广东省七校联合体届高三第一次联考理科数学试题原稿.docx
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广东省七校联合体届高三第一次联考理科数学试题原稿
七校联合体2016届高三第一次联考试卷
理科数学
命题:
普宁二中陈左华审题:
潮阳一中刘叶丛
一、选择题:
(本大题共8小题,每小题5分,满分40分)
1.已知全集I=R,集合A={x|y=},集合B={x|0≤x≤2},则(∁IA)∪B等于( )
A.[1,+∞)B.(1,+∞)
C.[0,+∞)D.(0,+∞)
2.设{an}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3.根据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
-0.5
0.5
-2.0
-3.0
得到的线性回归方程为=x+,则( )
A.>0,>0B.>0,<0C.<0,>0D.<0,<0
4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.B.C.D.
5.执行上边的程序框图,若p=0.8,则输出的n=( )
A3B4C5D6
6.由不等式组确定的平面区域记为Ω1,不等式组确定的平面区域为Ω2,在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为( )
A.B.C.D.
7.函数f(x)=sin(2x+φ)的图像向左平移个单位后关于原点对称,则函数f(x)在区间上的最小值为( )
A.- B.- C. D.
8.设函数在其定义域D上的导函数为,如果存在实数和函数,其中对任意的,都有,使得则称函数具有性质,给出下列四个函数:
;;
;
其中具有性质的函数为( )
A①②③B①②④C②③④D①③④
二、填空题:
本题共6小题,考生作答6小题,每小题5分,共30分
9.已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为________.
10.若偶函数的定义域为,则=
11.已知函数的反函数是且=______________
12.从编号为0,1,2,…,79的80件产品中,采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本,若编号为42的产品在样本中,则该样本中产品的最小编号为
13.的展开式的常数项是
14.设点,若在圆上存在点,使得,则的取值范围是________.
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本题满分12分)
已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2=sinB,b=1.
(1)若A=,求边c;
(2)若a=2c,求△ABC的面积.
16.(本小题满分13分)
某企业招聘工作人员,设置、、三组测试项目供参考人员选择,甲、乙、丙、丁、戊五人参加招聘,其中甲、乙两人各自独立参加组测试,丙、丁两人各自独立参加组测试.已知甲、乙两人各自通过测试的概率均为,丙、丁两人各自通过测试的概率均为.戊参加组测试,组共有6道试题,戊会其中4题.戊只能且必须选择4题作答,至少答对3题则竞聘成功.
(Ⅰ)求戊竞聘成功的概率;
(Ⅱ)求参加组测试通过的人数多于参加组测试通过的人数的概率;
(Ⅲ)记、组测试通过的总人数为,求的分布列和期望.
17.(本题满分13分)
如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,,
AD⊥DC,AC⊥BD,垂足为E,(I)求证:
BD⊥A1C;()求二面角A1-BD-C1的大小;
18.(本题满分14分)
已知正项数列的前项和为,且.
(1)求的值及数列的通项公式;
(2)是否存在非零整数,使不等式
对一切都成立?
若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
19.(本小题满分14分)
如图所示,椭圆C1:
+=1(a>b>0)的离心率为,x轴被曲线C2:
y=x2-b截得的线段长等于C1的短轴长.C2与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交于点D,E.
(1)求C1,C2的方程;
(2)求证:
MA⊥MB;
(3)记△MAB,△MDE的面积分别为S1,S2,若=λ,求λ的取值范围.
20.(本小题满分14分)
设函数f(x)=ex-ax-2.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f′(x)+x+1>0恒成立,求k的最大值.
2016届七校高三摸底考答案2015.8
一、选择题:
1C2D3B4A5B6D7A 8A
二、填空题:
本题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,共30分
(一)必做题(9~13题)
9.答案 2110.答案:
011答案212.答案 10
13答案314.答案:
(答案格式不唯一)
三、解答题:
15.解:
(1)由已知可得1+cosB=sinB…………2分
∴sin=.…………3分又0
∴c=·sinC=.…………6分
(2)由
(1)知B=,…………7分∴由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB.…………8分
又a=2c,∴c2=,…………10分
∴△ABC的面积S=acsinB=.…………12分
16、解:
(I)设戊竞聘成功为A事件,则…………1分
…………2分
(Ⅱ)设“参加组测试通过的人数多于参加组测试通过的人数”为B事件………3分
…………5分
(Ⅲ)可能取0,1,2,3,4…………6分
…………7分
…………8分
…………9分
…………10分
…………11分
0
1
2
3
4
P
…………12分
∴……13分
17.解析:
解法一:
(I)在直四棱柱中,
底面
是在平面上的射影.,……2分
……4分
(II)连结
与(I)同理可证……6分
为二面角的平面角.……7分
……8分
又且……9分
……11分
在中,……12分
即二面角的大小为……13分
解法二:
(I)同解法一.(II),以D为坐标原点,所
在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,……5分
连结与(I)同理可证,……7分
为二面角的平面角.……8分
……9分
得……10分
……12分
二面角的大小为.……13分
18解.
(1)由.
当时,,解得或(舍去).……2分
当时,
由,……………4分
∵,∴,则,……………5分
∴是首项为2,公差为2的等差数列,故.……………6分
另法:
易得,猜想,再用数学归纳法证明(略).
(2)由,得,……………7分
设,则不等式等价于.……………8分
,……10分
∵,∴,数列单调递增.………………11分
假设存在这样的实数,使得不等式对一切都成立,则
①当为奇数时,得;……11分……………12分
②当为偶数时,得,即.……13分
综上,,由是非零整数,知存在满足条件.……14分
19
(1)解 由题意,知=,所以a2=2b2.……1分
又2=2b,得b=1.……2分
所以曲线C2的方程:
y=x2-1,椭圆C1的方程:
+y2=1.……3分
(2)证明 设直线AB:
y=kx,A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意,知M(0,-1).
则⇒x2-kx-1=0,……4分
解得x1=,x2=,……5分
则x1·x2=-1,x1+x2=k,
·=(x1,y1+1)·(x2,y2+1)
=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1
=-(1+k2)+k2+1=0,
所以MA⊥MB.……7分
(3)解 设直线MA的方程:
y=k1x-1,直线MB的方程:
y=k2x-1,……8分
由
(2)知k1k2=-1,M(0,-1),
由解得或……9分
所以A(k1,k-1).
同理,可得B(k2,k-1).……10分
故S1=|MA|·|MB|=·|k1||k2|.
由解得或
所以D(,).
同理,可得E(,).……11分
故S2=|MD|·|ME|
=·,
=λ==≥,……13分
则λ的取值范围是[,+∞).……14分
20解:
(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=ex-a.……1分
当a≤0时,f′(x)>0,所以f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增;
……………………………………3分
当a>0时,若x∈(-∞,lna),则f′(x)<0,若x∈(lna,+∞),则f′(x)>0,
所以f(x)在区间(-∞,lna)上单调递减,在区间(lna,+∞)上单调递增.
……………………………………5分
综上可知,当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);当a>0时,f(x)的单调递减区间为(-∞,lna),单调递增区间为(lna,+∞)
……………………………………6分
(2)由于a=1,
所以(x-k)f′(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1.
设g(x)=(x-k)(ex-1)+x+1,则g′(x)=ex(x-k+1).
……………………………………7分
(i)若k≤1,则当x>0时,g′(x)>0,所以g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,而g(0)=1,
故当x>0时,g(x)>1>0,即有(x-k)f′(x)+x+1>0恒成立.
……………………………………9分
(ii)若k>1,则当x∈(0,k-1)时,g′(x)<0;当x∈(k-1,+∞)时,g′(x)>0.
所以g(x)在区间(0,+∞)内的最小值为g(k-1)=k-ek-1+1.
……………………………………11分
令h(k)=k-ek-1+1,则h′(k)=1-ek-1,因为k>1,所以h′(k)<0,故h(k)在区间(1,+∞)上单调递减.而h
(2)>0,h(3)<0,所以当1<k≤2时,h(k)>0,即g(k-1)>0,从而当x>0时,g(x)>0,即(x-k)f′(x)+x+1>0恒成立;当k≥3时,h(k)<0,即g(k-1)<0,故g(x)>0在区间(0,+∞)内不恒成立.
……………………………………13分
综上所述,整数k的最大值为2……………………………………14分
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