高考数学一轮复习第八章解析几何单元综合检测八理.docx
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高考数学一轮复习第八章解析几何单元综合检测八理
2019-2020年高考数学一轮复习第八章解析几何单元综合检测(八)理
一、选择题(每小题5分,共50分)
1.若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为( )
A.2B.-2C.-4D.4
1.D 【解析】由已知可得kAC==1,kAB==a-3.由于A,B,C三点共线,所以a-3=1,即a=4.
2.(xx·哈尔滨模拟)函数y=asinx-bcosx的一条对称轴为x=,则直线l:
ax-by+c=0的倾斜角为( )
A.45°B.50°C.135°D.150°
2.C 【解析】由函数y=f(x)=asinx-bcosx的一条对称轴为x=知,f(0)=f,即-b=a,则直线l的斜率为-1,直线l的倾斜角为135°.
3.(xx·上海奉贤区期末)已知圆C:
x2+y2=r2与直线3x-4y+10=0相切,则圆C的半径r=( )
A.B.2C.2D.4
3.B 【解析】因为直线与圆相切,故d==2=r.
4.设双曲线=1的虚轴长为2,焦距为2,则此双曲线的离心率为( )
A.B.C.2D.
4.B 【解析】由已知知b=1,c=,所以a=,所以e=.
5.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为( )
A.4B.8C.2D.2
5.D 【解析】抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,由题意,直线x=-与圆(x-3)2+y2=16相切,所以-=3-4,解得p=2.
6.(xx·西北师大附中三诊)过x轴正半轴上一点M(x0,0),作圆C:
x2+(y-)2=1的两条切线,切点分别为A,B,若|AB|≥,则x0的最小值为( )
A.1B.C.2D.3
6.B 【解析】如图,过点M作圆C的两条切线MA,MB,切点为A,B,连接CA,CB,则△CAM,△CBM为两个全等的直角三角形,∴∠BCM=∠ACM,又CA=CB,∴CN⊥AB.当|AB|取最小值时,|AN|=,由圆C:
x2+(y-)2=1的半径为1,知|CA|=1,∴|CN|=.在直角三角形CAM中,由射影定理得|CA|2=|CM|·|CN|,∴|CM|==2,在直角三角形中,∵|OC|=,∴|OM|=
.∴x0的最小值为.
7.(xx·江西八校联考)已知圆C1:
x2+2cx+y2=0,圆C2:
x2-2cx+y2=0,椭圆C:
=1,若圆C1,C2都在椭圆内,则椭圆离心率的范围是( )
A.B.C.D.
7.B 【解析】将圆C1化为标准形式程为(x+c)2+y2=c2,圆C2化为标准形式为(x-c)2+y2=c2,因为圆C1,C2都在椭圆内,所以(c,0)到(a,0)的距离大于等于c,则|c-a|≥c,解得a≥2c,即e≤.
8.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线与抛物线交于A,B两点,则|AF|∶|BF|=( )
A.3∶1
B.3∶2
C.2∶1
D.3∶1或1∶3
8.A 【解析】由题意可知直线AB:
y=.联立y2=2px,得3x2-5px+p2=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),得x1+x2=,又x1x2=,可得x1=,x2=,则=3.
9.设F1,F2分别是椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线x=上存在点P,使△PF1F2为等腰三角形,则椭圆的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
9.C 【解析】由已知设点P,得F1P的中点Q的坐标为,∴
∵=-1,∴y2=>0,∴2c2-b2>0,即2c2-(a2-c2)=3c2-a2>0,∴e2=,又∵0 10.已知双曲线C1: =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,抛物线C2: y2=2px(p>0)的焦点与双曲线C1的一个焦点重合,C1与C2在第一象限相交于点P,且|F1F2|=|PF2|,则双曲线的离心率为( ) A.2+B. C.+1D.2+ 10.C 【解析】由双曲线C1的焦点与抛物线C2的一个焦点重合,得c=.由点P在抛物线C2: y2=2px(p>0)上,且|F1F2|=|PF2|=2c=p,则点P到抛物线的准线x=的距离等于p,则xP=,又由点P在抛物线y2=2px上,则可得P,又p=2c,点P在双曲线C1上,故b2c2-4a2c2=a2b2,将b2=c2-a2,e=代入并化简,可得e=+1. 二、填空题(每小题5分,共20分) 11.(xx·马鞍山质检)圆C: x2+y2+2x+2y+1=0被直线l: x+y+1=0截得的劣弧长为 . 11. 【解析】圆C的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=1,圆心C(-1,-1)到直线l: x+y+1=0的距离为,所以弦长为,该弦所对的圆心角是90°,则劣弧长为. 12.(xx·扬州月考)已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2=4y的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,则弦AB的长为 . 12.16 【解析】设点A(x1,y1),B(x2,y2),则依题意得焦点F(0,1),准线方程是y=-1,直线l: y=x+1,由 消去x得y2-14y+1=0,则y1+y2=14,|AB|=|AF|+|BF|=(y1+1)+(y2+1)=(y1+y2)+2=16. 13.(xx·淮安调研)已知圆O: x2+y2=1.若直线y=x+2上总存在点P,使得过点P的圆O的两条切线互相垂直,则实数k的最小值为 . 13.1 【解析】若直线y=x+2上总存在点P,使得过点P的圆O的两条切线互相垂直,此时OP=,即圆心O到直线y=x+2的距离不大于,即,k+1≥2,解得k≥1,则实数k的最小值为1. 14.如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则= . 14.1+ 【解析】由题可得C,F,把C代入抛物线方程可得p=a,则有y2=2ax,把F代入并整理可得b2=a2+2ab,即有-1=0,解得=1+(负值1-舍去). 三、解答题(共50分) 15.(12分)(xx·江西八校联考)已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率e=,且过点M. (1)求椭圆C的方程; (2)椭圆C长轴两端点分别为A,B,点P为椭圆上异于A,B的动点,定直线x=4与直线PA,PB分别交于M,N两点,又E(7,0),过E,M,N三点的圆是否过x轴上不同于点E的定点? 若经过,求出定点坐标;若不经过,请说明理由. 15.【解析】 (1)由已知可得 解得a2=4,b2=3, 故椭圆C的方程为=1. (2)不妨设A点为椭圆的左顶点,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,P(x0,y0),则k1k2=-, 则PA: y=k1(x+2),则M(4,6k1), PB: y=k2(x-2),则N(4,2k2), 又kEM=-=-2k1,kEN=-,kEM·kEN=-1. 设圆过定点F(m,0),则=-1,则m=1或m=7(舍). 故过E,M,N三点的圆是以MN为直径的圆,且过定点F(1,0). 16.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1(-,0),A2(,0),若直线3x+4y+5=0上有且仅有一个点M,使得∠F1MF2=90°. (1)求椭圆C的标准方程; (2)设圆T的圆心T(0,t)在x轴上方,且圆T经过椭圆C的两焦点.点P,Q分别为椭圆C和圆T上的动点.当=0时,PQ取得最大值为,求实数t的值. 16.【解析】 (1)因为椭圆C: =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1(-,0),A2(,0),所以a2=2. 又因为直线3x+4y+5=0上恰存在一个点M,使得∠F1MF2=90°,即以原点O为圆心,半径为r=OF1=c作圆O,使得圆O与直线3x+4y+5=0相切即可. 又圆心O到直线3x+4y+5=0的距离d==1, 所以c=1,b2=a2-c2=1, 所以椭圆C的标准方程为+y2=1. (2)设P(x0,y0),因为点P在椭圆上,所以有=1,且-1≤y0≤1. 因为圆T的圆心T(0,t)在x轴上方,且圆T经过椭圆C的两焦点. 所以圆T的方程为x2+(y-t)2=t2+1(t>0), 由=0,得PQ2=PT2-QT2=+(y0-t)2-(t2+1), 又=1,所以PQ2=-(y0+t)2+t2+1, ①当-t≤-1,即t≥1时,当y0=-1时,PQ取得最大值, 因为PQ的最大值为,所以,解得t=, 又t≥1,故舍去. ②当-t>-1,即0 所以,解得t2=. 又0 综上可知t=. 17.(13分)如图,椭圆C1: =1(a>b>0)和圆C2: x2+y2=b2,已知椭圆C1过点,焦距为2. (1)求椭圆C1的方程; (2)椭圆C1的下顶点为E,过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A,B,直线EA,EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P,M.设PM的斜率为k1,直线l的斜率为k2,求的值. 17.【解析】 (1)由已知可得 解得a2=2,b2=1, ∴椭圆C1的方程为+y2=1. (2)由题意知直线PE,ME的斜率存在且不为0,PE⊥EM,不妨设直线PE的斜率为k(k>0),则PE: y=kx-1,由 ∴P.同理可得M,则k1=, 由 ∴A. ∴k2=, ∴. 18.(13分)已知△ABC的三个顶点A(-1,0),B(1,0),C(3,2),其外接圆为☉H. (1)若直线l过点C,且被☉H截得的弦长为2,求直线l的方程; (2)对于线段BH上的任意一点P,若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M,N,使得点M是线段PN的中点,求☉C的半径r的取值范围. 18.【解析】 (1)线段AB的垂直平分线方程为x=0,线段BC的垂直平分线方程为x+y-3=0, 所以△ABC外接圆圆心H(0,3),半径为,圆H的方程为x2+(y-3)2=10. 设圆心H到直线l的距离为d, 因为直线l被圆H截得的弦长为2, 所以d==3. 当直线l垂直于x轴时,显然符合题意,即x=3为所求; 当直线l不垂直于x轴时,设直线方程为y-2=k(x-3),则=3,解得k=, 此时直线l的方程为4x-3y-6=0. 综上,直线l的方程为x=3或4x-3y-6=0. (2)直线BH的方程为3x+y-3=0, 设P(m,n)(0≤m≤1),N(x,y), 因为点M是线段PN的中点,所以M, 又M,N都在半径为r的圆C上, 所以 即 因为上述关于x,y的方程组有解,即以(3,2)为圆心,r为半径的圆与以(6-m,4-n)为圆心,2r为半径的圆有公共点, 所以(2r-r)2≤(3-6+m)2+(2-4+n)2≤(r+2r)2, 又3m+n-3=0,所以r2≤10m2-12m+10≤9r2对任意m∈[0,1]恒成立. 而f(m)=10m2-12m+10在[0,1]上的值域为,所以r2≤且10≤9r2. 又线段BH与圆C无公共点, 所以(m-3)2+(3-3m-2)2>r2对任意m∈[0,1]恒成立,即r2<. 故圆C的半径r的取值范围为. 2019-2020年高考数学一轮复习精品教学案8.6双曲线(学生版)新人教版 【考纲解读】 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质. 2.理解数形结合的思想. 【考点预测】 高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为: 1.平面解析几何是历年来高考重点内容之一,经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现,在解答题中考查,一般难度较大,与其他知识结合起来考查,在考查平面解析几何基础知识的同时,又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想,以及分析问题、解决问题的能力. 2.xx年的高考将会继续保持稳定,坚持考查解析几何与其他知识的结合,在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1.双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线()。 注意: ①(*)式中是差的绝对值,在条件下;时为双曲线的一支(含的一支);时为双曲线的另一支(含的一支);②当时,表示两条射线;③当时,不表示任何图形;④两定点叫做双曲线的焦点,叫做焦距。 椭圆和双曲线比较: 椭圆 双曲线 定义 方程 焦点 注意: 如何有方程确定焦点的位置! 2.双曲线的性质 ①范围: 从标准方程,看出曲线在坐标系中的范围: 双曲线在两条直线的外侧。 即,即双曲线在两条直线的外侧。 ②对称性: 双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 ③顶点: 双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。 在双曲线的方程里,对称轴是轴,所以令得,因此双曲线和轴有两个交点,他们是双曲线的顶点。 令,没有实根,因此双曲线和y轴没有交点。 1)注意: 双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点),双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。 2)实轴: 线段叫做双曲线的实轴,它的长等于叫做双曲线的实半轴长。 虚轴: 线段叫做双曲线的虚轴,它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。 ④渐近线: 注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称为双曲线的渐近线。 从图上看,双曲线的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近。 ⑤等轴双曲线: 1)定义: 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 定义式: ; 2)等轴双曲线的性质: (1)渐近线方程为: ; (2)渐近线互相垂直。 注意以上几个性质与定义式彼此等价。 亦即若题目中出现上述其一,即可推知双曲线为等轴双曲线,同时其他几个亦成立。 3)注意到等轴双曲线的特征,则等轴双曲线可以设为: ,当时交点在轴,当时焦点在轴上。 ⑥注意与的区别: 三个量中不同(互换)相同,还有焦点所在的坐标轴也变了。 【例题精析】 考点一 双曲线的定义及标准方程 例1.(xx年高考辽宁卷文科15)已知双曲线x2y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则∣PF1∣+∣PF2∣的值为___________________. 【变式训练】 1.(xx年高考全国卷文科10)已知、为双曲线的左、右焦点,点在上,,则() (A)(B)(C)(D) 考点二 双曲线的几何性质 例2.(xx年高考福建卷文科5)已知双曲线-=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于() ABCD 【变式训练】 2.(xx年高考湖南卷理科5)已知双曲线C: -=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为() A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1[w~#ww.zz&st^ep@] 【易错专区】 问题: 双曲线的综合应用 例.(福建省福州市xx年3月高中毕业班质量检查理科)过双曲线的左焦点引圆的切线,切点为,延长交双曲线右支于点若为线段的中点,则该双曲线的渐近线方程为() A.B.C.D. 【课时作业】 1.(2011年高考安徽卷文科3)双曲线的实轴长是() (A)2(B)(C)4(D)4 2.(2011年高考湖南卷文科6)设双曲线的渐近线方程为则的值为() A.4B.3C.2D.1 3.(xx年高考浙江卷理科8)如图,F1,F2分别是双曲线C: (a,b>0)的左右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是() A.B. C.D. 4.(2011年高考天津卷文科6)已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为() A.B.C.D. 5.(2011年高考山东卷理科8)已知双曲线的两条渐近线均和圆C: 相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为() (A)(B)(C)(D) 6.(xx年高考浙江卷文科10)设O为坐标原点,,是双曲线(a>0,b>0)的焦点,若在双曲线上存在点P,满足∠P=60°,∣OP∣=,则该双曲线的渐近线方程为() (A)x±y=0(B)x±y=0 (C)x±=0(D)±y=0 7.(xx年高考辽宁卷文科9)设双曲线的一个焦点为,虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为() (A)(B)(C)(D) 8.(xx年高考宁夏卷文科5)中心在远点,焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2),则它的离心率为() (A)(B) (C)(D) 9.(xx年高考天津卷文科11)已知双曲线 与双曲线有相同的渐近线,且的右焦点为,则 10.(xx年高考江苏卷8)在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则m的值为. 【考题回放】 1.(xx年高考新课标全国卷文科10)等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于两点,;则的实轴长为() 2.(xx年高考山东卷文科11)已知双曲线: 的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2,则抛物线的方程为() (A) (B) (C) (D) 3.(xx年高考浙江卷文科8)如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点。 若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是() A.3B.2C.D. 4.(xx年高考湖南卷文科6)已知双曲线C: -=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为() A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1[w~#ww.zz&st^ep@] 5.(2011年高考辽宁卷理科13)已知点(2,3)在双曲线C: (a>0,b>0)上,C的焦距为4,则它的离心率为_____________. 6.(2011年高考浙江卷理科17)设分别为椭圆的焦点,点在椭圆上,若,则点的坐标是. 7.(xx年高考重庆卷文科14)设为直线与双曲线左支的交点,是左焦点,垂直于轴,则双曲线的离心率 8.(xx年高考江苏卷8)在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则m的值为. 9.(xx年高考湖北卷理科14)如图,双曲线的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,切点分别为A,B,C,D.则 (Ⅰ)双曲线的离心率e=______; (Ⅱ)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值_________. 10.(2011年高考山东卷文科15)已知双曲线和椭圆有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为. 11.(2011年高考江西卷文科12)若双曲线的离心率e=2,则m=____. 12.(2011年高考四川卷文科14)双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是4,那么点P到左准线的距离是. 13.(2011年高考全国卷文科16)已知F1、F2分别为双曲线C: -=1的左、右焦点,点A∈C,点M的坐标为(2,0),AM为∠F1AF2∠的平分线.则|AF2|=. 14.(北京市西城区xx年1月高三期末考试理科)若双曲线的一个焦点是,则实数______.
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