商丘二模 河南省商丘市届高三第二次模拟考试数学理试题 扫描版含答案.docx

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商丘二模河南省商丘市届高三第二次模拟考试数学理试题扫描版含答案

商丘市2015年高三第二次模拟考试

数学（理科）参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）DAACDDBBCDAB

二、填空题（每小题5分，共20分）（13）；（14）；（15）；（16）.

三、解答题（共70分）

（17）解：

（Ⅰ）法一：

设正项等差数列的首项为，公差为，，

则……………………………………………………2分

得……………………………………………………………………4分

.………………………………………………6分

法二：

是等差数列且，，

又……………………………………………2分

，，…………………………3分

………………………………………………4分

.……………………………………………………………6分

（Ⅱ），且，.

当时，

，……8分

当时，满足上式，.……………………9分

.………………………………10分

.………12分

（18）解：

（Ⅰ）记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则事件的对立事件为事件.……………………………………1分

而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，

故,………………………3分

从而.…………………………………4分

（Ⅱ）显然，随机变量的所有可能取值为.……………………5分

且.………………………………………6分

故，，

，，

.

则的分布列为

0

………………………………10分

故的数学期望为.……………………12分

（19）解：

（Ⅰ）证明：

取的中点，连接．

∵，∴.……………………1分

又四边形是菱形，且，

∴是等边三角形，∴.………………2分

又，∴，

又，∴.……………………………………4分

（Ⅱ）由，，易求得，，

∴，.……………………………5分

以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直坐标系，则，，，，

∴，，.………………6分

设平面的一个法向量为，则，，

∴，∴，，∴.………8分

设平面的一个法向量为，则，，

∴，∴，，∴.……10分

∴，

∵二面角为钝角，∴二面角的余弦值为.12分

（20）解：

（Ⅰ）由题意，以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为，

∴圆心到直线的距离（*）………………1分

∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，

∴,，代入（*）式得，∴，

故所求椭圆方程为………………………4分

（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设，

将直线方程代入椭圆方程得：

，

∴，∴.

设,，则，…………6分

由，

当,直线为轴，点在椭圆上适合题意；…………7分

当，得

∴.……………………8分

将上式代入椭圆方程得：

，

整理得：

，由知，，…10分

所以，…………………………11分

综上可得.…………………………12分

（21）解：

（Ⅰ）当时，，

则，…………………1分

令，得或；令，得，

∴函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.……………4分

（Ⅱ）由题意，

（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，不存在实数，使得当时，函数的最大值为.……6分

（2）当时，令，有，，

①当时，函数在上单调递增，显然符合题意.……7分

②当即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，且，

要使对任意实数，当时，函数的最大值为，只需，解得，又，

所以此时实数的取值范围是.……………9分

③当即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，要存在实数，使得当时，

函数的最大值为，需，

代入化简得，①

令，因为恒成立，故恒有，所以时，①式恒成立，

综上，实数的取值范围是.……………12分

（22）解：

（Ⅰ）∵与⊙相切于点，

∴.…………………2分

又，

∴，

∴.…………………………5分

（Ⅱ）∵四边形内接于⊙，

∴，……………6分

又，∴∽.……8分

∴，即，∴.………10分

（23）解：

（Ⅰ），,……3分

，即.……………5分

（Ⅱ）解法一：

由已知可得，曲线上的点的坐标为，

所以，曲线上的点到直线的距离

.………10分

解法二：

曲线为以为圆心，为半径的圆.圆心到直线的距离为,

所以，最大距离为.………………10分

（24）解：

（Ⅰ）不等式可化为，…………1分

∴，即,……2分

∵其解集为，∴，.………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

（方法一：

利用基本不等式）

∵，

∴，∴当且仅当时，取最小值为.………10分

.（方法二：

利用柯西不等式）

∵，

∴，∴当且仅当时，取最小值为.……10分

（方法三：

消元法求二次函数的最值）

∵，∴，

∴，

∴当且仅当时，取最小值为.…………10分