FIR数字滤波器设计.docx
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FIR数字滤波器设计
第五章FIR数字滤波器设计
5.2.4几种常用窗函数
设计FIRDF时,窗函数不仅可以影响过渡带宽度,还能影响肩峰和波动的大小,因此,
选择窗函数应使其频谱:
(1)主瓣宽度尽量小,以使过渡带尽量陡。
(2)旁瓣相对于主瓣越小越好,这样可使肩峰和波动减小,即能量尽可能集中于主瓣内。
对于窗函数,这两个要求是相互矛盾的,要根据需要进行折衷的选择,为了定量地比较
各种窗函数的性能,给出三个频域指标:
(1)3db带宽B,单位为
(最大可能的频率分辨力)
(2)最大旁瓣峰值A(dB),A越小,由旁瓣引起的谱失真越小
(3)旁瓣谱峰渐进衰减速度D(dB/oct)
一个理想的窗口,应该有最小的B、A及最大的D。
1、基本窗
(1)矩形窗
在Matlab中,实现矩形窗的函数为w=boxcar(n)。
(2)三角窗(或巴特利特Bartlett窗)
由于矩形窗从0到1(或1到0)有一个突变的过渡带,这造成了吉布斯现象。
Bartlett提出了一种逐渐过渡的三角窗形式,它是两个矩形窗的卷积。
在Matlab中,函数bartlett(n)和triang(n)用来计算相似的三角窗,但它们有两个重
要的区别:
bartlett函数返回的序列两端总是0,因此,对于奇数n,语句bartlett(n+2)的中间部分等于triang(n);对于偶数n,bartlett仍然是两个矩形序列的卷积,但n为偶数时的三角窗没有标准定义。
(2)余弦窗
2、升余弦窗
汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗都是升余弦窗的特例,它们都是频率为0~2π/(N-1)和
4π/(N-1)的余弦序列的组合。
其中A、B、C为常数。
升余弦窗的频率特性比矩形窗有很大改善。
当A=0.5,B=0.5,C=0时,为汉宁(Hanning)窗。
Matlab中,w=hanning(n)
当A=0.54,B=0.46,C=0时,为汉明窗。
Matlab中,w=hamming(n)
当A=0.42,B=0.5,C=0.08时,为布莱克曼窗。
Matlab中,w=blackman(n)
(1)汉宁(Hanning)窗——升余弦窗
(2)汉明(Hamming)窗——改进的升余弦窗
(3)布莱克曼(Blackman)窗——二阶升余弦窗
比较以上窗函数,可以看到,矩形窗函数具有最窄的主瓣B,但也有最大的边瓣峰值A
和最慢的衰减速度D。
汉宁Hanning窗的主瓣稍宽,但有着较小的旁瓣和较大的衰减速度,因而被认为是较好
的窗口。
3、凯瑟(Kaiser)窗
上面讨论的几种窗函数都是以牺牲一定的主瓣宽度为代价,来获得某种程度的旁瓣抑制
,而Kaiser窗全面反映了这种主瓣和旁瓣衰减之间的交换关系,它定义了一组可调的由零阶贝塞尔Bessel函数构成的窗函数,通过调整参数β可以在主瓣宽度和旁瓣衰减之间自由选择它们的比重。
对于某一长度的Kaiser窗,给定β,则旁瓣高度也就固定了。
Kaiser窗函数由J.F.Kaiser提出,由下是给出:
其中I0是修正过的零阶贝塞尔Bessel函数,β是用来调整窗形状的参数,β依赖于参数N,选择N可产生各种过渡带和接近最优的阻带衰减。
对于相同的N,Kaiser窗可以提供不同的过渡带宽,这是其他窗函数做不到的。
例如
如果β=5.658,则过渡带宽等于7.8pi/N,最小阻带衰减为60dB,如下图所示。
下面是β分别取1、10、20等不同值时,几个长为50的Kaiser窗。
从图中可以看出,参数β选得越大,其频谱的旁瓣越小,但主瓣宽度也相应地增加,因
从图中可以看出,参数β选得越大,其频谱的旁瓣越小,但主瓣宽度也相应地增加,因
下面固定β,当窗的长度变化时,相应的旁瓣的高度保持不变。
由于Bessel函数的复杂性,这种窗的设计公式很难推导,为此,Kaiser开发了经验公
式。
给定wp、ws、Rp和As,参数β定义如下:
对于过渡带宽△w=ws-wp(rad/s),滤波器阶数为
阶数为N的滤波器大致能满足要求,但最后的结构还必须要演算以便证明这一点。
在Matlab中,函数w=kaiser(n,beta)实现Kaiser窗。
4、切比雪夫(Chebyshev)窗
在给定旁瓣高度下,Chebyshev窗的主瓣宽度最小,具有等波动性,也就是说,其所有
的旁瓣都具有相等的高度。
在Matlab中,函数w=chebwin(n,r)以窗长度和旁瓣高度为参数计算切比雪夫窗。
Chebyshev仅对奇数长度的窗有定义,若n为偶数,函数w=chebwin(n,r)先将它加1,然后设计长为n+1的切比雪夫窗。
其傅立叶变换的旁瓣幅度低于主瓣rdB。
此外,还有Papoulis窗、Parzen窗、Poisson窗、Cauchy窗、Gaussian窗、Bartlett-Hann、Blackman-Harris、Nuttall'sBlackman-Harris、Bohman、FlatTopwindow、Hann、Parzen(delaValle-Poussin)、Taperedcosine等。
Matlab窗设计和分析工具(WinTool)具有GUI界面,可以用来设计和分析窗函数,
其用法:
>>wintool
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