江苏省苏北三市届高三上学期期末考试数学Word版含答案.docx
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江苏省苏北三市届高三上学期期末考试数学Word版含答案
2019届高三模拟考试试卷
数 学
(满分160分,考试时间120分钟)
2019.1
参考公式:
样本数据x1,x2,…,xn的方差
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.已知集合A={0,1,2,3},B={x|0 2.已知复数z=(2-i)2(i是虚数单位),则z的模为 W. 3.已知一组样本数据5,4,x,3,6的平均数为5,则该组数据的方差为 W. 4.运行如图所示的伪代码,则输出的结果S为 W. I←1 WhileI<8 I←I+2 S←2I+3 EndWhile PrintS (第4题) 5.若从2,3,6三个数中任取一个数记为a,再从剩余的两个数中任取一个数记为b,则“是整数”的概率为 W. 6.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线x2-=1的右焦点重合,则实数p的值为 W. 7.在等差数列{an}中,若a5=,8a6+2a4=a2,则{an}的前6项和S6的值为 W. 8.已知正四棱锥的底面边长为2,高为1,则该正四棱锥的侧面积为 W. 9.已知a,b∈R,函数f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,则关于x的不等式f(2-x)>0的解集为 W. 10.已知a>0,b>0,且a+3b=-,则b的最大值为 W. 11.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,则以函数f(x)与g(x)的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为 W. 12.在△ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=60°,P为△ABC所在平面内一点,满足=+2,则·的值为 W. 13.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1: x2+y2+2mx-(4m+6)y-4=0(m∈R)与以C2(-2,3)为圆心的圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且满足x-x=y-y,则实数m的值为 W. 14.已知x>0,y>0,z>0,且x+y+z=6,则x3+y2+3z的最小值为 W. 二、解答题: 本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分) 在△ABC中,sinA=,A∈(,π). (1)求sin2A的值; (2)若sinB=,求cosC的值. 16.(本小题满分14分) 如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E,F分别是B1C1,AB,AA1的中点. (1)求证: EF∥平面A1BD; (2)若A1B1=A1C1,求证: 平面A1BD⊥平面BB1C1C. 17.(本小题满分14分) 如图,某公园内有两条道路AB,AP,现计划在AP上选择一点C,新建道路BC,并把△ABC所在的区域改造成绿化区域.已知∠BAC=,AB=2km. (1)若绿化区域△ABC的面积为1km2,求道路BC的长度; (2)若绿化区域△ABC改造成本为10万元/km2,新建道路BC成本为10万元/km.设∠ABC=θ(0<θ≤),当θ为何值时,该计划所需总费用最小? 18.(本小题满分16分) 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,且右焦点到右准线l的距离为1.过x轴上一点M(m,0)(m为常数,且m∈(0,2))的直线与椭圆C交于A,B两点,与l交于点P,D是弦AB的中点,直线OD与l交于点Q. (1)求椭圆C的标准方程; (2)试判断以PQ为直径的圆是否经过定点? 若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由. 19.(本小题满分16分) 已知函数f(x)=(x-a)lnx(a∈R). (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线的方程; (2)若对于任意的正数x,f(x)≥0恒成立,求实数a的值; (3)若函数f(x)存在两个极值点,求实数a的取值范围. 20.(本小题满分16分) 已知数列{an}满足对任意的n∈N*,都有an(qnan-1)+2qnanan+1=an+1(1-qnan+1),且an+1+an≠0,其中a1=2,q≠0.记Tn=a1+qa2+q2a3+…+qn-1an. (1)若q=1,求T2019的值; (2)设数列{bn}满足bn=(1+q)Tn-qnan. ①求数列{bn}的通项公式; ②若数列{cn}满足c1=1,且当n≥2时,cn=2bn-1-1,是否存在正整数k,t,使c1,ck-c1,ct-ck成等比数列? 若存在,求出所有k,t的值;若不存在,请说明理由. 2019届高三模拟考试试卷 数学附加题 (满分40分,考试时间30分钟) 21.【选做题】在A,B,C三小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.若多做,则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A.(选修42: 矩阵与变换) 已知矩阵A=,B=,求A-1B. B.(选修44: 坐标系与参数方程) 在极坐标系中,曲线C: ρ=2cosθ.以极点为坐标原点,极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系xOy,设过点A(3,0)的直线l与曲线C有且只有一个公共点,求直线l的斜率. C.(选修45: 不等式选讲) 已知函数f(x)=|x-1|. (1)解不等式f(x-1)+f(x+3)≥6; (2)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求证: f(ab)>|a|f(). 【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 22.如图,在三棱锥DABC中,DA⊥平面ABC,∠CAB=90°,且AC=AD=1,AB=2,E为BD的中点. (1)求异面直线AE与BC所成角的余弦值; (2)求二面角ACEB的余弦值. 23.已知数列{an}满足a1=,an+1=-2a+2an,n∈N*. (1)用数学归纳法证明: an∈(0,); (2)令bn=-an,求证: 2019届高三模拟考试试卷(五)(苏北三市) 数学参考答案及评分标准 1.{1,2} 2.5 3.2 4.21 5. 6.4 7. 8.8 9.(0,4) 10. 11. 12.-1 13.-6 14. 15.解: (1)由sinA=,A∈(,π),则cosA=-=-=-,(2分) 所以sin2A=2sinAcosA=2××(-)=-.(6分) (2)由A∈(,π),则B为锐角. 又sinB=,所以cosB===,(8分) 所以cosC=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB)(12分) =-(-×-×)=.(14分) 16.证明: (1)因为E,F分别是AB,AA1的中点,所以EF∥A1B.(3分) 因为EF⊄平面A1BD,A1B⊂平面A1BD, 所以EF∥平面A1BD.(6分) (2)在直三棱柱ABCA1B1C1中,BB1⊥平面A1B1C1. 因为A1D⊂平面A1B1C1,所以BB1⊥A1D.(8分) 因为A1B1=A1C1,且D是B1C1的中点, 所以A1D⊥B1C1.(10分) 因为BB1∩B1C1=B1,B1C1,BB1⊂平面BB1C1C, 所以A1D⊥平面BB1C1C.(12分) 因为A1D⊂平面A1BD, 所以平面A1BD⊥平面BB1C1C.(14分) 17.解: (1)在△ABC中,已知∠BAC=,AB=2km, 所以△ABC的面积S=×AB×AC×sin=1,解得AC=2.(2分) 在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2×AB×AC×cos =22+22-2×2×2×cos=8-4,(4分) 所以BC==-(km).(5分) (2)由∠ABC=θ,则∠ACB=π-(θ+),0<θ≤. 在△ABC中,∠BAC=,AB=2km,由正弦定理得==, 所以BC=,AC=.(7分) 记该计划所需费用为F(θ), 则F(θ)=××2××10+×10=(0<θ≤).(10分) 令f(θ)=,则f′(θ)=.(11分) 由f′(θ)=0,得θ=. 所以当θ∈(0,)时,f′(θ)<0,f(θ)单调递减; 当θ∈(,)时,f′(θ)>0,f(θ)单调递增.(12分) 所以当θ=时,该计划所需费用最小. 答: 当θ=时,该计划所需总费用最小.(14分) 18.解: (1)设椭圆的右焦点为(c,0),由题意,得解得 所以a2=2,b2=1,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(4分) (2)由题意,当直线AB的斜率不存在或为零时显然不符合题意. 设AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x-m). 又准线方程为x=2, 所以点P的坐标为P(2,k(2-m)).(6分) 由得x2+2k2(x-m)2=2, 即(1+2k2)x2-4k2mx+2k2m2-2=0, 所以xD=·=,yD=k(-m)=-,(8分) 所以kOD=-,从而直线OD的方程为y=-x, 所以点Q的坐标为Q(2,-),(10分) 所以以PQ为直径的圆的方程为(x-2)2+[y-k(2-m)](y+)=0, 即x2-4x+2+m+y2-[k(2-m)-]y=0.(14分) 因为该式对∀k≠0恒成立,所以解得 所以以PQ为直径的圆经过定点(2±,0).(16分) 19.解: (1)因为f(x)=(x-a)lnx(a∈R),所以当a=1时,f(x)=(x-1)lnx, 则f′(x)=lnx+1-.(1分) 当x=1时,f (1)=0,f′ (1)=0, 所以曲线f(x)在点(1,f (1))处的切线的方程为y=0.(3分) (2)因为对于任意的正数x,f(x)≥0恒成立, 所以当lnx=0,即x=1时,f(x)=0,a∈R;(5分) 当lnx>0,即x>1时,x≥a恒成立,所以a≤1;(6分) 当lnx<0,即x<1时,x≤a恒成立,所以a≥1. 综上可知,对于任意的正数x,f(x)≥0恒成立,a=1.(7分) (3)因为函数f(x)存在两个极值点, 所以f′(x)=lnx-+1存在两个不相等的零点. 设g(x)=lnx-+1,则g′(x)=+=.(8分) 当a≥0时,g′(x)>0,所以g(x)单调递增,至多一个零点.(9分) 当a<0时,x∈(0,-a)时,g′(x)<0,g(x)单调递减, x∈(-a,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增, 所以x=-a时,g(x)min=g(-a)=ln(-a)+2.(11分) 因为g(x)存在两个不相等的零点,所以ln(-a)+2<0,解得-e-2 因为-e-2e2>-a. 因为g(-)=ln(-)+a2+1>0,所以g(x)在(-a,+∞)上存在一个零点.(13分)
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