初一数学三角形压轴大题.docx
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初一数学三角形压轴大题
几何压轴题大全
1.(2008•延庆县二模)
(1)如图所示,BD,CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F,G,连接FG,延长AF,AG,与直线BC分别交于点M、N,那么线段FG与△ABC的周长之间存在的数量关系是什么?
即:
FG=______(AB+BC+AC)
(直接写出结果即可)
(2)如图,若BD,CE分别是△ABC的内角平分线;其他条件不变,线段FG与△ABC三边之间又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并给予证明.
(3)如图,若BD为△ABC的内角平分线,CE为△ABC的外角平分线,其他条件不变,线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?
直接写出你的猜想即可.不需要证明.答:
线段FG与△ABC三边之间数量关系是______.
2..(2011•如东县模拟)路边有一根电线杆AB和一块正方形广告牌.有一天,小明突然发现,在太阳光照射下,电线杆顶端A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点G处,而正方形广告牌的影子刚好落在地面上E点(如图),已知BC=5米,正方形边长为3米,DE=4米.
(1)求电线杆落在广告牌上的影长.
(2)求电线杆的高度(精确到0.1米).
3.(2009•哈尔滨)已知:
△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F.
(1)如图1,若△ABC为锐角三角形,且∠ABC=45°,过点F作FG∥BC,交直线AB于点G,求证:
FG+DC=AD;
(2)如图2,若∠ABC=135°,过点F作FG∥BC,交直线AB于点G,则FG、DC、AD之间满足的数量关系是______;
(3)在
(2)的条件下,若AG=5,求线段PQ的长.
4.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从点A出发,沿边AD向点D以1cm/s的速度移动,点Q从点C出发沿边CB向点B以2cm/s的速度移动,若P、Q同时出发,且有一点运动端点时,另一点也随之停止.
(1)经过几秒后四边形PQCD为平行四边形;
(2)在P、Q的运动过程中,是否存在某一时刻使四边形PQCD成为等腰梯形?
如果存在,求经过几秒后;如果不存在,请说明理由.
5.(2013•长沙)如图,在▱ABCD中,M、N分别是AD,BC的中点,∠AND=90°,连接CM交DN于点O.
(1)求证:
△ABN≌△CDM;
(2)过点C作CE⊥MN于点E,交DN于点P,若PE=1,∠1=∠2,求AN的长.
6..将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15°得到长方形AMNH(如图),这时BD与MN相交于点O.
(1)求∠DOM的度数;
(2)在图中,求D、N两点间的距离;
(3)若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ,请问此时点B在矩形ARTZ的内部、外部、还是边上?
并说明理由.
7.(2012•南宁)如图,已知矩形纸片ABCD,AD=2,AB=4.将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O.
(1)如图1,求证:
A,G,E,F四点围成的四边形是菱形;
(2)如图2,当△AED的外接圆与BC相切于点N时,求证:
点N是线段BC的中点;
(3)如图2,在
(2)的条件下,求折痕FG的长.
8.(2012•鄂尔多斯)已知,如图在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC,连AG.
(1)求证:
FC=BE;
(2)若AD=DC=2,求AG的长.
9.(2012•东营)
(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.求证:
CE=CF;
(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果∠GCE=45°,请你利用
(1)的结论证明:
GE=BE+GD.
(3)运用
(1)
(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面积.
10.(2011•衢州)△ABC是一张等腰直角三角形纸板,∠C=90°,AC=BC=2,
(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种剪法(如图1),比较甲、乙两种剪法,哪种剪法所得的正方形面积大?
请说明理由.
(2)图1中甲种剪法称为第1次剪取,记所得正方形面积为s1;按照甲种剪法,在余下的△ADE和△BDF中,分别剪取正方形,得到两个相同的正方形,称为第2次剪取,并记这两个正方形面积和为s2(如图2),则s2=______;再在余下的四个三角形中,用同样方法分别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第3次剪取,并记这四个正方形面积和为s3,继续操作下去…,则第10次剪取时,s10=______;
(3)求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积之和.
11.(2012•崇左)如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上移动,但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等,问在E、F移动过程中:
(1)∠EAF的大小是否有变化?
请说明理由.
(2)△ECF的周长是否有变化?
请说明理由.
12.(2011•齐齐哈尔)在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EF⊥AB交BD于点F,取FD的中点G,连接EG、CG,如图
(1),易证EG=CG且EG⊥CG.
(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°,如图
(2),则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?
请直接写出你的猜想.
(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°,如图(3),则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?
请写出你的猜想,并加以证明.
13.(2011•鞍山)已知如图,D是△ABC中AB边上的中点,△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形,连接DE、DF.
求证:
DE=DF.
14.(2010•遵义)如图1,在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=CD;∠ACB=∠DCE=90°,AB与CE交于F,ED与AB,BC,分别交于M,H.
(1)求证:
CF=CH;
(2)如图2,△ABC不动,将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时,试判断四边形ACDM是什么四边形?
并证明你的结论.
15.(2010•湘潭)Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30°、60°角的三角板,按如图
(一)所示拼在一起,CB与DE重合.
(1)求证:
四边形ABFC为平行四边形;
(2)取BC中点O,将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图
(二)中△A′B′C′位置,直线B'C'与AB、CF分别相交于P、Q两点,猜想OQ、OP长度的大小关系,并证明你的猜想;
(3)在
(2)的条件下,指出当旋转角至少为多少度时,四边形PCQB为菱形?
(不要求证明)
16.(2010•沈阳)如图1,在△ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若点B,P在直线a的异侧,BM⊥直线a于点M.CN⊥直线a于点N,连接PM,PN.
(1)延长MP交CN于点E(如图2).
①求证:
△BPM≌△CPE;
②求证:
PM=PN;
(2)若直线a绕点A旋转到图3的位置时,点B,P在直线a的同侧,其它条件不变,此时PM=PN还成立吗?
若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时,其它条件不变,请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗?
不必说明理由.
17.(2010•淄博)已知:
如图,E为正方形ABCD的边BC延长线上的点,F是CD边上一点,且CE=CF,连接DE,BF.求证:
DE=BF.
19.(2010•仙桃)正方形ABCD中,点O是对角线DB的中点,点P是DB所在直线上的一个动点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.
(1)当点P与点O重合时(如图①),猜测AP与EF的数量及位置关系,并证明你的结论;
(2)当点P在线段DB上(不与点D、O、B重合)时(如图②),探究
(1)中的结论是否成立?
若成立���写出证明过程;若不成立,请说明理由;
(3)当点P在DB的长延长线上时,请将图③补充完整,并判断
(1)中的结论是否成立?
若成立,直接写出结论;若不成立,请写出相应的结论.
20.(2010•潼南县)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点G是BC延长线上一点,连接AG,点E、F分别在AG上,连接BE、DF,∠1=∠2,∠3=∠4.
(1)证明:
△ABE≌△DAF;
(2)若∠AGB=30°,求EF的长.
21.(2010•无锡)
(1)如图1,在正方形ABCD中,M是BC边(不含端点B、C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠DCP的平分线上一点.若∠AMN=90°,求证:
AM=MN.
下面给出一种证明的思路,你可以按这一思路证明,也可以选择另外的方法证明.
证明:
在边AB上截取AE=MC,连接ME.正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC.∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE.
(下面请你完成余下的证明过程)
(2)若将
(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”(如图2),N是∠ACP的平分线上一点,则∠AMN=60°时,结论AM=MN是否还成立?
请说明理由.
(3)若将
(1)中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X,请你作出猜想:
当∠AMN=______时,结论AM=MN仍然成立.(直接写出答案,不需要证明)
22.(2010•盘锦)如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F.
(1)若点D是BC边的中点(如图①),求证:
EF=CD;
(2)在
(1)的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比;
(3)若点D是BC边上的任意一点(除B、C外如图②),那么
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
22.(2010•青岛)已知:
如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC和CD上,AE=AF.
(1)求证:
BE=DF;
(2)连接AC交EF于点O,延长OC至点M,使OM=OA,连接EM,FM,判断四边形AEMF是什么特殊四边形?
并证明你的结论.
23.(2010•乐山)在△ABC中,D为BC的中点,O为AD的中点,直线l过点O.过A、B、C三点分别做直线l的垂线,垂足分别是G、E、F,设AG=h1,BE=h2,CF=h3.
(1)如图所示,当直线l⊥AD时(此时点G与点O重合).求证:
h2+h3=2h1;
(2)将直线l绕点O旋转,使得l与AD不垂直.
①如图所示,当点B、C在直线l的同侧时,猜想
(1)中的结论是否成立,请说明你的理由;
②如图所示,当点B、C在直线l的异侧时,猜想h1、h2、h3满足什么关系.(只需写出关系,不要求说明理由)
6.(2010•宁夏)在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC于D,将△ABD沿AB所在的直线折叠,使点D落在点E处;将△ACD沿AC所在的直线折叠,使点D落在点F处,分别延长EB、FC使其交于点M.
(1)判断四边形AEMF的形状,并给予证明;
(2)若BD=1,CD=2,试求四边形AEMF的面积.
7.(2010•绍兴)
(1)如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD上,AE、BF交于点O,∠AOF=90°.求证:
BE=CF.
(2)如图2,在正方形ABCD中,点E、H、F、G分别在边AB、BC、CD、DA上,
EF、GH交于点O,∠FOH=90°,EF=4.求GH的长.
(3)已知点E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上,EF、GH交于点O,∠FOH=90°,EF=4.直接写出下列两题的答案:
①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,则GH=______;
②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,则GH=______(用n的代数式表示).
8.(2010•吉林)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AE⊥BC于点E.DF⊥BC于点F.AD=2cm,BC=6cm,AE=4cm.点P、Q分别在线段AE、DF上,顺次连接B、P、Q、C,线段BP、PQ、QC、CB所围成的封闭图形记为M,若点P在线段AE上运动时,点Q也随之在线段DF上运动,使图形M的形状发生改变,但面积始终为10cm2,设EP=xcm,FQ=ycm.解答下列问题:
(1)直接写出当x=3时y的值;
(2)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)当x取何值时,图形M成为等腰梯形?
图形M成为三角形?
(4)直接写出线段PQ在运动过程中所能扫过的区域的面积.
10.(2010•密云县)
(1)观察与发现:
小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展开纸片(如图①);在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片,使点A和点D重合,折痕为EF,展平纸片后得到△AEF(如图②).小明认为△AEF是等腰三角形,你同意吗?
请说明理由.
(2)实践与运用:
将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC边上的点F处,折痕为BE(如图③);再沿过点E的直线折叠,使点D落在BE上的点D′处,折痕为EG(如图④);再展平纸片(如图⑤).求图⑤中∠α的大小.
1.(2008•桂林)正方形ABCD的边长为4,BE∥AC交DC的延长线于E.
(1)如图1,连接AE,求△AED的面积.
(2)如图2,设P为BE上(异于B、E两点)的一动点,连接AP、CP,请判断四边形APCD的面积与正方形ABCD的面积有怎样的大小关系?
并说明理由.
(3)如图3,在点P的运动过程中,过P作PF⊥BC交AC于F,将正方形ABCD折叠,使点D与点F重合,其折线MN与PF的延长线交于点Q,以正方形的BC、BA为x轴、y轴建立平面直角坐标系,设点Q的坐标为(x,y),求y与x之间的函数关系式.
2.(2008•淄博)正方形ABCD的对角线交点为O,两条对角线把它分成了四个面积相等的三角形.
(1)平行四边形ABCD的两条对角线交点为O,若△AOB,△BOC,△COD,△DOA面积分别为S1,S2,S3,S4,试判断S1,S2,S3,S4的关系,并加以证明;
(2)四边形ABCD的两条对角线互相垂直,交点为O,若△AOB,△BOC,△COD,△DOA面积分别为S1,S2,S3,S4,试判断S1,S2,S3,S4的关系,并加以证明;
(3)四边形ABCD的两条对角线交点为O,若△AOB,△BOC,△COD,△DOA面积分别为S1,S2,S3,S4,试判断S1,S2,S3,S4的关系,并加以证明;
(4)四边形ABCD的两条对角线相等,交点为O,∠BAC=∠BDC,若△AOB,△BOC,△COD,△DOA面积分别为S1,S2,S3,S4,试只用S1,S3或只用S2,S4表示四边形ABCD的面积S.
4.(2007•永州)在梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=5,BC=10,tan∠ADC=2.
(1)求DC的长;
(2)E为梯形内一点,F为梯形外一点,若BF=DE,∠FBC=∠CDE,试判断△ECF的形状,并说明理由.
(3)在
(2)的条件下,若BE⊥EC,BE:
EC=4:
3,求DE的长.
6.(2007•河北)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=50,AD=75,BC=135.点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动;点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动,过点Q向上作射线QK⊥BC,交折线段CD-DA-AB于点E.点P、Q同时开始运动,当点P与点C重合时停止运动,点Q也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)当点P到达终点C时,求t的值,并指出此时BQ的长;
(2)当点P运动到AD上时,t为何值能使PQ∥DC;
(3)设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S,分别求出点E运动到CD、DA上时,S与t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)
(4)△PQE能否成为直角三角形?
若能,写出t的取值范围;若不能,请说明理由.
7.(2008•大庆)如图①,四边形AEFG和ABCD都是正方形,它们的边长分别为a,b(b≥2a),且点F在AD上(以下问题的结果均可用a,b的代数式表示).
(1)求S△DBF;
(2)把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②,求图②中的S△DBF;
(3)把正方形AEFG绕点A旋转一周,在旋转的过程中,S△DBF是否存在最大值、最小值?
如果存在,直接写出最大值、最小值;如果不存在,请说明理由.
8.(2010•本溪)我们给出如下定义:
若一个四边形的两条对角线相等,则称这个四边形为等对角线四边形.请解答下列问题:
(1)写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称;
(2)探究:
当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时,这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系,并证明你的结论.
9.(2008•南平)
(1)如图1,图2,图3,在△ABC中,分别以AB,AC为边,向△ABC外作正三角形,正四边形,正五边形,BE,CD相交于点O.
①如图1,求证:
△ABE≌△ADC;
②探究:
如图1,∠BOC=______;
如图2,∠BOC=______;
如图3,∠BOC=______;
(2)如图4,已知:
AB,AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边;AC,AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边,BE,CD的延长相交于点O.
①猜想:
如图4,∠BOC=360÷n(用含n的式子表示);
②根据图4证明你的猜想.
10.(2012•河东区二模)已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)求证:
EG=CG;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问
(1)中的结论是否仍然成立?
通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).
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