福建省莆田市中考数学试题含答案word版.docx
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福建省莆田市中考数学试题含答案word版
莆田市2020年初中毕业(升学)考试试卷
数学
试题
(满分:
150分;考试时间:
120分钟)
一、精心选一选:
本大题共10小题,每小题4分,共40分.每小题给出的四个选项中有且
只有一个选项是符合题目要求的.答对的得4分,答错、不答或答案超过一个的一律得0分.
1
1.的绝对值为
2
11
A.B.C.2D.-2
22
2.下列运算正确的是
A.3a-a=2B.a·a2=a3C.a6÷a3=a2D.(a2)3=a5
3.一组数据3,3,4,6,8,9的中位数是
A.4B.5C.5.5D.6
4.图中三视图对应的几何体是
5.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是
A.对边相等B.对角相等
C.对角线互相平分D.对角线互相垂直
6.如图,OP是∠AOB的平分线,点C,D分别在角的两边OA,OB上,添加下列条件,不能判定△POC≌△POD的选项是
A.PC⊥OA,PD⊥OBB.OC=OD
C.∠OPC=∠OPDD.PC=PD
7.关于x的一元二次方程x2+ax-1=0的根的情况是
A.没有实数根B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根
8.规定:
在平面内,将一个图形绕着某一点旋转一定的角度(小于周角)后能和自身重合,
则称此图形为旋转对称图形.下列图形中是旋转对称图形,且有一个旋转角是60°的是
A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正十边形
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,将△ABC折叠,使点A落在BC边上的点D处,EF为折痕,若AE=3,则sin∠BFD的值为
1
2
2
2
3
A.
B.
C.
4
D.
3
3
5
10.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,2),在x轴上任取一点M,完成以下作图步骤:
①连接AM,作线段AM的垂直平分线l1,过点M作x轴的垂线l2,记l1,l2的交点为P;
②在x轴上多次改变点M的位置,用①的方法得到相应的点P,把这些点用平滑的曲线顺
次连接起来,得到的曲线是
A.直线B.抛物线C.双曲线D.双曲线的一支
二、细心填一填:
本大题共
6小题,每小题4分,共
24分.
11.
莆田市海岸线蜿蜒曲折,
长达217000米.用科学记数法表示
217000为______________.
12.
在平面直角坐标系中,点
P(-1,2)向右平移
3个单位长度得到的点的坐标是
______________.
13.已知直线a∥b,一块直角三角板ABC按如图所示放置,若∠1=37°,则∠2=
_______________.
14.在大课间活动中,同学们积极参加体育锻炼.小红在全校随机抽取一部分同学就“一分
钟跳绳”进行测试,并以测试数据为样本绘制如图所示的部分频数分布直方图(从左到右依次分为六个小组,每小组含最小值,不含最大值)和扇形统计图.若“一分钟跳绳”次数不低于130次的成绩为优秀,全校共有1200名学生,根据图中提供的信息,估计该校学生“一分钟跳绳”成绩优秀的人数为_____________人.
15.如图,
CD
为⊙
O
的弦,直径
AB
为
4,AB⊥CD
于
E,∠A=30°,则
的长为
_____________(结果保留π)
.
16.魏朝时期,刘徽利用下图通过“以盈补虚,出入相补”的方法,即“勾自乘为朱方,股
自乘为青方,令出入相补,各从其类”,证明了勾股定理.若图中BF=1,CF=2,则AE的
长为__________.
三、耐心做一做:
本大题共10小题,共86分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
1
17.(8分)计算:
2316
3
0
.
18.(8分)先化简,再求值:
x
2
x
1
1
,其中x=-1.
x
2
x2
4
x
2
x
3x-2)
4,
19.(8分)解不等式组:
1
2x
1.
x
3
20.(8分)小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图1,图2是晒衣架的侧面示意图,A,B
两点立于地面,将晒衣架稳固张开,测得张角∠AOB=62°,立杆OA=OB=140cm.小梅
的连衣裙穿在衣架后的总长度为122cm,问将这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖落到地
面?
请通过计算说明理由.
(参考数据:
sin59°=0.86,cos59°=0.52,tan59°=1.66)
21.(8分)在一次数学文化课题活动中,把一副数学文化创意扑克牌中的4张扑克牌(如
图所示)洗匀后正面向下放在桌面上,从中随机抽取2张牌.请你用列表或画树状图的方法,求抽取的2张牌的数字之和为偶数的概率.
22.(8分)甲车从A地驶往B地,同时乙车从B地驶往A地,两车相向而行,匀速行驶.
甲车距B地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示,乙车的速度是60
km/h.
(1)(3分)求甲车的速度;
(2)(5分)当甲乙两车相遇后,乙车速度变为a(km/h),并保持匀速行驶,甲车保持不变,结果乙车比甲车晚38分钟到达终点,求a的值.
23.(8分)如图,在□ABCD中,∠BAC=90°,对角线AC,BD相交于点P,以AB为直径的⊙O分别交BC,BD于点E,Q,连接EP并延长交AD于点F.
(1)(4分)求证:
EF是⊙O的切线;
(2)(4分)求证:
EF2=4BP·QP.
24.(8分)如图,反比例函数y
k
y=x交于点M,∠AMB=90°,
(x>0)的图像与直线
x
其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点
A,B,四边形OAMB的面积为6.
(1)(3分)求k的值;
k
(2)(5分)若点P在反比例函数y
x
(x>0)的图像上,若点P的横坐标为3,∠EPF=
90°,其两边分别与x轴的正半轴,直线y=x交于点E,F.问是否存在点E,使得PE=PF?
若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
25.(10分)若正方形的两个相邻顶点在三角形的同一条边上,其余两个顶点
分别在三角形
的另两条边上,则正方形称为三角形该边上的内接正方形
.△ABC中,设BC=a,AC=b,
AB=c,各边上的高分别记为
h,h,h,各边上的内接正方形的边长分别记为
x,x,x
.
ab
c
abc
(1)(3分)模型探究:
如图,正方形
EFGH为△ABC边BC上的内接正方形.
求证:
1
1
1
;
a
ha
xa
(2)(3分)特殊应用:
若∠BAC=90°,xb=xc=2,求
1
1
b
的值;
c
(3)(4分)拓展延伸:
若△ABC为锐角三角形,b<c,请你判断xb与xc的大小,并说明理由.
26.(12分)如图,抛物线C1:
y
3x2
23x的顶点为A,与x轴的正半轴交于点
B.
(1)(3分)将抛物线C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的
2倍,求变换后得到的
抛物线的解析式;
(2)将抛物线C1上的点(x,y)变为(kx,ky)(|k|>1),变换后得到的抛物线记作
C2.
抛物线C
△PAC△ABC
2的顶点为C,点P在抛物线C2上,满足S=S,且∠ACP=90°.
①(7
分)当k>1时,求k的值;
②(2
分)当k<-1时,请你直接写出
k的值,不必说明理由.
参考答案及评分标准:
一、精心选一选:
本大题共
10小题,每小题
4分,共40分.每小题给出的四个选项中有且
只有一个选项是符合题目要求的
.答对的得4分,答错、不答或答案超过一个的一律得
0分.
1.A
2.B
3.B
4.C
5.D
6.D
7.D
8.C
9.A10.B
二、细心填一填:
本大题共
6小题,每小题
4分,共
24分.
11.2.17×105
12.(2,2)
13.53°14.480
15.
2π
16.3
10
3
三、耐心做一做:
本大题共
10小题,共86分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤.
17.解:
原式=3
2
4
1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6分
=
2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8分
,1
0
(注:
233
2
,
16
4
1,每个各2分)
3
x
2
x
1
(x
2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
18.解:
原式=
2
(x
2)(x
x
2)
=x
2
x
1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
x
2
x
2
=
3
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6分
x
2
3
当x=-1
时,原式=
1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8分
1
2
19.解:
由①得:
x
3x
6
4
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1分
2x
2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
x
1
3分
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
由②得:
1
2x
3x
3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4
分
x
4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5分
x
4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6分
∴原不等式组的解集为
x1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8
分
20.解:
如图,过
O作OE⊥AB于E.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
∵OA=OB,∠AOB=62°,
∴∠A=∠B=59°.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3分
在Rt△AEO中,OE=OA·sinA=140·sin59°
≈140×0.86=120.4.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6分
∵120.4<122,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∴这件连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面.⋯⋯⋯⋯⋯⋯21.解:
7分
8分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
由树状图可知,所有可能出现的结果共有
12种,它们出现的可能性相等,抽取的
2张牌的
数字之和为偶数的有
4种.
P(抽取的2张牌的数字之和为偶数)
4
1
8分
=
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12
3
22.解:
(1)V甲=
280
120
3分
2
80(km/h).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
(2)相遇时间:
280
2
(h).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
60
80
依题意得:
602
38
80
2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7分
80
60
a
解得a=75.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8分
经检验得a=75是原分式方程的解.
23.证明:
(1)如图,连接
AE,OE.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=∠AEC=90°.⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1分
在□ABCD中,PA=PC.
∴PA=PC=PE.
∴∠PAE=∠PEA.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
∴∠OEP=∠OAC=90°.
∴EF是⊙O的切线.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
(2)连接AQ.
在Rt△ABP中,∵∠AQB=90°,
∴△APQ∽△BPA.
∴PA2=BP·QP.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6分
∵∠PAF=∠PCE,∠APF=∠CPE,PA=PC,
∴△AFP≌△CEP.
∴PF=PE=PA.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7分
∴EF2=4BP·QP.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8分
24.解:
(1)如图1,过M作MC⊥x轴于C,MD⊥y轴于D.则
∠MCA=∠MDB=90°,∠AMC=∠BMD,MC=MD.
∴△AMC≌△BMD.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1分
∴S四边形AMBO=S四边形CMDO=6.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
∴k=6.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3分
(2)依题意得P(3,2).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
情况1:
如图2,过P作PG⊥x轴于G,过F作FH⊥PG于H,交y轴于K.
∵∠PGE=∠PHF=90°,∠EPG=∠PFH,PE=PF,
∴△PEG≌△FPH.
∴PG=FH=2,FK=OK=3-2=1,PH=GE=1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5分
∴E(4,0).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6分
情况2:
如图3,同理可得E(6,0).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8分
25.解:
(1)在正方形EFGH中.
∵EH∥FG,∴△AEH∽△ABC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1分
∵AD⊥BC,∴EH
AK.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
BC
AD
xa
haxa
.
∴
1
1
1
∴
ha
a
ha
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
a
xa
(2)方法一:
由(
1)得:
1
1
1
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
b
hb
xb
∵∠A=90°,∴hb
c.∴
1
1
1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
b
c
2
方法二:
如图,∵
FE∥AB,
∴△CEF∽△CBA.∴FE
CF.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
AB
CA
∵xb=xc=2,∴AF=EF=2,CF=b-2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5分
∴b2
2.∴1
1
1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6分
b
c
b
c
2
(3)xb>xc.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7分
证明:
由
(1)得:
1
1
1
,
1
1
1
.
b
hb
xb
c
hc
xc
∴xb
bhb
,xc
chc
.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
⋯⋯8分
c
hc
bhb
∵=1
bhb
1
chc=2S.
S
chc,∴bhb
2
2
又∵hb
c
sinA,hcb
sinA,
∴
1
1
bhb
(c
xc)
b
csinA
(c
bsinA)(bc)(1
sinA)
xb
xc
2S
2S
.⋯⋯⋯9
2S
分
∵b<c,sinA<1,
∴1
1
0.∴xb
c
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10分
xb
xc
>x.
26.解:
(1)∵y
3x2
2
3x
3(x
1)2
3,
∴抛物线C1经过原点
O,A(1,
3)和B(2,0)三点.⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1分
∴变换后得到的抛物线经过原点O,(2,23)和(4,0)三点.⋯⋯⋯⋯2分
∴变换后得到的抛物线的解析式为
y
3x2
2
3x.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3分
2
(2)①当k>1时,∵抛物线
C2
经过原点O,(k,
3k)和(2k,0)三点.
∴抛物线C2的解析式为y
3x2
2
3x.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5分
k
∴O,A,C三点共线,且顶点
C为(k,
3k).
解法一:
如图
1,∵S△=S△
,∴BP∥AC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6分
PAC
ABC
过点P作PD⊥x轴于D,过B作BE⊥AO于E.
依题意得△ABO是边长为
2的正三角形,四边形
CEBP是矩形.
∴OE=1,CE=BP=2k-1.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7分
1
3
(2k1).
∴BD=k
,PD=
2
2
∴P(k
3
,
3
1)).
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
(2k
2
2
∴
3
1)
3
3
)
2
3
9
10分
(2k
(k
23(k
).解得k=.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3
k
2
2
2
解法二:
如图
2,过点
C作MN∥x轴,交y轴于M,过点P作PN⊥MN于N,过B作BE
⊥AO于E.
∵△PAC=△ABC,∴PC=BE=
3
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
SS
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