人教版学年度九年级数学上册第二十二章二次函数222二次函数与一元二次方程同步练习新版.docx
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人教版学年度九年级数学上册第二十二章二次函数222二次函数与一元二次方程同步练习新版
22.2二次函数与一元二次方程
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________
一.选择题(共12小题)
1.抛物线y=x2﹣x﹣6与x轴的交点坐标是( )
A.(3,0)B.(﹣2,0)
C.(﹣6,0),(1,0)D.(3,0),(﹣2,0)
2.下列二次函数中,( )的图象与x轴没有交点.
A.y=3x2B.y=2x2﹣4C.y=3x2﹣3x+5D.y=8x2+5x﹣3
3.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴两交点的横坐标分别为x1,x2,且x1<0<x2,则当ax2+bx+c≤0时,x的取值范围是( )
A.x1<x<x2B.x1≤x≤x2C.﹣x1≤x≤x2D.x≤x1或x≥x2
4.如果二次函数y=﹣x2﹣2x+c的图象在x轴的下方,则c的取值范围为( )
A.c<﹣1B.c≤﹣1C.c<0D.c<1
5.根据抛物线y=x2+3x﹣1与x轴的交点的坐标,可以求出下列方程中哪个方程的近似解( )
A.x2﹣1=﹣3xB.x2+3x+1=0C.3x2+x﹣1=0D.x2﹣3x+1=0
6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标(﹣1,﹣3.2)及部分图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=( )
A.﹣1.3B.﹣2.3C.﹣0.3D.﹣3.3
7.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣1,0)、点B(3,0)、点C(4,y1),若点D(x2,y2)是抛物线上任意一点,有下列结论:
①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a;
②若﹣1≤x2≤4,则0≤y2≤5a;
③若y2>y1,则x2>4;
④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和
其中正确结论的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
8.函数y=ax2+2ax+m(a<0)的图象过点(2,0),则使函数值y<0成立的x的取值范围是( )
A.x<﹣4或x>2B.﹣4<x<2C.x<0或x>2D.0<x<2
9.对于抛物线y=ax2+(2a﹣1)x+a﹣3,当x=1时,y>0,则这条抛物线的顶点一定在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
10.已知函数y=﹣(x﹣m)(x﹣n)+3,并且a,b是方程(x﹣m)(x﹣n)=3的两个根,则实数m,n,a,b的大小关系可能是( )
A.m<a<b<nB.m<a<n<bC.a<m<b<nD.a<m<n<b
11.关于x的方程(x﹣3)(x﹣5)=m(m>0)有两个实数根α,β(α<β),则下列选项正确的是( )
A.3<α<β<5B.3<α<5<βC.α<2<β<5D.α<3且β>5
12.若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=1,x2=2,那么抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线( )
A.x=1B.x=2C.x=
D.x=﹣
二.填空题(共5小题)
13.若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为 .
14.如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是 .
15.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为 .
16.已知抛物线y=x2﹣(k﹣1)x﹣3k﹣2与x轴交于A(α,0),B(β,0)两点,且α2+β2=17,则k= .
17.已知一元二次方程(x﹣1)(x﹣3)=5的两个实数根分别为x1,x2.则抛物线y=(x﹣x1)(x﹣x2)+5与x轴的交点坐标为 .
三.解答题(共4小题)
18.已知关于x的一元二次方程mx2+(1﹣5m)x﹣5=0(m≠0).
(1)求证:
无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根;
(2)若抛物线y=mx2+(1﹣5m)x﹣5=0与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且|x1﹣x2|=6,求m的值;
(3)若m>0,点P(a,b)与Q(a+n,b)在
(2)中的抛物线上(点P、Q不重合),求代数式4a2﹣n2+8n的值.
19.设二次函数y=ax2+bx﹣(a+b)(a,b是常数,a≠0).
(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数,说明理由.
(2)若该二次函数图象经过A(﹣1,4),B(0,﹣1),C(1,1)三个点中的其中两个点,求该二次函数的表达式.
(3)若a+b<0,点P(2,m)(m>0)在该二次函数图象上,求证:
a>0.
20.已知二次函数y=2(x﹣1)(x﹣m﹣3)(m为常数).
(1)求证:
不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点;
(2)当m取什么值时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方?
21.如图,抛物线y=﹣
x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,已知点A(﹣1,0),点C(0,2)
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)若D是抛物线位于第一象限上的动点,求△BCD面积的最大值及此时点D的坐标.
参考答案与试题解析
一.选择题(共12小题)
1.
解:
令y=0,求出x的值为﹣2与3,故交点坐标为(3,0),(﹣2,0),
故选:
D.
2.
解:
利用△=b2﹣4ac分别判断每个二次函数,
A项函数△=0,图象与x轴一个交点;
B项函数△=32>0,图象与x轴有两个交点;
C项函数△=﹣51<0,图象与x轴没有交点;
D项函数△=76>0,图象与x轴有两个交点.
故选:
C.
3.
解:
当ax2+bx+c≤0时,即y≤0,由图象可知:
x1≤x≤x2时,y≤0
∴当ax2+bx+c≤0时,x的取值范围是x1≤x≤x2.
故选:
B.
4.
解:
由题意得
,解得c<﹣1,
故选:
A.
5.
解:
∵抛物线y=x2+3x﹣1与x轴的交点的横坐标就是方程x2+3x﹣1=0的根,
∴可以求出方程x2+3x﹣1=0的根,
方程x2﹣1=﹣3x与方程x2+3x﹣1=0等价,
∴可以求出方程x2﹣1=﹣3x的根.
故选:
A.
6.
解:
方法一:
∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标(﹣1,﹣3.2)
∴﹣
=﹣1则﹣
=﹣2
∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根
∴x1+x2=﹣
又∵x1=1.3
∴x1+x2=1.3+x2=﹣2
解得x2=﹣3.3.
方法二:
根据对称轴为;x=﹣1,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3,
则
=﹣1,即
=﹣1,
解得:
x2=﹣3.3,
故选:
D.
7.
解:
抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),
即y=ax2﹣2ax﹣3a,
∵y=a(x﹣1)2﹣4a,
∴当x=1时,二次函数有最小值﹣4a,所以①正确;
当x=4时,y=a•5•1=5a,
∴当﹣1≤x2≤4,则﹣4a≤y2≤5a,所以②错误;
∵点C(1,5a)关于直线x=1的对称点为(﹣2,﹣5a),
∴当y2>y1,则x2>4或x<﹣2,所以③错误;
∵b=﹣2a,c=﹣3a,
∴方程cx2+bx+a=0化为﹣3ax2﹣2ax+a=0,
整理得3x2+2x﹣1=0,解得x1=﹣1,x2=
,所以④正确.
故选:
B.
8.
解:
抛物线y=ax2+2ax+m得对称轴为直线x=﹣
=﹣1,
而抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0),
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(﹣4,0),
∵a<0,
∴抛物线开口向下,
∴当x<﹣4或x>2时,y<0.
故选:
A.
9.
解:
把x=1,y>0代入解析式可得:
a+2a﹣1+a﹣3>0,
解得:
a>1,
所以可得:
﹣
,
,
所以这条抛物线的顶点一定在第三象限,
故选:
C.
10.
解:
函数y=﹣(x﹣m)(x﹣n)+3,
令y=0,根据题意得到方程(x﹣m)(x﹣n)=3的两个根为a,b,
∵当x=m或n时,y=3>0,
∴实数m,n,a,b的大小关系为a<m<n<b.
故选:
D.
11.
解:
将抛物线y=(x﹣3)(x﹣5)往下平移m个单位可得出抛物线y=(x﹣3)(x﹣5)﹣m,
画出函数图象,如图所示.
∵抛物线y=(x﹣3)(x﹣5)与x轴的交点坐标为(3,0)、(5,0),抛物线y=(x﹣3)(x﹣5)﹣m与x轴的交点坐标为(α,0)、(β,0),
∴α<3<5<β.
故选:
D.
12.
解:
∵方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=1、x2=2,
∴抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点坐标为(1,0)、(2,0),
∴抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=
=
.
故选:
C.
二.填空题(共5小题)
13.
解:
∵函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点,
∴△=22﹣4×1×(﹣m)=0,
解得:
m=﹣1.
故答案为:
﹣1.
14.
解:
∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2,4),B(1,1),
∴方程组
的解为
,
,
即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2,x2=1.
所以方程ax2=bx+c的解是x1=﹣2,x2=1
故答案为x1=﹣2,x2=1.
15.
解:
∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=1,
∴﹣
=1,
∴b=﹣2a,
∴关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为﹣
=2.
故答案为:
2.
16.
解:
∵抛物线y=x2﹣(k﹣1)x﹣3k﹣2与x轴交于A(α,0),B(β,0)两点,
∴α+β=k﹣1,αβ=﹣3k﹣2,
∵α2+β2=17,
∴α2+β2=(α+β)2﹣2αβ=(k﹣1)2﹣2(﹣3k﹣2)=17,
解得,k=2或k=﹣6,
∵△≥0,
∴k=2.
故答案为:
2.
17.
解:
∵一元二次方程(x﹣1)(x﹣3)=5的两个实数根分别为x1、x2,
∴抛物线y=(x﹣1)(x﹣3)﹣5与x轴交于点(x1,0)、(x2,0),
∴y=(x﹣1)(x﹣3)﹣5=(x﹣x1)(x﹣x2),
∴y=(x﹣x1)(x﹣x2)+5=(x﹣1)(x﹣3),
∴抛物线y=(x﹣x1)(x﹣x2)+5与x轴的交点坐标为(1,0)、(3,0).
故答案为:
(1,0)、(3,0).
三.解答题(共4小题)
18.
(1)证明:
由题意可得:
△=(1﹣5m)2﹣4m×(﹣5)
=1+25m2﹣20m+20m
=25m2+1>0,
故无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根;
(2)解:
mx2+(1﹣5m)x﹣5=0,
解得:
x1=﹣
,x2=5,
由|x1﹣x2|=6,
得|﹣
﹣5|=6,
解得:
m=1或m=﹣
;
(3)解:
由
(2)得,当m>0时,m=1,
此时抛物线为y=x2﹣4x﹣5,其对称轴为:
x=2,
由题已知,P,Q关于x=2对称,
∴
=2,即2a=4﹣n,
∴4a2﹣n2+8n=(4﹣n)2﹣n2+8n=16.
19.
解:
(1)
由题意△=b2﹣4•a[﹣(a+b)]=b2+4ab+4a2=(2a+b)2≥0
∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个
(2)当x=1时,y=a+b﹣(a+b)=0
∴抛物线不经过点C
把点A(﹣1,4),B(0,﹣1)分别代入得
解得
∴抛物线解析式为y=3x2﹣2x﹣1
(3)当x=2时
m=4a+2b﹣(a+b)=3a+b>0①
∵a+b<0
∴﹣a﹣b>0②
①②相加得:
2a>0
∴a>0
20.
(1)证明:
当y=0时,2(x﹣1)(x﹣m﹣3)=0,
解得:
x1=1,x2=m+3.
当m+3=1,即m=﹣2时,方程有两个相等的实数根;
当m+3≠1,即m≠﹣2时,方程有两个不相等的实数根.
∴不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点;
(2)解:
当x=0时,y=2(x﹣1)(x﹣m﹣3)=2m+6,
∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6,
∴当2m+6>0,即m>﹣3时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方.
21.
解:
(1)将A,C代入得:
,
解得:
,
则抛物线的函数解析式为y=﹣
x2+
x+2;
(2)连接OD,则有B(4,0),设D(m,﹣
m2+
m+2),
∵S四边形OCDB﹣S△OCD﹣S△OBD=
×2m+
×4(﹣
m2+
m+2)=﹣m2+4m+4,
∴S△BCD=S四边形OCDB﹣S△OBC=﹣m2+4m+4﹣
×4×2=﹣m2+4m=﹣(m﹣2)2+4,
当m=2时,S△BCD取得最大值4,
此时yD=﹣
×4+
×2+2=3,即D(2,3).
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