特殊三角形常见题型精编文档doc.docx
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八年级上册第二章特殊三角形
一、将军饮马
例1如图,在正方形ABCD中,AB=9,点E在CD边上,且DE=2CE,点P是对角线AC上的一个动点,则PE+PD的最小值是( )
A、3
B、10
C、9D、9
【变式训练】
1、如图,在矩形ABCD中,AD=4,∠DAC=30°,点P、E分别在AC、AD上,则PE+PD的最小值是( )
A、2B、2
C、4D、
2、如图,∠AOB=30°,P是∠AOB内一定点,PO=10,C,D分别是OA,OB上的动点,则△PCD周长的最小值为
3、如图,∠AOB=30°,C,D分别在OA,OB上,且OC=2,OD=6,点C,D分别是AO,BO上的动点,则CM+MN+DN最小值为
4、如图,C为线段BD上一动点,分别过点B,D作AB⊥BD,DE⊥BD,连结AC,CE.
(1)已知AB=3,DE=2,BD=12,设CD=x.用含x的代数式表示AC+CE的长;
(2)请问点C满足什么条件时,AC+CE的值最小?
并求出它的最小值;
(3)根据
(2)中的规律和结论,请构图求出代数式
的最小值
二、等腰三角形中的分类讨论
例2
(1)已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm,则它的周长为
(2)已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm,则它的腰长为
(3)已知等腰三角形的周长为28cm和8cm,则它的底边为
【变式训练】
1、已知等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm,则周长为
2、已知等腰三角形的一个角是另一个角的4倍,则它的各个内角的度数为
3、已知等腰三角形的一个外角等于150°,则它的各个内角的度数为
4、已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°,则它的各个内角的度数
5、已知等腰三角形底边为5cm,一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm,则腰长为
6、在三角形ABC中,AB=AC,AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°,则底角∠B的度数为
7、如图,A、B是4×5的网格中的格点,网格中每个小正方形的边长都是单位1,请在图中清晰地标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置
三、两圆一线定等腰
例3在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,3),在坐标轴上找一点P,使得△AOP是等腰三角形,则这样的点P共有个
【变式训练】
1、在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,
),在坐标轴上找一点P,使得△AOP是等腰三角形,则符合条件的点P的个数为( )
A.5B.6C.7D.8
2、在平面直角坐标系中,若点A(2,0),点B(0,1),在坐标轴上找一点C,使得△ABC是等腰三角形,这样的点C可以找到个.
3、在坐标平面内有一点A(2,
),O为原点,在x轴上找一点B,使O,A,B为顶点的三角形为等腰三角形,写出B点坐标
4、平面直角坐标系中,已知点A(4,2),B(4,-3),试在y轴上找一点P,使△APB为等腰三角形,求点P的坐标
5、如图1,已知一次函数分别与x、y轴交于A、B两点,过点B的直线BC交x轴负半轴与点C,且OC=
OB.
(1)求直线BC的函数表达式;
(2)如图2,若△ABC中,∠ACB的平分线CF与∠BAE的平分线AF相交于点F,求证:
∠AFC=
∠ABC;
(3)在x轴上是否存在点P,使△ABP为等腰三角形?
若存在,请直接写出P点的坐标;若不存在,请说明理由
四、折叠问题
例4:
如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,将矩形折叠,使得点D落在线段BC的点F处,则线段DE的长为
【变式训练】
1、如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,将矩形折叠,使得点B落在对角线AC的点F处,则线段BE的长为
2、如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,沿EF将矩形折叠,使A、C重合,若,则折痕EF的长为
3、如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,沿AC将矩形折叠,使得点B落在点E处,则线段EF的长为
4、如图,将边长为4的正方形纸片,置于平面直角坐标系内,顶点A在坐标原点,AB在x轴正方向上,E、F分别是AD、BC的中点,M在DC上,将△ADM沿折痕AM折叠,使点D折叠后恰好落在EF上的P点处.
(1)求点M、P的坐标;
(2)求折痕AM所在直线的解析式;
(3)设点H为直线AM上的点,是否存在这样的点H,使得以H、A、P为顶点的三角形为等腰三角形?
若存在,请直接写出点H的坐标;若不存在,请说明理由.
例5如图,在△ABC中,BD、CE分别是边AC、AB上的高线.
(1)如果BD=CE,那么△ABC是等腰三角形,请说明理由;
(2)如果∠A=60°,取BC中点F,连结点D、E、F得到△DEF,请判断该三角形的形状,并说明理由;
(3)如果点G是ED的中点,求证:
FG⊥DE
【变式训练】
1、如图,点M是Rt△ABC斜边BC的中点,点P、Q分别在AB、AC上,且PM⊥QM.
(1)如图1,若P、Q分别是AB、AC的中点,求证:
PQ2=PB2+QC2;
(2)如图2,若P、Q分别是线段AB、AC的动点(不与端点重合)
(1)中的结论还成立吗?
若成立请给与证明,若不成立请说明理由
2、问题发现:
如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连接BE.
(1)求证:
△ACD≌△BCE;
(2)填空:
∠AEB的度数为;
拓展探究:
如图2,△ACB和△DCE均为等腰三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线上,点M为AB的中点,连接BE、CM、EM,求证:
CM=EM.
全等之三垂直(K型图)
例1如图,已知AC⊥CF,EF⊥CF,AB⊥BE,AB=BE求证:
AC=BF,BC=EF
1、如图,已知,AC⊥CF,EF⊥CF,AB⊥CE,AC=CF求证:
AB=CE
2、已知,AC⊥CF,EF⊥CF,AG⊥CE,AG=CE求证:
AG=CF
3、如图:
已知,AE⊥BD,CD⊥BD,∠ABC=90°,AB=AC,求证:
AE=BD,BE=CD
4、如图,点A是直线在第一象限内的一点;连接OA,以OA为斜边向上作等腰直角三角形OAB,若点A的横坐标为4,则点B的坐标为
5、已知:
如图,点B,C,E在同一条直线上,∠B=∠E=60°,∠ACF=60°,且AB=CE
证明:
△ACB≌△CFE
全等之手拉手模型
例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE,连接AE与CD,证明:
(1)
△ABE≌△DBC
(2)AE=DC
(3)AE与DC的夹角为60。
(4)△AGB≌△DFB
(5)△EGB≌△CFB
(6)BH平分∠AHC
(7)GF∥AC
1、如果两个等边三角形△ABD和△BCE,连接AE与CD,证明:
(1)△ABE≌△DBC
(2)AE=DC
(3)AE与DC的夹角为60。
(4)AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC
2、如果两个等边三角形△ABD和△BCE,连接AE与CD,证明:
(1)△ABE≌△DBC
(2)AE=DC
(3)AE与DC的夹角为60。
(4)AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC
3、如图,两个正方形ABCD和DEFG,连接AG与CE,二者相交于H
问:
(1)△ADG≌△CDE是否成立?
(2)AG是否与CE相等?
(3)AG与CE之间的夹角为多少度?
(4)HD是否平分∠AHE?
4、如图两个等腰直角三角形ADC与EDG,连接AG,CE,二者相交于H.
问
(1)△ADG≌△CDE是否成立?
(2)AG是否与CE相等?
(3)AG与CE之间的夹角为多少度?
(4)HD是否平分∠AHE?
5、两个等腰三角形ABD与BCE,其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a
连接AE与CD.
问
(1)△ABE≌△DBC是否成立?
(2)AE是否与CD相等?
(3)AE与CD之间的夹角为多少度?
(4)HB是否平分∠AHC?
钢架中的等腰三角形
例1如图钢架中,∠A=10°,焊上等长的钢条来加固钢架.若AB=BC=CD=DE…一直作下去,那么图中这样的钢条至多需要根
1、如图钢架中,焊上等长的钢条P1P2,P2P3,P3P4,P4P5…至多需要8根加固钢架,若P1A=P1P2,则∠A=.
2、如图钢架BAC中,焊上等长的钢条来加固钢架,若P1A=P1P2,量得
∠BP5P4=100°,则∠A=( )度.
A.10B.20C.15D.25
3、如图钢架BAC中,焊上等长的钢条P1P2,P2P3,P3P4,P4P5来加固钢架,
若P1A=P1P2,则∠A的取值范围.
4、如图钢架中,焊上等长的13根钢条来加固钢架,若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A,则∠A的度数是
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