8.933
12
0.124
0.204
9.971
13
0.087
0.456
9.881
14
0.051
0.727
8.892
15
0.017
0.033
10.139
4.3有约束的配方均匀设计
上两节我们讨论的配方设计对各个因素是一视同仁的,但是在许多配方中,
有些成分的含量很大,有些则很小,这种配方称为有约束的配方,这时上两节所介绍的方法均不能直接运用,本节介绍有约束的配方均匀设计。
设在一配方中有s个成分Xi;・・,Xs,它们有约束条件如下:
(4.4)
jUXs=1
1a 当某个因子Xj没有约束时,相应的aj=0,bj=1. 例7若一配方有三个成分X1,X2和X3,它们目前按70%,20%,10%组成配方,为了提高质量,希望寻求新的配比,这时我们希望设计一个试验,使 [0.6<人<0.8 (4.5) (0.15 0.05 这时如何用均匀设计来给出试验方案呢? 本例由于X1的含量较高,我们可以将X2和X3在试验范围内按独立变量的均匀设计去选表,然后用X1=1-X2-X3给出X1的比例,若X2和X3都在试验范围内取11个水平,并用u;1(112)来安排X2和X3,得表28之试验方案.该方案并不十分理想,因为X1只有三个水平: 0.64,0.70,0.76若选用5(112)表,其试验方案列于表29,这时不仅X2和X3有11水平,X1也有11水平。 上述的两个方案重点在考虑X2和X3,而X1似乎是一种“陪衬”,不得已而变之,而且X1的变化范围和原设计并不十分吻合.故这种方法所设计的试验均匀性有时不一定很好.能否将X1,X2,X3同时来考虑,其中没有一个是陪衬呢? 目前尚没有特别好的方法,我们仍以例7来讨论,令电Ck1,Ck2)k=1,…,n}为C2中的一组分散均匀的点集,由变换(4.3)我们可获得单纯形T3上的一组点因此,qck1,Ck2约束(4.5),即 [0.6<1—aC? <0.8 \0.15兰jCk1(1-Ck2)兰0.25 I0.05<0.15 上式的约束成为 0.04 —空 Ick2-If VCk1VCk1 0.05”孑0.05 -j=兰Ck2兰亍 Ck1¥Ck1 由它们所决定的区域D如图13所示,不难求得,区域D落于矩形R=[0.04,0.16]M1/6,0.5]之中,于是,我们若在矩形R之中给出一个均匀设计,其中落在D的点可以视为在D上的一个均匀设计,然后再利用(4.3)便可获得我们要求的均匀设计方案。 表28 U;1(112)之试验方案 No. X1 X2 X3 1 0.76 0.15 0.09 2 0.70 0.16 0.14 3 0.76 0.17 0.07 4 0.70 0.18 0.12 5 0.76 0.19 0.05 6 0.70 0.20 0.10 7 0.64 0.21 0.15 8 0.70 0.22 0.08 9 0.64 0.23 0.13 10 0.70 0.24 0.06 11 0.64 0.25 0.11 表29 U11(112)之试验方案 No. X1 X2 X3 1 0.74 0.15 0.11 2 0.77 0.16 0.07 3 0.69 0.17 0.14 4 0.72 0.18 0.10 5 0.75 0.19 0.06 6 0.67 0.20 0.13 7 0.70 0.21 0.09 8 0.73 0.22 0.05 9 0.65 0.23 0.12 10 0.68 0.24 0.08 11 0.60 0.25 0.15 设取n=21,由附录I中的A1.25,查到应当用U;1(212)的第1和第5列,由它们生成的均匀设计(见表28前两列)再通过变换(3.6)变到单位正方体之中(见表28,第3,4列),记变换后的点为{(Cki,Ck2),k,21}.其次将这些点通过线性变换到矩形R上去,其变换为 C;=0.04+(0.16-0.04Ck1 *1f1) Ck2=-+0.5--|Ck2k=1,2,…,21 6I6丿 它们的值列于表30的最后两列,其中在试验点编号上加了“*”的表示该点落 在区域D之内,未加“*”的表示落在D之外,我们看到编号为4,6,7,8,9,10,11,13,16,18的点落在D内.由这些点通过变换(3.6)获得落在(4.5)所规定的区域的10个试验点,它们列在表31之中.用上述方法所获得的试验方案布点均匀,但试验数不易预先确定。 例如若我们希望做12次试验,用上述方法只能 获得10个试验的配方,为此,我们可以尝试开始时n>21,比如n=24,再用类 似办法看看最后有多少个点落在D之中,该方法已经纳入中国均匀设计学会所 推荐的软件包之中。 表30有限制的配方设计 No. 1 5 C C2 C* C* 1 1 13 0.0238 0.5952 0.0429 0.3651 2 2 4 0.0714 0.1667 0.0486 0.2222 3 3 17 0.1190 0.7857 0.0543 0.4286 4* 4 8 0.1667 0.3571 0.0600 0.2587 5 5 21 0.2143 0.9762 0.0657 0.4921 6* 6 12 0.2619 0.5476 0.0714 0.3492 7* 7 3 0.3095 0.1190 0.0771 0.2063 8* 8 16 0.3571 0.7381 0.0829 0.4127 9* 9 7 0.4048 0.3095 0.0886 0.2698 10* 10 20 0.4524 0.9286 0.0943 0.4762 11* 11 11 0.5000 0.5000 0.1000 0.3333 12 12 2 0.5476 0.0714 0.1057 0.1905 13* 13 15 0.5952 0.6905 0.1114 0.3968 14 14 6 0.6429 0.2619 0.1171 0.2540 15 15 19 0.6905 0.8810 0.1229 0.4603 16* 16 10 0.7381 0.4524 0.1286 0.3175 17 17 1 0.7857 0.0238 0.1343 0.1746 18* 18 14 0.8333 0.6429 0.1400 0.3810 19 19 5 0.8810 0.2143 0.1457 0.2381 20 20 18 0.9286 0.8333 0.1514 0.4444 21 21 9 0.9762 0.4048 0.1571 0.3016 表31试验方案 No. X1 X2 X3 1 0.7551 0.1750 0.0700 2 0.7327 0.1739 0.0933 3 0.7223 0.2204 0.0573 4 0.7122 0.1691 0.1188 5 0.7024 0.2173 00803 6 0.6929 0.1608 0.1462 7 0.6838 0.2108 0.1054 8 0.6662 0.2013 0.1325 9 0.6414 0.2447 0.1138 10 0.6258 0.2316 0.1425 4.4均匀设计在系统工程中的应用 设有一个复杂的系统(如图14),有一批输入参数,当这些参数给定后,需要进行复杂的计算(如上百个微分方程),求得输出参数,用它们来控制该系统。 由于计算过于复杂,计算时间较长,很难做到载线控制,或者已经推动了控制时机。 因此,希望在输入参数和输出参数间建立一种简单的关系,通过这个关系,由输入可以极其快速地算出输出,这样图14中的“系统”部分可以 视为“黑箱”,在应用中不必去过问。 由于输入参数的范围可能很大,要建立输入和输出之间的关系并能达到要求之精度,在如此大的范围内并不容易。 国外一批学者对此作了大量研究,并将这个研究方向称为“计算机试验设计” (designofcomputerexperiments)许多研究将问题弄得很复杂,失去了应用价 泉统 值。 我国早在70年代末就已成功地将均匀设计用于系统工程中(参见黄树山、丁常福、赵蓉华[36]、张建舟、潘乃强、申宗鹤[40]、张炳辉[41]等),并且比 褊入夢数 圏14 国外的方法先进,其思想大体如下: 将输入参数分成较多的水平(通常大于20),然后在其范围内给出一个均匀设计,设计给出了n组不同的输入参数.然后按系统的模型精确地算出(比如系统模型是微分方程组)输出参数。 利用多元统计分析中的许多方法(比如利用回归分析),可以建立输入参数和输出参数之间的关系,如果试验数足够多,模型精心选择,由输入估计输出的精度可以达到预期的要求,由于这方面的应用涉及到许多知识,这里难以详尽介绍。 有关计算机试验的文献,读者可以从文献[16]的第五章第六节的介绍中找到。 结束语 本书的目的是向广大读者介绍均匀设计的方法和应用,在文字上尽量简洁, 略去了所有的数学证明,考虑于已有相应的软件包,因此在数据分析方面也没有做到面面俱到,这样对于初学者易于领会均匀设计的思想和运用中的主要技巧,如果内容介绍太多,容易毛了西瓜拣芝麻,不久,王元教授和我将撰写一本有关均匀设计的专著,该书将包含有关的数学证明,并且包含更多的内容。 正交设计已有几十年历史,至今还在发展,均匀设计才有十几年历史,尚 有许多总是有待去研究,例如拟水平的表还可以发现更多更好的表,有约束的配方设计给出更方便的设计方法,有多个试验指标(Y)时的数据分析方法,如第三章介绍,U*表比U表在均匀度方面有显著地改进,能否找到比U*更均匀的设计呢? 这些都是值得研究的问题,我们特别欢迎使用者提出各种应用课题与我们讨论,实践是理论的源泉,均匀设计产生是来自实际问题的刺激,它的发展和完善仍然要依靠实际的推动。
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