学年高二上学期期中考试数学试题 8.docx
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学年高二上学期期中考试数学试题8
一.填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分﹒请把答案填写在答题纸相应位置上
1.抛物线的准线方程为.
2.直线的倾斜角等于.
3.已知圆的方程为,则它的圆心坐标为.
4.设满足约束条件,则的最大值为.
5.过点P(-1,3)且垂直于直线的直线方程为.
6.一元二次不等式的解集为,则=.
7.命题:
为假命题,则的取值范围是.
8.如果,那么的最小值是.
9.是直线和直线平行的_________条件.
10.已知正数x、y满足,则的最小值是.
11.直线与曲线恰有一个交点,则实数的取值范围是.
12..若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧,则.
13.已知点为椭圆内一定点,为其右焦点,为椭圆上一动点,则的最小值为.
14.设为有公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点,且,若椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,则的最小值为.
二.简答题:
本大题共6小题,共计90分﹒请在答题卡的指定区域内作答,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤﹒
15.(本小题满分14分)求适合下列条件双曲线的方程:
(1)虚轴长为12,离心率为;
(2)焦点在X轴上,顶点间距离为6,渐近线方程为
16.(本小题满分14分)
设命题.
(1)
(2)若命题是命题的一个必要不充分条件,求的取值范围.
17.(本小题满分14分)
已知椭圆C的方程为,P是该椭圆上的一个动点,F1,F2是椭圆的左右焦点.
(1)求PF1•PF2的最大值.
(2)求•的取值范围.
18.(本小题满分16分)
如图,经过B(1,2)作两条互相垂直的直线l1和l2,l1交y轴正半轴于点A,l2交x轴正半轴于点C.
(1)若A(0,1),求点C的坐标;
(2)试问是否总存在经过O,A,B,C四点的圆?
若存在,求出半径最小的圆的方程;若不存在,请说明理由.
19.(本小题满分16分)
定义在上的函数,如果满足:
对任意,存在常数,都有成立,则称是上的有界函数,其中称为函数的上界.已知函数,
(1)当时,求函数在上的值域,并判断函数在上是否为有界函数,请说明理由;
(2)若函数在上是以3为上界的有界函数,求实数的取值范围.
20.(本小题满分16分)
已知椭圆的一条准线方程为,离心率,过椭圆的下顶点任作直线与椭圆交于另一点,与准线交于点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若,求直线的方程;
(3)以为直径的圆与椭圆及准线分别交于点(异于点)、,问:
能否成立?
若成立,求出所有满足条件的直线的方程;若不存在,说明理由.
参考答案
一.填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分﹒请把答案填写在答题纸相应位置上
1.y=-12.3.4.75.
6.17.8.189.充分不必要10.11.12.1813.1014.8
二.简答题:
本大题共6小题,共计90分﹒请在答题卡的指定区域内作答,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤﹒
15.解
(1)设双曲线的标准方程为-=1或-=1(a>0,b>0).
由题意知2b=12,=,且c2=a2+b2,
∴b=6,c=10,a=8,
∴双曲线的标准方程为-=1或-=1.………………………………………7′
(2)设以y=±x为渐近线的双曲线方程为-=λ(λ>0).
a2=4λ,∴2a=2=6⇒λ=;
∴双曲线的标准方程为-=1………………………………………14′
16.解:
,.…………………2分
(1)当时,.
若“且”为真命题,则…………7分
(2)当时,,
由命题是命题的必要但不充分条件,可知是的真子集,
此时符合题意…………10分
当时,,
要使是的真子集,须,即.…………12分
当时,,满足命题是命题的必要但不充分条件.
因此,的取值范围是.………14分
17.解:
(1)由(I)可知PF1+PF2=4,
∴4=PF1+PF2≥2,
∴PF1•PF2≤4;………………………………………7′
(2)由(I)可知F1(﹣,0),F2(,0),
设P(x,y),则+y2=1,
∵=(﹣﹣x,﹣y),=(﹣x,﹣y),
∴•=(﹣﹣x,﹣y)•(﹣x,﹣y)
=x2﹣3+y2=x2﹣3+1﹣=x2﹣2,
又∵﹣2≤x≤2,∴•的取值范围[-2,1].………………14′
18.解:
(1)由直线l1经过两点A(0,1),B(1,2),得l1的方程为x﹣y+1=0.
由直线l2⊥l1,且直线l2经过点B,得l2的方程为x+y﹣3=0.
所以,点C的坐标为(3,0).………………6′
(2)因为AB⊥BC,OA⊥OC,所以总存在经过O,A,B,C四点的圆,且该圆以AC为直径.………………8′
①若l1⊥y轴,则l2∥y轴,此时四边形OABC为矩形,.…………10′
②若l1与y轴不垂直,则两条直线斜率都存在.不妨设直线l1的斜率为k,则直线l2的斜率为.
所以直线l1的方程为y﹣2=k(x﹣1),从而A(0,2﹣k);
直线l2的方程为,从而C(2k+1,0).
令解得,注意到k≠0,所以.
此时|AC|2=(2﹣k)2+(2k+1)2=5k2+5>5,,………………14′
所以半径的最小值为.
此时圆的方程为.………………16′
19.解:
(1)当时,
,
,即在的值域为………6分
故不存在常数,使成立所以函数在上不是有界函数。
…8分
(2)由题意知,在上恒成立。
………9分
,
∴在上恒成立………11分
∴
设,,,由得t≥1,
设,
所以在上递减,在上递增,……14分
(单调性不证,不扣分)
在上的最大值为,在上的最小值为
所以实数的取值范围为。
…………………………………16分
20.解:
(1)设椭圆的半焦距为,由题意得,
∴,则,
∴椭圆的标准方程为.………………………………………4′
(2)显然直线与坐标轴不垂直,设斜率为,则直线方程为,
另设点的横坐标分别为,
联立得,解得,
若,则,∴,解得或,
∴直线的方程或.…………………………10′
(3)设直线方程为,∵直径所对的圆周角为直角,∴,
设,则,解得,
将点坐标代入得,
即,,
化简整理得,∴,
故当且仅当时,,此时直线的方程为.…………………16′
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