中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案.docx
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中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案
《离散数学》期末复习题
一、填空题(每空2分,共20分)
1、集合A上的偏序关系的三个性质是、和。
2、一个集合的幂集是指。
3、集合A={b,c},B={a,b,c,d,e},则A?
B=。
4、集合A={1,2,3,4},B={1,3,5,7,9},则A?
B=。
5、若A是2元集合,则2A有个元素。
6、集合A={1,2,3},A上的二元运算定义为:
a*b=a和b两者的最大值,则2*3=。
7、设A={a,b,c,d},则∣A∣=。
8、对实数的普通加法和乘法,是加法的幂等元,是乘法的幂等元。
9、设a,b,c是阿贝尔群
10、一个图的哈密尔顿路是。
11、不能再分解的命题称为,至少包含一个联结词的命题称为。
12、命题是。
13、如果p表示王强是一名大学生,则┐p表示。
14、与一个个体相关联的谓词叫做。
15、量词分两种:
和。
16、设A、B为集合,如果集合A的元素都是集合B的元素,则称A是B的。
17、集合上的三种特殊元是、及。
18、设A={a,b},则ρ(A)的四个元素分别是:
,,,。
19、代数系统是指由及其上的或组成的系统。
20、设
21、集合A={a,b,c,d},B={b},则A\B=。
22、设A={1,2},则∣A∣=。
23、在有向图中,结点v的出度deg+(v)表示,入度deg-(v)表示以。
24、一个图的欧拉回路是。
25、不含回路的连通图是。
26、不与任何结点相邻接的结点称为。
27、推理理论中的四个推理规则是、、、。
二、判断题(每题2分,共20分)
1、空集是唯一的。
2、对任意的集合A,A包含A。
3、恒等关系不是对称的,也不是反对称的。
4、集合{1,2,3,3}和{1,2,2,3}是同一集合。
5、图G中,与顶点v关联的边数称为点v的度数,记作deg(v)。
6、在实数集上,普通加法和普通乘法不是可结合运算。
7、对于任何一命题公式,都存在与其等价的析取范式和合取范式。
8、设(A,*)是代数系统,a∈A,如果a*a=a,则称a为(A,*)的等幂元。
9、设f:
A→B,g:
B→C。
若f,g都是双射,则gf不是双射。
10、无向图的邻接矩阵是对称阵。
11、一个集合不可以是另一个集合的元素。
12、映射也可以称为函数,是一种特殊的二元关系。
13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。
14、<{0,1,2,3,4},MAX,MIN>是格。
15、树一定是连通图。
16、单位元不是可逆的。
17、一个命题可赋予一个值,称为真值。
18、复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。
19、任何两个重言式的合取或析取不是一个重言式。
20、设f:
A→B,g:
B→C。
若f,g都是满射,则g?
f不是满射。
21、集合{1,2,3,3}和{1,2,3}是同一集合。
22、零元是不可逆的。
23、一般的,把与n个个体相关联的谓词叫做一元谓词。
24、“我正在说谎。
”不是命题。
25、用A表示“是个大学生”,c表示“张三”,则A(c):
张三是个大学生。
26、设F={<3,3>,<6,2>},则F-1={<6,3>,<2,6>}。
27、欧拉图是有欧拉回路的图。
28、设f:
A→B,g:
B→C。
若f,g都是单射,则g?
f也是单射。
三、计算题(每题10分,共40分)
1、设A={c,d},B={0,1,2},则计算A×B,B×A。
2、A={a,b,c},B={1,2},计算A×B。
3、A={a,b,c},计算A×A。
4、符号化命题“如果2大于3,则2大于4。
”。
5、符号化命题“并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快”。
6、符号化命题“2是素数且是偶数”。
7、设A={a,b,c,d},R是A的二元关系,定义为:
8、设A={1,2,3,4},R是A的二元关系,定义为:
R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<3,2>,<3,1>,<4,3>,<4,2>,<4,1>},写出A上二元关系R的关系矩阵。
9、设有向图G如下所示,求各个结点的出度、入度和度数。
10、设有向图G如下所示,求各个结点的出度、入度和度数。
11、设无向图G如下所示,求它的邻接矩阵。
12、求命题公式┐(p∧┐q)的真值表。
13、设<2x+y,5>=<10,x-3y>,求x,y。
14、R1、R2是从{1,2,3,4,5}到{2,4,6}的关系,若R1={<1,2>,<3,4>,<5,6>},R2={<1,4>,<2,6>},计算domR1,ranR1,fldR1,domR2,ranR2,fldR2。
15、例:
设A={1,2,3,4,5},B={3,4,5},C={1,2,3},A到B的关系R={
S。
16、集合A={a,b,c},B={1,2,3,4,5},R是A上的关系,S是A到B的关系。
S,S–1?
R–1
17、A={1,2,3,4,5,6},D是整除关系,画出哈斯图并求出最小元、最大元、极小元和极大元。
18、设集合A={a,b,c},A上的关系R={,,},求R的自反、对称、传递闭包。
19、求下图中顶点v0与v5之间的最短路径。
20、分别用三种不同的遍历方式写出对下图中二叉树点的访问次序。
四、证明题(每题10分,共20分)
1、若R和S都是非空集A上的等价关系,证明R
S是A上的等价关系。
2、证明苏格拉底论证:
凡人要死。
苏格拉底是人,苏格拉底要死。
3、P→Q,┐Q
R,┐R,┐S
P?
┐S
4、在群
5、设R和S是二元关系,证明:
(R
S)-1=R-1
S-1
6、证明:
((Q∧S)→R)∧(S→(P∨R))=(S∧(P→Q))→R.
7、设I是整数集合,k是正整数,I上的关系R={
8、证明((p→q)→r)?
((┐q∧p)∨r)
9、证明(P∨Q)∧(P→R)∧(Q→S)?
S∨R
10、证明P→┐Q,Q∨┐R,R∧┐S?
┐P
11、证(?
x)(P(x)∨Q(x))?
┐(?
x)P(x)→(?
x)Q(x)
12、证明定理:
设 >是群,对于任意a,b∈G,则方程a? x=b与y? a=b,在群内有唯一解。 《离散数学》复习题参考答案 一、填空题(每空1分,共20分) 1、集合A上的偏序关系的三个性质是自反性、反对称性和传递性。 2、一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合。 3、集合A={b,c},B={a,b,c,d,e},则A? B={a,b,c,d,e}。 4、集合A={1,2,3,4},B={1,3,5,7,9},则A? B={1,3}。 5、若A是2元集合,则2A有4个元素。 6、集合A={1,2,3},A上的二元运算定义为: a*b=a和b两者的最大值,则2*3=3。 7、设A={a,b,c,d},则∣A∣=4。 8、对实数的普通加法和乘法,0是加法的幂等元,1是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群 10、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中所有结点一次且恰好一次的路。 11、不能再分解的命题称为原子命题,至少包含一个联结词的命题称为复合命题。 12、命题是能够表达判断(分辩其真假)的陈述语句。 13、如果p表示王强是一名大学生,则┐p表示王强不是一名大学生。 14、与一个个体相关联的谓词叫做一元谓词。 15、量词分两种: 全称量词和存在量词。 16、设A、B为集合,如果集合A的元素都是集合B的元素,则称A是B的子集。 17、集合上的三种特殊元是单位元、零元及可逆元。 18、设A={a,b},则ρ(A)的四个元素分别是: 空集,{a},{b},{a,b}。 19、代数系统是指由集合及其上的一元或二元运算符组成的系统。 20、设 21、集合A={a,b,c,d},B={b},则A\B={a,c,d}。 22、设A={1,2},则∣A∣=2。 23、在有向图中,结点v的出度deg+(v)表示以v为起点的边的条数,入度deg-(v)表示以v为终点的边的条数。 24、一个图的欧拉回路是一条通过图中所有边一次且恰好一次的回路。 25、不含回路的连通图是树。 26、不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点。 27、推理理论中的四个推理规则是全称指定规则(US规则)、全称推广规则(UG规则)、存在指定规则(ES规则)、存在推广规则(EG规则)。 二、判断题(每题2分,共20分) 1、√。 2、√。 3、×。 4、√。 5、√。 6、×。 7、√。 8、√。 9、×。 10、√。 11、×。 12、√。 13、×。 14、√。 15、√。 16、×。 17、√。 18、√。 19、×。 20、×。 21、√。 22、√。 23、×。 24、√。 25、√。 26、×。 27、√。 28、√。 1、空集是唯一的。 2、对任意的集合A,A包含A。 3、恒等关系不是对称的,也不是反对称的。 4、集合{1,2,3,3}和{1,2,2,3}是同一集合。 5、图G中,与顶点v关联的边数称为点v的度数,记作deg(v)。 6、在实数集上,普通加法和普通乘法不是可结合运算。 7、对于任何一命题公式,都存在与其等价的析取范式和合取范式。 8、设(A,*)是代数系统,a∈A,如果a*a=a,则称a为(A,*)的等幂元。 9、设f: A→B,g: B→C。 若f,g都是双射,则gf不是双射。 10、无向图的邻接矩阵是对称阵。 11、一个集合不可以是另一个集合的元素。 12、映射也可以称为函数,是一种特殊的二元关系。 13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。 14、<{0,1,2,3,4},MAX,MIN>是格。 15、树一定是连通图。 16、单位元不是可逆的。 17、一个命题可赋予一个值,称为真值。 18、复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。 19、任何两个重言式的合取或析取不是一个重言式。 20、设f: A→B,g: B→C。 若f,g都是满射,则g? f不是满射。 21、集合{1,2,3,3}和{1,2,3}是同一集合。 22、零元是不可逆的。 23、一般的,把与n个个体相关联的谓词叫做一元谓词。 24、“我正在说谎。 ”不是命题。 25、用A表示“是个大学生”,c表示“张三”,则A(c): 张三是个大学生。 26、设F={<3,3>,<6,2>},则F-1={<6,3>,<2,6>}。 27、欧拉图是有欧拉回路的图。 28、设f: A→B,g: B→C。 若f,g都是单射,则g? f也是单射。 三、计算题(每题10分,共40分) 1、设A={c,d},B={0,1,2},则A×B={ 2、A={a,b,c},B={1,2},A×B={a,b,c}×{1,2}={,, 3、A={a,b,c},A×A={a,b,c}×{a,b,c}={,,,,,, 4、符号化命题“如果2大于3,则2大于4。 ”。 设L(x,y): x大于y,a: 2,b: 3,c: 4,则命题符号化为L(a,b)→L(a,c)。 5、符号化命题“并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快”。 设F(x): x是兔子。 G(x): x是乌龟。 H(x,y): x比y跑得快。 该命题符号化为: ? ? x? y(F(x)∧G(y)→H(x,y))。 6、符号化命题“2是素数且是偶数”。 设F(x): x是素数。 G(x): x是偶数。 a: 2,则命题符号化为F(a)∧G(a)。 7、设A={a,b,c,d},R是A的二元关系,定义为: 解: R的关系矩阵为: 8、设A={1,2,3,4},R是A的二元关系,定义为: R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<3,2>,<3,1>,<4,3>,<4,2>,<4,1>},写出A上二元关系R的关系矩阵。 解: R的关系矩阵为: 9、设有向图G如下所示,求各个结点的出度、入度和度数。 deg(v1)=3,deg+(v1)=1,deg-(v1)=2; deg(v2)=deg+(v4)=deg-(v2)=0; deg(v3)=3,deg+(v3)=2,deg-(v3)=1; deg(v4)=2,deg+(v4)=1,deg-(v4)=1; 10、设有向图G如下所示,求各个结点的出度、入度和度数。 答: deg(v1)=3,deg+(v1)=2,deg-(v1)=1; deg(v2)=3,deg+(v2)=2,deg-(v2)=1; deg(v3)=5,deg+(v3)=2,deg-(v3)=3; deg(v4)=deg+(v4)=deg-(v4)=0; deg(v5)=1,deg+(v5)=0,deg-(v5)=1; 11、设无向图G如下所示,求它的邻接矩阵。 12、求命题公式┐(p∧┐q)的真值表。 p q ┐q p∧┐q ┐(p∧┐q) 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 13、设<2x+y,5>=<10,x-3y>,求x,y。 解: 由定理列出如下方程组: 求解得x=5,y=0。 14、R1、R2是从{1,2,3,4,5}到{2,4,6}的关系,若R1={<1,2>,<3,4>,<5,6>},R2={<1,4>,<2,6>},计算domR1,ranR1,fldR1,domR2,ranR2,fldR2。 解: domR1={1,3,5},ranR1={2,4,6},fldR1=domR1∪ranR1={1,2,3,4,5,6}; domR2={1,2},ranR2={4,6},fldR2=domR2∪ranR2={1,2,4,6}。 15、例: 设A={1,2,3,4,5},B={3,4,5},C={1,2,3},A到B的关系R={ S。 解: R={<1,5>,<2,4>,<3,3>},S={<3,1>,<4,2>,<5,3>},从而R? S={<1,3>,<2,2>,<3,1>} 或者因<1,5>∈R,<5,3>∈S,所以<1,3>∈R? S;因<2,4>∈R,<4,2>∈S,所以<2,2>∈R? S;因<3,3>∈R,<3,1>∈S,所以<3,1>∈R? S;从而R? S={<1,3>,<2,2>,<3,1>} 16、集合A={a,b,c},B={1,2,3,4,5},R是A上的关系,S是A到B的关系。 S,S–1? R–1 R? (R? S)-1={<1,a>,<4,a>,<5,a>,<2,b>,<2,c>,<4,c>,<5,c>} R–1={, S–1={<1,a>,<4,a>,<2,b>,<4,c>,<5,c>} S–1? R–1={<1,a>,<2,b>,<2,c>,<4,a>,<4,c>,<5,a>,<5,c>}。 17、A={1,2,3,4,5,6},D是整除关系,画出哈斯图并求出最小元、最大元、极小元和极大元。 解: 1是A的最小元,没有最大元,1是极小元,4、5、6都是A的极大元。 18、设集合A={a,b,c},A上的关系R={,,},求R的自反、对称、传递闭包。 19、求下图中顶点v0与v5之间的最短路径。 解: 如下图所示v0与v5之间的最短路径为: v0,v1,v2,v4,v3,v5 最短路径值为1+2+1+3+2=9 20、分别用三种不同的遍历方式写出对下图中二叉树点的访问次序。 先根遍历: ABDEHCFIJGK中根遍历: DBHEAIFJCGK后根遍历: DHEBIJFKGCA 四、证明题(每题10分,共20分) 1、若R和S都是非空集A上的等价关系,证明R S是A上的等价关系。 证明: a∈A,因为R和S都是A上的等价关系,所以xRx且xSx。 故xR Sx。 从而R S是自反的。 a,b∈A,aR Sb,即aRb且aSb。 因为R和S都是A上的等价关系,所以bRa且bSa。 故bR Sa。 从而R S是对称的。 a,b,c∈A,aR Sb且bR Sc,即aRb,aSb,bRc且bSc。 因为R和S都是A上的等价关系,所以aRc且aSc。 故aR Sc。 从而R S是传递的。 故R S是A上的等价关系。 2、证明苏格拉底论证: 凡人要死。 苏格拉底是人,苏格拉底要死。 设: H(x): x是人。 M(x): x是要死的。 s: 苏格拉底。 本题要证明: (? x)(H(x)→M(x))∧H(s)? M(s) 证明: ⑴(? x)(H(x)→M(x))P ⑵H(s)→M(s)US⑴ ⑶H(s)P ⑷M(s)⑵、⑶ 3、P→Q,┐Q R,┐R,┐S P? ┐S 证明: (1)┐R前提 (2)┐Q R前提 (3)┐Q (1), (2) (4)P→Q前提 (5)┐P(3),(4) (6)┐S P前提 (7)┐S(5),(6) 4、在群 因为e? e=e,所以e是幂等元。 设a? G且a? a=a,则有a=e? a=(a–1? a)? a=a–1? (a? a)=a–1? a=e,即a=e。 5、设R和S是二元关系,证明: (R S)-1=R-1 S-1 证明: . 所以 . 6、证明: ((Q∧S)→R)∧(S→(P∨R))=(S∧(P→Q))→R. 证明: 左边: ((Q∧S)→R)∧(S→(P∨R)) =(┐(Q∧S)∨R)∧(┐S∨(P∨R)) =(┐Q∨┐S∨R)∧(┐S∨P∨R) =(┐Q∨┐S∨R)∧(┐S∨P∨R) 右边: (S∧(P→Q))→R =┐(S∧(┐P∨Q))∨R =(┐S∨(P∧┐Q))∨R =(┐Q∨┐S∨R)∧(┐S∨P∨R) 所以((Q∧S)→R)∧(S→(P∨R))=(S∧(P→Q))→R. 7、设I是整数集合,k是正整数,I上的关系R={ 证明: (1)对任意的x∈A,有x-x=0可被k整除。 所以 (2)对任意的x,y∈A, 所以 (3)设x,y,z∈A,若 所以 综上所述,R具有自反性、对称性和传递性,故R是等价关系。 8、证明: ⑴((p→q)→r)? ((┐q∧p)∨r) ⑵p→(q→r)? ┐r→(q→┐p) 证明: 1((p→q)→r) ? ? ((┐p∨q)→r)//蕴涵等值式 ? ? (┐(┐p∨q))∨r//蕴涵等值式 ? ? (p∧(┐q))∨r//德·摩根律 ? ? ((┐q∧p)∨r)//交换律 ⑵p→(q→r)? ┐r→(q→┐p) ? ┐p∨(q→r)//蕴涵等值式 ? ┐p∨(┐q∨r)//蕴涵等值式 ? r∨(┐q∨┐p)//结合律与交换律 ? r∨(q→┐p)//蕴涵等值式 ? ┐r→(q→┐p)//蕴涵等值式 9、证明(P∨Q)∧(P→R)∧(Q→S)? S∨R 证明: (1)P∨Q已知前提 (2)┐P→Q由 (1) (3)Q→S已知前提 (4)┐P→S由 (2)和(3) (5)┐S→P由(4) (6)P→R已知前提 (7)┐S→R由(5)和(6) (8)S∨R由(7) 10、证明P→┐Q,Q∨┐R,R∧┐S? ┐P 证明用反证法,把┐(┐P)作为附加前提加入到前提的集合中去,证明由此导致矛盾。 (1)┐(┐P)反证法附加前提 (2)P由 (1) (3)P→┐Q已知前提 (4)┐Q由 (2)和(3) (5)Q∨┐R已知前提 (6)┐R由(4)和(5) (7)R∧┐S已知前提 (8)R由(7) (9)R∧┐R由(6)和(8),矛盾 11、证(? x)(P(x)∨Q(x))? ┐(? x)P(x)→(? x)Q
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