八年级数学截长补短练习题.docx
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八年级数学截长补短练习题
截长补短
一.解答题(共13小题)
1.(2016秋•丰宁县期中)如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°,BD是∠ABC的平分线,延长BD至E,使DE=AD.求证:
BC=AB+CE.
2.(2016秋•和平区期中)如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,∠B+∠D=180°.求证:
AE=AD+BE.
3.(2012•海曙区校级模拟)已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=DC,点E、F分别在AD、AB上,且
.
(1)求证:
BF=EF﹣ED;
(2)连接AC,若∠B=80°,∠DEC=70°,求∠ACF的度数.
4.(2013•重庆模拟)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,AE=BE,且AF⊥AB,连接EF.
(1)若EF⊥AF,AF=4,AB=6,求AE的长.
(2)若点F是CD的中点,求证:
CE=BE﹣AD.
5.如图,四边形ABCD中,∠ABC=90°,点E是AB上的点,∠ECD=45°,连接ED,过D作DF⊥BC于F,DF=BC.求证:
ED﹣FC=BE.
6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,∠ABC=∠BCD,E为AD中点,连接BE,CE
(1)求证:
BE=CE;
(2)若∠BEC=90°,过点B作BF⊥CD,垂足为点F,交CE于点G,连接DG,求证:
BG=DG+CD.
7.(2017秋•卢氏县校级月考)如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AD是△ABC的角平分线,∠1=∠C,求证:
AC=AB+CE.
8.如图,四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,E是AB的中点,DE平分∠ADC.
(1)求证:
CE平分∠BCD;
(2)求证:
AD+BC=CD;
(3)若AB=12,CD=13,求S△CDE.
9.已知:
如图,在正方形ABCD中,AD=AB,∠D=∠ABC=∠BAD=90°,E,F分别为DC,BC边上的点,且∠EAF=45°,连接EF,求证:
EF=BF+DE.
10.已知如图,在△ABC中,∠B=60°,AD、CE是△ABC的角平分线,并且它们交于点O,
(1)求:
∠AOC的度数;
(2)求证:
AC=AE+CD.
11.如图,已知AB=AC,∠BAC=60°,∠BDC=120°,求证:
AD=BD+CD.
12.如图,AD∥BC,EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA,CD过点E,求证:
AB=AD+BC.
13.(2014秋•株洲县期末)如图,已知△ABC中,AB=AC,D是△ABC外一点且∠ABD=60°,∠ADB=90°﹣
∠BDC.求证:
AC=BD+CD.
截长补短
参考答案与试题解析
一.解答题(共13小题)
1.(2016秋•丰宁县期中)如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°,BD是∠ABC的平分线,延长BD至E,使DE=AD.求证:
BC=AB+CE.
【解答】解:
在BC上截取BF=AB,连DF,
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠1=∠2.
则在△ABD与△FBD中,
,
∴△ABD≌△FBD(SAS),
∴DF=DA=DE,
又∵∠A=100°,∠ABC=40°,
∴∠ACB=∠ABC=40°,∠DFC=180°﹣∠A=80°,
∴∠FDC=60°,
∵∠EDC=∠ADB=180°﹣∠ABD﹣∠A=180°﹣20°﹣100°=60°,
∴∠FDC=∠EDC,
∴△DCE≌△DCF(SAS),
∴CE=CF,
∴BC=BF+CF=AB+CE,即BC=AB+CE.
2.(2016秋•和平区期中)如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,∠B+∠D=180°.求证:
AE=AD+BE.
【解答】证明:
如图,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于F,
∵AC平分∠BAD,CE⊥AB,
∴CE=CF,
∵∠B+∠ADC=180°.
∠ADC+∠CDF=180°(平角定义),
∴∠CDF=∠B,
在△CDF和△CBE中,
,
∴△CDF≌△CBE(AAS),
∴DF=BE,
在Rt△ACF和Rt△ACE中,
,
∴Rt△ACF≌Rt△ACE(HL),
∴AE=AF,
∵AF=AD+DF,
∴AE=AD+BE.
3.(2012•海曙区校级模拟)已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=DC,点E、F分别在AD、AB上,且
.
(1)求证:
BF=EF﹣ED;
(2)连接AC,若∠B=80°,∠DEC=70°,求∠ACF的度数.
【解答】
(1)证明:
旋转△BCF使BC与CD重合,
∵AD∥BC,AB=DC,即梯形ABCD为等腰梯形,
∴∠A=∠ADC,∠A+∠ABC=180°,
∴∠ADC+∠ABC=180°,
由旋转可知:
∠ABC=∠CDF′,
∴∠ADC+∠CDF′=180°,即∠ADF′为平角,
∴A,D,F′共线,
∵FC=F′C,EC=EC,∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF,
∴△FCE≌△F′CE,
∴EF′=EF=DF′+ED,
∴BF=EF﹣ED;
(2)解:
∵AB=BC,∠B=80°,
∴∠ACB=50°,
由
(1)得∠FEC=∠DEC=70°,
∴∠ECB=70°,
而∠B=∠BCD=80°,
∴∠DCE=10°,
∴∠BCF=30°,
∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°.
4.(2013•重庆模拟)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,AE=BE,且AF⊥AB,连接EF.
(1)若EF⊥AF,AF=4,AB=6,求AE的长.
(2)若点F是CD的中点,求证:
CE=BE﹣AD.
【解答】解:
(1)作EM⊥AB,交AB于点M.∵AE=BE,EM⊥AB,
∴AM=BM=
×6=3;
∵EF⊥AF,
∴∠AME=∠MAF=∠AFE=90°,
∴四边形AMEF是矩形,
∴EF=AM=3;
在Rt△AFE中,AE=
=5;
(2)延长AF、BC交于点N.
∵AD∥EN,
∴∠DAF=∠N;
∵F是CD的中点,
∴DF=FC,
∵∠AFD=∠NFC,∴△ADF≌△NCF(AAS),
∴AD=CN;
∵∠B+∠N=90°,∠BAE+∠EAN=90°,
又AE=BE,∠B=∠BAE,
∴∠N=∠EAN,AE=EN,
∴BE=EN=EC+CN=EC+AD,
∴CE=BE﹣AD.
5.如图,四边形ABCD中,∠ABC=90°,点E是AB上的点,∠ECD=45°,连接ED,过D作DF⊥BC于F,DF=BC.求证:
ED﹣FC=BE.
【解答】证明:
延长EB至G,使BG=CF,连接CG,
∵DF⊥BC,
∴∠CBG=∠DFC=90°,
在△BCG和△FDC中
∴△BCG≌△FDC,
∴CD=CG,∠1=∠2,
∵∠1+∠DCF=90°,
∴∠2+∠DCF=90°,
∵∠DCE=45°,
∴∠ECG=45°,
∴∠DCE=∠ECG,
在△DEC和△EGC中,
∴△DEC≌△EGC(SAS),
∴ED=EG,
∴ED﹣FC=BE.
6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,∠ABC=∠BCD,E为AD中点,连接BE,CE
(1)求证:
BE=CE;
(2)若∠BEC=90°,过点B作BF⊥CD,垂足为点F,交CE于点G,连接DG,求证:
BG=DG+CD.
【解答】解:
∵等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,E为AD中点,
∴∠BAE=∠CDE,AE=DE,
在△BAE与△CDE中,
,
∴△BAE≌△CDE(SAS),
∴BE=CE;
(2)延长CD和BE的延长线交于H,
∵BF⊥CD,∠BEC=90°,
∴∠HEC=90°,
∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°,
∴∠EBF=∠ECH,
在△BEG和△CEH中,
,
∴△BEG≌△CEH(ASA),
∴EG=EH,BG=CH=DH+CD,
∵△BAE≌△CDE,
∴∠AEB=∠GED,
∠HED=∠AEB,
∴∠GED=∠HED,
在△GED和△HED中,
,
∴△GED≌△HED(SAS),
∴DG=DH,
∴BG=DG+CD
7.(2017秋•卢氏县校级月考)如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AD是△ABC的角平分线,∠1=∠C,求证:
AC=AB+CE.
【解答】证明:
∵∠AED=∠1+∠C,∠1=∠C,
∴∠AED=2∠C,ED=EC,AC
∵∠B=2∠C,
∴∠AED=∠B,
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠DAB=∠DAC,
在△DAB和△DAE中,
,
∴△DAB≌△DAE,
∴AB=AE,BD=DE=EC
∴AC=AE+EC=AB+CE.
8.如图,四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,E是AB的中点,DE平分∠ADC.
(1)求证:
CE平分∠BCD;
(2)求证:
AD+BC=CD;
(3)若AB=12,CD=13,求S△CDE.
【解答】
(1)证明:
作EM⊥CD垂足为M,
∵ED平分∠ADM,EA⊥AD,EM⊥CD,
∴AE=EM,
∵AE=EB,
∴EM=EB,
∵EB⊥BC,EM⊥CD,
∴EC平分∠BCD.
(2)证明:
由
(1)可知:
AE=EM=EB,
在RT△DEA和RT△DEM中,
,
∴△DEA≌△DEM,
∴DA=DM,同理可证:
CB=CM
∴CD=DM+MC=AD+BC.
(3)解:
由
(1)可知:
EM=AE=EB=
AB=6,
∵EM⊥CD,CD=13,
∴S△EDC=
•DC•EM=
×13×6=39.
9.已知:
如图,在正方形ABCD中,AD=AB,∠D=∠ABC=∠BAD=90°,E,F分别为DC,BC边上的点,且∠EAF=45°,连接EF,求证:
EF=BF+DE.
【解答】证明:
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,∠BAC=∠D=∠ABC=90°,
∴把△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,如图,
∴AG=AE,BG=DE,∠EAG=90°,∠ABG=∠D=90°,
∴点G在CB的延长线上,
∴BF+BG=GF,
∵∠EAF=45°,
∴∠GAF=45°,
在△AEF和△AGF中,
,
∴△AEF≌△AGF,
∴EF=FG,
∴EF=BF+BG=BF+DE.
10.已知如图,在△ABC中,∠B=60°,AD、CE是△ABC的角平分线,并且它们交于点O,
(1)求:
∠AOC的度数;
(2)求证:
AC=AE+CD.
【解答】
(1)解:
∵∠B=60°,
∴∠BAC+∠ACB=180°﹣60°=120°,
∵AD、CE是△ABC的角平分线,
∴∠OAC+∠OCA=
(∠BAC+∠ACB)=
×120°=60°,
在△AOC中,∠AOC=180°﹣(∠OAC+∠OCA)=180°﹣60°=120°;
(2)证明:
如图,在AC上截取AF=AE,
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠OAE=∠OAF,
在△AOE和△AOF中,
,
∴△AOE≌△AOF(SAS),
∴∠AOF=∠AOE,
∵∠AOE=180°﹣∠AOC=180°﹣120°=60°,
∴∠AOF=60°,
∵∠COF=∠AOC﹣∠AOF=120°﹣60°=60°,
∠COD=∠AOE=60°,
∴∠COD=∠COF,
∵CE是△ABC的平分线,
∴∠OCD=∠OCF,
在△COD和△COF中,
,
∴△COD≌△COF(ASA),
∴CF=CD,
∵AC=AF+CF,
∴AC=AE+CD.
11.如图,已知AB=AC,∠BAC=60°,∠BDC=120°,求证:
AD=BD+CD.
【解答】解:
延长DB,使BE=CD,连接AE,BC,
∵∠BAC+∠ACD+∠BDC+∠ABD=360°,∠BAC=60°,∠BDC=120°,
∴∠ABD+∠ACD=180°,
∴A,B,D,C四点共圆,
∴∠ACB=∠ADE,
∵∠ABD+∠ABE=180°,
∴∠ABE=∠ACD,
∵AB=AC,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∴∠ADE=60°,
在△ABE和△ACD中,
,
∴△ABE≌△ACD(SAS),
∴AE=AD,
∴△ADE是等边三角形,
∴AD=DE,
∵DE=BD+BE,
∴AD=BD+CD.
12.如图,AD∥BC,EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA,CD过点E,求证:
AB=AD+BC.
【解答】解:
过E作EF∥AD,交AB于F,
则∠DAE=∠AEF,∠EBC=∠BEF,
∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA,
∴∠EAF=∠AEF,∠EBF=∠BEF,
∴AF=EF=FB,
又∵EF∥AD∥BC,
∴EF是梯形ABCD的中位线,
∴EF=
,
∴AF+FB=2EF,
∴AB=AD+BC.
13.(2014秋•株洲县期末)如图,已知△ABC中,AB=AC,D是△ABC外一点且∠ABD=60°,∠ADB=90°﹣
∠BDC.求证:
AC=BD+CD.
【解答】证明:
以AD为轴作△ABD的对称△AB′D(如图),
则有B′D=BD,AB′=AB=AC,
∠B′=∠ABD=60°,∠ADB′=∠ADB=90°﹣
∠BDC,
所以∠ADB′+∠ADB+∠BDC=180°﹣∠BDC+∠BDC=180°,
所以C、D、B′在一条直线上,
所以△ACB′是等边三角形,
所以CA=CB′=CD+DB′=CD+BD.
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