三角函数公式推导及证明doc.docx
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三角函数公式推导及证明doc
三角函数公式推导及证明
推导公式:
(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(其中,R为外接圆半径)
由正弦定理有
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
所以
a=2R*sinA
b=2R*sinB
c=2R*sinC
加起来a+b+c=2R*⑸nA+sinB+sinC)带入(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/⑸nA+sinB+sinC)=2R对数的性质及推导
用八表示乘方,用log(a)(b)表示以a为底,b的对数
*表示乘号,/表示除号
定义式:
若aAn=b(a>0且aHl)
则n=log(a)(b)
基本性质:
1.aA(log(a)(b))=b
2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
4.log(a)(MAn)=nlog(a)(M)
推导
1•这个就不用推了吧,直接由定义式可得(把定义式屮的[n=log(a)(b)]帯入aAn=b)
2.MN=M*N
由基本性质1(换掉M和N)
aA[log(a)(MN)]=aA[log(a)(M)]*aA[log(a)(N)]
由指数的性质
aA[log(a)(MN)]=aA{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)
3.与2类似处理
MN=M/N
由基木性质1(换掉M和N)
aA[log(a)(M/N)]=aA[log(a)(M)]/aA[log(a)(N)]
由指数的性质
aA[log(a)(M/N)]=aA{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}
乂因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)
4.与2类似处理
MAn=MAn
由基本性质1(换掉M)
aA[log(a)(MAn)]={aA[log(a)(M)]}An
由指数的性质
aA[log(a)(MAn)]=aA{[log(a)(M)]*n}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(MAn)=nlog(a)(M)
其他性质:
性质一:
换底公式
log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)
推导如下
N=aA[log(a)(N)]
a=bA[log(b)(a)]
综合两式可得
N={bA[log(b)(a)]}A[log(a)(N)]=bA{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}又因为N=bA[log(b)(N)]
所以
bA[log(b)(N)]=bA{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
所以log(b)(N)=[log(a)(N)]*[log(b)(a)]{ii步不明白或有疑问看上面的}所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)
性质二:
(不知道什么名字)
log(aAn)(bAm)=m/n*[log(a)(b)]
推导如下
rfl换底公式[Inx是log(e)(x),e称作自然对数的底]log(aAn)(bAm)=ln(aAn)/ln(bAn)
由基本性质4可得
log(aAn)(bAm)=[n*ln(a)]/[m*ln(b)]=(m/n)*{[ln(a)]/[ln(b)]}
再rfl换底公式
log(aAn)(bAm)=m/n*[log(a)(b)]
(性质及推导完)
公式三:
log(a)(b)=l/log(b)(a)
证明如下:
由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)--取以b为底的对数,log(b)(b)=l
=Vlog(b)(a)
还可变形得:
log(a)(b)*log(b)(a)=l
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A-B)=tanA-tanB
1+tanAtanB
cot(A+B)=
cotAcotB-1
cotB+cotA
cot(A-B)=
cotAcotB+1
cotB一cotA
倍角公式
Sin2A=2SinA>CosA
Cos2A=CosA-Sin2A=2Cos2A-l=l-2sin2A三倍角公式
sin3A=3sinA-4(sinA)3
cos3A=4(cosA)3-3cosAtan3a=tana•tan(—+a)•tan(—-a)
半角公式33
zA.11-cosA
叫)
tan(-)=
2
1-cosA
sinA
sinA
和差化积
sina+sinb=2sin
a+b
"T"
COS
a-b
sina-sinb=2cos
a+b
sin
a-b
.a+ba-b
cosa+cosb=2coscos
22
\r•d+b•Cl-b
cosa-cosb=・2sinsin
22
tana+tanb二如也
cosacosh
积化和差
sinasinb=[cos(a+b)-cos(a-b)]cosacosb=—[cos(a+b)+cos(a-b)]
sinacosb=—[sin(a+b)+sin(a-b)]
2
cosasinb二[sin(a+b)-sin(a-b)]
诱导公式
sin(-a)=-sina
cos(-a)=cosa
sin(—-a)=cosa
2
cost—-a)=sina
2
sin(—+a)=cosa
2
cos(y+a)=・sina
sin(n-a)=sina
cos(n-a)=-cosa
sin(n+a)二-sina
cos(n+a)=・cosa
…亠Asinci
tgA=tanA=
cosa
万能公式
ca
2tan—
2
sina二
l+(tan—)2
2
l-(tan^)2
cosa=
l+(tan—)2
2
2tan—
7
tana=
l-(tan—)2
2
其它公式
a*sina+b・cosa二J(a,+b‘)Xsin(a+c)[其中tanc=—]
a
a*sin(a)-b*cos(a)=J(a2+b2)Xcos(a-c)[Jt中tan(c)=—]
h
1+sin(a)二(sin—+cos—)2l-sin(a)=(sin--cos—)2
22其他非重点三角函竅
csc(a)=
sin(7
sec(a)=
cosa
双曲函数
sinh(护于
e+e
cosh(a)—
_、sinh(tz)
tgn(a)=——-
cosh(a)
公式一:
设a为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin(2kn+a)=sina
cos(2kn+a)=cosa
tan(2kn+a)=tana
cot(2kn+a)=cota
公式二:
设a为任意角,n+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系:
sin(ii+a)=-sina
cos(n+a)=-cosa
tan(n+a)=tana
cot(兀+a)=cota
公式三:
任意角a与・a的三角函数值Z间的关系:
sin(-a)=-sina
cos(-a)=cosa
tan(-a)=-tana
cot(-a)=-cota
公式四:
利用公式二和公式三可以得到n-a与a的三角函数值之间的关系:
sin(n-a)二sina
cos(n-a)=-cosa
tan(n?
a)=-tana
cot(R-a)=-cota
公式五:
利用公式■和公式三可以得到2n-a与a的三角函数值Z间的关系:
sin(2n-a)=-sina
cos(2n-a)=cosa
tan(2n?
a)=-tana
cot(2n-a)=-cota
公式六:
評及近如与。
的三角两数值之间的关条
sin
cos
tan
cot
2
(—+a)
2
(一+a)
2
(-+a)
2
(一+a)=・tana
2
=cosa
=-sina
=-cota
sin
cos
tan
cot
sin
cos
tan
cot
sin
cos
tan
cot
(£_a)
2
(——a)
2
(——a)
2
(—・a)
2
(——+a)=-cosa
2
(3龙、
(—+a)
2
(—+a)
2
(——+a)
2
(a)=-cosa
2
(3兀、
(a)=-sina
2
/3龙、
(a)=cota
2
(3兀、
(a)=tana
2
=cosa
=sina
=cota
=tana
=sina
=-cota
=-tana
(以上kez)
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对人家有用
三角函数公式证明(全部)
公式表达式
乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|<|a|+|b||a-b|<|a|+|b||a|-b
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