函数一致连续性的判断及应用毕业论文.doc
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题目:
函数一致连续性的判断及应用
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论文题目:
函数一致连续性的判断及应用
作者单位:
数学与统计学院
作者签名:
2014年5月17日
目录
摘要 1
引言 2
1.函数连续与函数一致连续的关系 3
1.1函数连续性与函数一致连续性的区别 3
1.2函数连续性与函数一致连续性的联系 5
2.一元函数一致连续的判断和应用 6
2.1一元函数在有限区间上的一致连续性 6
2.2一元函数在无限区间上的一致连续性 8
2.3一元函数在任意区间上的一致连续性 10
3.二元函数一致连续性 15
3.1二元函数一致连续的概念 15
3.2二元函数的一致连续性的判断及应用 15
结束语 16
参考文献 16
致谢 18
周口师范学院本科毕业论文(设计)
函数一致连续性的判断与应用
摘要:
本文从函数连续和一致连续的概念和关系出发,对函数的一致连续的定义进行了深入的分析,之后主要对一元函数在不同类型的区间进行了探讨、总结和应用,还将部分一元函数的一致连续的判定方法推广到二元函数,使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识.
关键词:
连续;一致连续;连续函数
ThejudgmentandApplicationofUniformlyContinuousFunction
Abstract:
Thisarticlefromtheconceptofuniformlycontinuousfunctioniscontinuousandrelation.thedefinitionofuniformlycontinuousoffunctioncarriedonthethoroughanalysis,thenweresearchthemethodsofdecisionsofuniformlycontinuousfunctionindifferentkindsofintervals.Moreover,weextendsomeoftheresultstofunctionoftwovariablesindifferentregion.
Keywords:
Continuity;UniformlyContinuity;ContinuityFunction
引言
函数一致连续性是数学分析的一个重要概念,理解函数的一致连续性的概念和熟练掌握判断函数一致连续的方法是学好这一理论的关键.函数一致连续不仅仅是闭区间上连续函数黎曼可积的基础,而且与以后的含参量积分、函数项积分等概念有着密切的联系.所以,找出函数一致连续性的条件是数学分析中的一个重要内容.因此,本文探讨了函数一致连续性的判定方法,基本性质及其应用,并且对函数一致连续性的判定方法,基本性质及各个应用进行了深入研究,目的是使读者能更好的掌握函数的一致连续性.使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识.
数学概念对数学的发展是不可估量的,函数的概念对于数学发展的影响,可以说是贯穿古今.函数概念的发展历史,不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度,而且能帮助我们领悟数学概念及数学的学习有很大帮助.17世纪中叶,笛卡尔引入变数的概念,制定了解析几何学,从而打破了局限于方程的未知数的理解;19世纪中期,法国数学家黎曼吸收了莱布尼茨,达郎贝尔和欧拉的成果,第一次提出了函数的定义;随后,牛顿,莱布尼茨分别独立的建立了微分学说.这期间,随着数学的发展,各种函数大量出现,但函数还没有给出一个一般的定义.国内的主要理论成书于十九世纪.它逐步形成一门逻辑严密,系统完整的学科,而且在各个方面获得了十分广泛的应用,成为处理有关连续量基础的强有力的工具.
文献1,2,5作为论文的基础,主要是参考了函数一致连续的概念和几个基本的判别方法。
文献3,4,6主要从例题的角度给出大量判断函数一致连续和非一致连续的判别方法。
文献7讨论了函数一致连续的几个充分条件。
文献8就几种特殊函数的一致连续性进行了详细的探讨,得到了满足Lipchitz条件的函数,周期函数等一些特殊函数的一致连续性的判别方法。
文献9讨论了函数一致连续性的几个判别方法,比如康拓定理以及定义在不同区间上的函数一致连续性的判别方法。
文献10讨论了二元函数的一致连续性的概念及一些判别方法。
1.函数连续与函数一致连续的关系
1.1函数连续与函数一致连续的区别
1.1.1函数连续的局部性
定义1函数在某内有定义,对于,,使得当时,有,那么称函数在点处连续.
这里不仅和有关,而且还和点有关,即对于不同的,一般来说是不同的.这样是不是意味着在点的邻域内连续呢?
或者说它的图象在此邻域上连绵不断呢?
答案是否定的,如函数只在连续;函数仅在两点连续;又如函数
容易证明这个函数在任意点是连续的.
上面的例子表明“连续”仅仅是一个局部概念,而不能从字面意思去理解在点连续.当且仅当在的邻域内每一点都连续,才能说在的邻域内连续.因此,函数在点处连续的定义不能完全反映“连续”二字的本意,这的确是个遗憾.但是,如果在连续点处函数值,那么上述例外情形就不会发生了.有如下定理:
定理1设在连续,且,则一定存在的某个邻域,使在此邻域内连续.
证明因在点连续,即,都有
现对,由上式显然有
又,当充分小时,由局部保号性有
>>0,
即,从而有
可见在连续,由的任意性,知在的邻域内连续.
因此,函数的连续性是一种按点而言的连续性,它仅仅反映的是函数在区间上一点附近的局部性质,而不能判断在某一区间上的整体性质.
1.1.2函数一致连续的整体性
定义2设函数在区间上有定义,若对,,,只要,就有
则称函数在区间上一致连续.
⑴定义中的“一致”指的是什么意思呢?
与函数在区间上连续的定义进行比较,不难发现,在函数连续定义中的,不仅仅依赖于,还依赖于点在区间中的位置,即.而在上一致连续是指,存在这样的它只与有关而与在区间中的位置无关,即.可以说,如果函数在区间上连续,即对于任意给定的正数,对上的每一点,都能分别找到相应的正数,使得对上的任意一点,只要,就有,其中;而对于函数的一致连续性来说,对于同一个而言,当在上变动时,的大小不变,即仅仅依赖于.可见,“一致”指的是存在在I上所有点的公共,与有关,与无关.
⑵函数一致连续的实质是指当在这个区间的任意两点越靠近,它们对应函数值差的绝对值就越小.更直观的是说,可以任意小,即对于任意的,只要时,就有.
这里可能会产生这样的疑问:
既然对中每一个点都能找出相应的,那么取这些的最小者或者是下确界作为正数,不就使其与点无关了吗?
事实上,这不一定能办到.因为区间中有无穷多个点,从而也对应着无穷多个正数,这无穷多个正数却未必有最小的正数或下确界.
所以,在区间上一致连续反映出在上各点的“连续”程度是否步调“一致”这样一个整体的性质.
1.2函数连续性与函数一致连续性的联系
定理2函数在区间上一致连续,则在上连续.
这个定理显然成立,只须将其中的一个点(或)固定即可,但是在上连续,函数在区间上却不一致连续.
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