小升初数学必备专题之计数模块.docx
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小升初数学必备专题之计数模块
计数部分
加法原理与枚举法
如果完成一件事情有n类方法,而每一类方法中分别有m1,m2,…,mn种方法,而不论采用这些方法中的任何一种,都能单独地完成这件事情,那么要完成这件事情共有N=m1+m2+…mn种方法。
这就是加法原理,也是利用分类法计数的依据。
而在分类计数的过程中,往往要把各类方法中的总的数量加以枚举,因此,加法原理常和枚举法结合运用。
所谓枚举法,就是把所要求计数的所有对象一一列举出来,最后计算总数的方法。
运用枚举法进行列举时,必须注意无一重复,也无一遗漏。
乘法原理
如果完成一件事必须分n个步骤,而每一个步骤分别有m1,m2,…,mn种方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种方法。
这就是乘法原理,它是分步法的依据。
乘法原理和加法原理被称为是计数的基本原理。
我们应注意它们的区别,也要注意二者的联合使用。
利用乘法原理解决一些较难问题时,一定要注意各个步骤的先后次序的选择。
排列
在实际生活中常遇到这样的问题,就是要把一些事物排在一起,构成一列,计算有多少种排法。
这就是排列问题。
在排的过程中,不仅与参加排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关.
一般地,从n个不同的元素中任取出m个(m≤n)元素,按照一定的顺序排成一列.叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列的个数,叫做从
组合
日常生活中有很多“分组”问题.如在体育比赛中,把参赛队分为几个组,从全班同学中选出几人参加某项活动等等.这种“分组”问题,就是我们将要讨论的组合问题,这里,我们将着重研究有多少种分组方法的问题.
一般地,从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素组成一组不计较组内各元素的次序,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
由组合的定义可以看出,两个组合是否相同,只与这两个组合中的元素有关,而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同时,它们才是不同的组合.
从n个不同元素中取出m个元素(m≤n)的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作
.
综合应用
前面我们已讨论了加法原理、乘法原理、排列、组合等问题.事实上,这些问题是相互联系、不可分割的.例如有时候,做某件事情有几类方法,而每一类方法又要分几个步骤完成.在计算做这件事的方法时,既要用到乘法原理,又要用到加法原理.又如,在照相时,如果对坐的位置有些规定,那么就不再是简单的排列问题了.类似的问题有很多,要正确地解决这些问题,就一定要熟练地掌握两个原理和排列、组合的内容,并熟悉它们所解决问题的类型特点.
1、运用两个加法原理和乘法原理时要注意:
①抓住两个基本原理的区别,千万不能混.
不同类的方法(其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完)数之间做加法,可求得完成事情的不同方法总数.
不同步的方法(全程分成几个阶段(步),其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段)数之间做乘法,可求得完成整个事情的不同方法总数.
②在研究完成一件工作的不同方法数时,要遵循“不重不漏”的原则.
③在运用乘法原理时,要注意当每个步骤都做完时,这件事也必须完成,而且前面一个步骤中的每一种方法,对于下个步骤不同的方法来说是一样的.
2、运用排列与组合时要注意:
排列与组合都是从若干个元素中选出一些元素,共有多少种选法的问题,其中排列要求选出的这些元素有顺序要求,而组合没有顺序要求。
包含与排除
集合通常用大写的英文字母A、B、C、…表示。
构成这个集合的事物称为这个集合的元素。
如上面例子中五
(1)班的每一位同学均是集合A的一个元素。
又如任何一个自然数都是集合B的元素。
像集合B这种含有无限多个元素的集合称为无限集合。
像集合C这样含有有限多个元素的集合称为有限集合。
有限集合所含元素的个数常用符号|A|、|B|、|C|、…表示。
记号A∪B表示所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合。
就是右边示意图中两个圆所覆盖的部分。
集合A∪B叫做集合A与集合B的并集。
“∪”读作“并”,“A∪B”读作“A并B”。
设集合A={1,2,3,4},集合B={2,4,6,8},则A∪B={1,2,3,4,6,8}。
元素2、4在集合A、B中都有,在并集中只写一个。
记号A∩B表示所有既属于集合A也属于集合B中的元素的全体。
就是上图中阴影部分所表示的集合。
即是由集合A、B的公共元素所组成的集合。
它称为集合A、B的交集.符号“∩”读作“交”,“A∩B”读作“A交B”。
如上例中的集合A、B,则A∩B={2,4}。
关于两个集合的容斥原理:
集合A与B的并集的元素个数,等于集合A的元素个数与集合B的元素个数的和,减去集合A与B的交的元素个数。
即:
|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|
关于三个集合的容斥原理:
右图中三个圆A、B、C分别表示具有三种不同性质的集合,并如图用M1、M2、M3、…、M7表示由三个圆形成的内部互不重叠的部分所含元素的个数,可见:
|A∪B∪C|=M1+M2+…+M7 =(M1+M4+M6+M7)+(M2+M4+M5+M7)+(M3+M5+M6+M7)-[(M4+M7)+(M5+M7)+(M6+M7)]+M7
=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|A∩C|+|A∩B∩C|,
事实上这个规律还可推广到按多种性质来分类的情形。
设集合M中的每个元素至少具有t种性质中的一种,用n1表示各个具有1种性质的集合中的元素个数的和,n2表示各个具有2种性质的集合中元素个数的和,…,nt表示具有t种性质的集合中元素的个数,则集合M中元素的个数m为:
m=n1-n2+n3-n4+…±nt
最后一项当t为偶数时取“-”号,否则取“+”号。
枚举法一
内容概述:
掌握枚举的一般方法,学会按照一定顺序,有规律地进行枚举,做到“不重不漏”;应用字典排列法解决整数分拆的问题,学会分辨“计次序”与“不计次序”的情形。
教学一对一:
1.冬冬在一张纸上画了一些图形,如图4-1所示,每个图形都是由若干条线段连接组成的。
请你数一数,纸上一共有多少条线段?
(最外面的大长方形是纸的边框,不算在内)
2.要沿着如图2-4所示的道路从A点走到B点,并且每段路最多只能经过一次,一共有多少种不同的走法?
3.小明决定去香山、颐和园、圆明园这三个景点旅游,要走遍这三个景点,他一共有多少种不同的游览顺序?
4.小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这4个地方中选2个去旅游,小王有多少种不同的选择方式?
如果小王想去其中的3个地方,又有多少种选择方式?
5.小烧饼每个5角钱,大烧饼每个2元钱,冬冬一共有6元钱,如果把这些钱全部用来买烧饼,一共有多少种不同的买法?
6.在一次知识抢答比赛中,小悦和冬冬两个人一共答对了10道题,并且每人都有答对的题目。
如果每道题1分,那么小悦和冬冬分别可能得多少分?
请把所有的可能填写到下面的表格里:
小悦的总分
冬冬的总分
7.两个海盗分20枚金币。
请问:
(1)如果每个海盗最少分5枚金币,一共有多少种不同的分法?
(2)如果每个海盗最多分到16枚金币,一共有多少种不同的分法?
8.有15个玻璃球,要把它们分成两堆,一共有几种不同的分法?
这两堆球的个数可能相差几个?
9.张奶奶去超市买了12盒光明牛奶,发现这些牛奶需要装在2个相同的袋子里,并且每个袋子最多只能装10盒。
张奶奶一共有几种不同的装法?
10.小悦、冬冬、阿奇三个人一共有7本课外书,每个人至少有一本。
小悦、冬冬、阿奇分别有几本课外书?
请写出全部可能的情况。
11.如图4-3,小悦画了一个小房子,如果每画一笔都不能拐弯,那么她最少画了几笔?
12.小悦把8块绿豆糕摆成如图4-4所示的图形,让冬冬挑两块挨在一起的绿豆糕。
请问:
冬冬一共有多少种不同的挑法?
13.小悦、冬冬、阿奇三个人去看电影,他们买了三张座位相邻的票。
他们三人的座位顺序一共有多少种不同的安排方法?
14.小李摆摊卖货,小木偶每个卖1元,大木偶每个卖2元。
他今天一共卖出了5个木偶。
小李今天一共可能卖了多少钱?
15.
(1)老师给小悦14个相同的练习本。
如果小悦把这些本子全都分给冬冬和阿奇,有多少种不同的分法?
(2)老师给小悦14个相同的练习本,如果小悦只需要把这些本子分成2堆,又有多少种不同的分法?
16.盘子里一共有20颗花生,小悦和冬冬一起吃,每人一口吃2颗,两个人一起把花生吃完(每人至少吃一口),他们分别可能吃了多少颗花生?
17.如图4-5,有7个按键,上面分别写着:
1、2、3、4、5、6、7这七个数字。
请问:
(1)从中选出2个按键,使它们上面数字的差等于2,一共有多少种选法?
(2)从中选出2个按键,使它们上面数字的和大于9,一共有多少种选法?
18.小王有5个相同的飞机模型,他要把它们放在一个3层的货架上,每层至少要放1个。
小王一共有多少种不同的放法?
过了几天,他又要把18个相同的汽车模型放到另一个3层货架上,每层最少要放5个,这时有多少种不同的放法?
19.
(1)小明买回了一袋糖豆,他数了一下,一共有10个。
现在他要把这些糖豆分成3堆,一共有多少种不同的分法?
(2)如果小明有两袋糖豆,每袋10个。
要把这两袋糖豆分成3堆,每堆最少要有5个,一共有多少种不同的分法?
20.A、B、C、D、E这五个人一起回答一道题目,结果只有两个人答对了。
所有可能的回答情况一共有多少种?
21.
(1)有2个相同的白球和1个红球。
如果把这3个小球排成一排,有多少种不同的排法?
(2)有2个相同的白球和3个相同的红球,把这5个小球排成一排,有多少种不同的排法?
22.班主任要从甲、乙、丙、丁、戊这五个小朋友里面选出四个人参加乒乓球赛,有多少种不同的选法?
如果已尼选出甲、乙、丙、丁,现在要把他们分成两组,进行双打比赛,有多少种不同的分法?
枚举法二
内容概述:
巩固字典排列的方法;使用树形图的方法解决更复杂的计数问题;熟练掌握分类枚举的方法。
教学一对一:
1.有一些三位数的各位数字都不是0,且各位数字之和为6,这样的三位数共有多少个?
2.汤姆、杰瑞和得鲁比都有蛀牙,他们一起去牙医诊所看病,医生发现他们一共有8颗蛀牙,他们三人可能分别有几颗蛀牙?
3.老师让小明写出3个非零的自然数,且3个数的和是9,如果数相同、顺序不算同一种写法,例如1+2+6、2+1+6还有6+1+2都算是同一种写法。
请问:
小明共有多少种不同的写法?
4.生物老师让大家观察蚂蚁的习性。
第二天小悦在小区的广场上发现了12只黑蚂蚁,这12只蚂蚁恰好凑成了3堆,每堆至少有2只。
请问:
这3堆蚂蚁可能各有几只?
5.一个三位数,每一位上的数字都是1、2、3中的某一个,并且相邻的两个数字相同,一共有多少个满足条件的三位数?
6.如图12-1,一只小蚂蚁要从一个正四面体的顶点A出发,沿着这个正四面体的棱依次走遍4个顶点再回到顶点A。
请问:
这只小蚂蚁一共有多少种不同的走法?
7.5块六边形的地毯拼成了图12-2中的形状,每块地毯上都有一个编号。
现在阿奇站在1号地毯上,他想要走到5号地毯上,如果阿奇每次都只能走到和他相邻的地毯上(两个六边形如果有公共边就称为相邻),并且只能向右边走,例如1→2→3→5就是一种可能的走法。
请问:
阿奇一共有多少种不同的走法?
8.在图12-3中,一共能找出多少个长方形(包括正方形)?
9.如果只能用1元、2元、5元的纸币付款,那么要买价格是13元的东西,一共有多少种不同的付款办法?
(不考虑找钱的情况)
10.有一类小于1000的自然数,每个数由若干个1和若干个2组成,并且在每个数中,1的个数比2的个数多,这样的数一共有多少个?
11.小悦、冬冬、阿奇三个人去游乐园玩,三人在藏宝屋中发现了5件宝物,这三个人可能分别找到了几件宝物?
12.小悦、冬冬和阿奇三个人一起吃完了一盘薯条,这盘薯条总共有20根,并且每个人吃的薯条都比5根多。
请问:
每个人可能吃了几根薯条?
13.老师要求每个同学写出3个自然数,并且要求这3个数的和是8。
如果两个同学写出的的3个自然数相同,只是顺序不一样,就算是同一种写法。
试问:
同学们最多能给出多少种不同的写法?
14.费叔叔准备去打羽毛球,他拿了3个一模一样的球桶,每个球桶最多能装8个羽毛球,他数了一下,发现3个球桶里面一共有16个羽毛球。
请问:
3个球桶里面有可能分别有几个羽毛球?
15.商店里有12种不同的签字笔,价格分别是1,2,3,4,……,11,12元。
小悦准备买3支不同价格的签字笔,并且希望恰好花掉15元。
请问:
小悦一共有多少种不同的买法?
16.费叔叔提着一个带密码锁的公文包,但是他忘记了密码,只记得密码是一个三位数。
这个三位数的个位数比十位数字大,十位数字比百位数字大,并且没有比5大的数字。
请问:
费叔叔最多只需要试多少次就肯定能打开这个公文包?
17.常昊与古力两人进行围棋赛,谁先胜三局谁就会取得比赛的胜利。
如果最后常昊获胜了,那么比赛的进程有多少种可能?
18.从图12-4的左下角的A点走到右上角的B点,如果要求只能向上或者向右走,一共有多少种不同的走法?
如果要求只要不走重复的路线就可以,那么从A点走到B点一共有多少种不同的走法?
19.妈妈买来了7个鸡蛋,每天至少吃2个,吃完为止,如果天数不限,可能的吃法一共有多少种?
20.老师拿来三块木板,上面分别写着数字1、2、3。
小悦可以用这些木板拼出多少个不贩数?
21.午餐的时候,食堂给同学们准备了苹果、香蕉和桔子这三种水果,每种都有很多个,冬冬想要挑3个水果吃。
请问:
冬冬一共有多少种选择?
22.
(1)如图12-5(a),方格纸的黑点位置上有一只小蚂蚁,它沿着方格纸上的横线和竖线爬行,方格纸上每一小段的长度都是1厘米。
试问:
小蚂蚁爬了2厘米之后,可能在哪些位置?
把可能的位置在图上标出来。
(2)如图12-5(b),方格纸上每一小段的长度也是1厘米,黑点的位置上有一只小蚂蚁,如果它爬了3厘米之后,恰好在黑线上。
请问:
这只小蚂蚁爬行的路线一共有多少种不同的可能?
加法原理与乘法原理
内容概述:
理解加法原理和乘法原理,体会分类计数与分步计数的区别;能够根据题目条件,对问题进行合理的分类与分步;学习用标数法解决各类路径问题.
教学一对一:
1.阿奇去吃午饭,发现附近的中餐厅有9个,西餐厅有3个,日式餐厅有2个.他准备找一家餐厅吃饭,一共有多少种不同的选择?
2.阿奇进人一家中餐厅后,发现主食有3种,热菜有20种.他打算主食和热菜各买1种,一共有多少种不同的买法?
3.老师要求冬冬在黑板上写出一个减法算式,而且被减数必须是两位数,减数必须是一位数,冬冬共有多少种不同的写法?
4.传说地球上有7颗不同的龙珠,如果找齐这7颗龙珠,并且按照特定顺序排成一行就会有神龙出现.邪恶的沙鲁找到了这7颗龙珠,但是他不知道排列的特定顺序.请问:
运气不好的沙鲁最坏要试几次才能遇见神龙?
5.用红、黄、蓝三种颜色给图15-1的三个圆圈染色,一个圆圈只能染一种颜色,并且相连的两个圆圈不能同色,一共有多少种不同的染色方法?
6.在图15—2中,从“北”字开始,每次向下移动到一个相邻的字可以读出“北京奥运会”.那么一共有多少种不同的读法?
7.运动会中有四个跑步比赛项目,分别为50米、100米、200米、400米,规定每个参赛者只能参加其中的一项.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这四个项目,请问:
(1)如果每名同学都可以任意报这四个项目,一共有多少种报名方法?
(2)如果这四名同学所报的项目各不相同,一共有多少种报名方法?
8.冬冬的书包里有5本不同的语文书、6本不同的数学书、3本不同的英语书.请问:
(1)如果从中任取1本书,共有多少种不同的取法?
(2)如果从中取出语文书、数学书、英语书各1本,共有多少种不同的取法?
9.如图15-3,甲、乙两地之间有4条路,乙、丙两地之间有2条路,甲、丙两地之间有3条路,那么从甲地去丙地一共有多少条不同的路线?
10.图15-4中有一个从A到B的公路网络,一辆汽车从A行驶到B,可以选择的最短路线一共有多少条?
11.阿奇一家人外出旅游,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以坐飞机.经过网上查询,出发的那一天中火车有4班,汽车有3班,飞机有2班.他们乘坐这些交通工具,一共可以有多少种不同的选择?
12.“IMO”是“国际数学奥林匹克”的缩写,要求把这三个字母涂上三种不同的颜色,且每个字母只能涂一种颜色.现有五种不同颜色的笔,按上述要求能有多少种不同颜色搭配的“IMO”?
13.书架上有三层书,第一层放了15本小说,第二层放了10本漫画,第三层放了5本科普书,并且这些书各不相同.请问:
(1)如果从所有的书中任取1本,共有多少种不同的取法?
(2)如果从每一层中各取l本,共有多少种不同的取法?
(3)如果从中取出2本不同类别的书,共有多少种不同的取法?
14.如图15-5,从甲地到乙地有3条路,从乙地到丙地有3条路,从甲地到丁地有2条路,从丁地到丙地有4条路.如果要求所走路线不能重复,那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线?
15.如图15-6,四张卡片上写有数字2、4、7、8.从中任取三张卡片,排成一行,就可以组成一个三位数.请问:
一共可以组成多少个不同的三位数?
其中有多少个不同的三位奇数?
16.奥运场馆实行垃圾分类处理.每个地方放置五个垃圾桶,从左向右依次标明:
电池、塑料、废纸、易拉罐、不可再造,如图15-7.现在准备把五个垃圾桶染成红、绿、蓝这3种颜色之一,要求相邻两个垃圾筒颜色不同,且回收废纸的垃圾桶不能染成红色,一共有多少种染色方法?
17.如图15-8,把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色染色,且相邻的部分不能使用同一种颜色,不相邻的部分可以使用同一种颜色.请问:
这幅图共有多少种不同的染色方法?
18.如图15-9,用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色,每个小圆圈只能染一种颜色.请问:
(1)如果每个小圆圈可以随意染色,一共有多少种不同的染法?
(2)如果要求关于中间那条竖线左右对称,一共有多少种不同的染法?
19.甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E这五辆不同型号的汽车.会驾驶汽车A的只有甲和乙,汽车E必须由甲、乙、丙三人中的某一人驾驶,则一共有多少种不同的安排方案?
20.如图15-10,4枚相同的棋子放人4×4的方格内,每个方格只能放1枚,且要求每行每列最多只能放1枚,一共有多少种不同的放法?
21.图15-11是一个阶梯形方格表,在方格中放入5枚相同的棋子,使得每行、每列中都只有1枚棋子,这样的放法共有多少种?
22.如图15-12和图15-13,蚂蚁在线段上爬行,只能按照箭头的方向行走,请问:
(1)按图15-12所示,从A点走到B点的不同路线有多少条?
(2)按图15-13所示,从A点走到B点的不同路线有多少条?
排列组合
内容概述:
了解排列、组合公式的来由及含义,掌握具体的计算方法;辨析排列、组合之间酌区别与联系,并能够合理应用.
教学一对一:
1.计算:
2.费叔叔、小悦、冬冬和阿奇四个人站成一排照相,一共有多少种不同的排列方法?
3.体育课上,老师从10名男生中挑出4人站成一排,—共有多少种不同的排列方法?
4.费叔叔、小悦、冬冬、阿奇四个人一块乘公共汽车去公园,上车后发现有8个空座位,他们一共有多少种不同的坐法?
5.用1至7这7个数字一共能组成多少个没有重复数字的三位数?
如果把这些三位数从小到大排起来,312是其中第几个?
6.计算:
7.图21-1中有六个点,任意三个点都不在一条直线上.请问:
(1)以这些点为端点,一共可以连出多少条线段?
(2)以这些点为顶点,一共可以连出多少个三角形?
8.费叔叔把10张不同的游戏卡片分给冬冬和阿奇,并且决定给冬冬8张,给阿奇2张.一共有多少种不同的分法?
9.小悦要从八门课程中选学三门,一共有多少种选法?
如果数学课与钢琴课时间冲突,不能同时学,她一共有多少种选法?
10.象棋兴趣小组一共有9名同学,请问:
(1)如果从中选3名同学在第二天的早上、中午、晚上分别做值日,共有多少种选法?
(2)如果从中选3名同学去参加一次全市比赛,共有多少种选法?
11.计算:
12.如图21-2所示,有5面不同颜色的小旗,任取3面排成一行表示一种信号,用这5面小旗一共可以表示出多少种不同的信号?
13.3名同学一块去图书馆借科幻小说,发现书架上只剩下9本,且各不相同.如果每人只借1本,那么共有多少种不同的借法?
14.用1、2、3、4、5这五个数码可以组成多少个没有重复数字的四位数?
将这些四位数从小到大排列起来,4125是第几个?
15.计算:
,
,
16.如图21-3所示,从端点O出发的射线共有7条,图中一共有多少个锐角?
17.如图21-4所示,在一个圆周上有8个点,以这些点为顶点或端点,一共可以画出多少条线段?
多少个三角形?
多少个四边形?
18.9支球队进行足球比赛,实行单循环制,即每两队之间只比赛一场.每场比赛后胜方得3分,平局双方各得1分,负方不得分.请问:
一共要举行多少场比赛?
9支队伍的得分总和最多为多少?
19.学校十佳歌手大赛的10名获奖选手中,每3人都要照一张合影.问:
需要拍多少张照片?
20.在新学期的班会上,大家要从11名候选人中选出班干部.请问:
(1)选出三人组成班委会,那一共有多少种选法?
(2)从剩下的候选人中,选出三人分别担任语文、数学、英语的课代表,一共有多少种选法?
21.费叔叔带着小悦、冬冬、阿奇去参加一次聚会,主持人要求每个人从12个颜色不同的彩球中领取一个.请问:
(1)小悦是第一个取球的人,她一共选出了4个球,准备回头分给大家,那一共有多少种选法?
(2)小悦回到座位后,把这4个球分给大家,一共有多少种分法?
(3)最后他们四人手中拿到的球一共有多少种可能?
22.周末大扫除,老师要从第一组的10名男生和10名女生中选出5人留下打扫卫生.请问:
(1)如果老师随意选择,一共有多少种选择方法?
(2)如果老师决定选出2名男生和3名女生,一共有多少种选择方法?
计数综合一
内容概述:
巩固以前学过的各种方法,综合运用分类与分步思想、排列与组合公式及枚举法来解决较复杂的计数问题;学会使用排阵法、捆绑法、插空法解决排队问题.
教学一对一:
1.现有面值1元的钞票3张,面值5元的钞票1张,面值10元的钞票2张.如果从中取出一些钞票(至少取1张),可能凑出多少种不同的总钱数?
2.一本书从第1页开始编排页码,到最后一页结束时共用了1983个数码.这本书共有多少页?
3.费叔叔带着小悦、冬冬、阿奇一起到圆明园游玩.他们四人站成一排照相,其中费叔叔要站在最左边或者最右边,一共有多少
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