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311应力状态分析
第13章应力分析stressanalysis
本章内容:
应用塑性力学分析金属在外力作用下的变形行为
本章重点:
点的应力状态分析
应力stress:
单位面积上的内力。
材料力学方法:
切面法,将物体切开,利用内力外力平衡条件求切面上的应力分布。
塑性力学方法:
把物体切成无数个微六面体(或其他形状),称微元体或单元体,根据单元体静力平衡条件写出平衡微分方程,再考虑其他条件求解。
满足条件:
连续,均质,同性,平衡,无体积力,体积不变。
可列方程:
平衡微分方程(平衡,3个),
几何方程(连续均质,6个),
物理方程(应力应变关系,6个)
屈服准则(1个)
(共16个)
变量(共18个):
坐标x,y,z,位移u,v,w,应力6个,应变6个。
力的类型有面力:
作用力,反作用力,摩擦力
体积力:
重力,磁力,惯性力——高速成形不能忽略
13.1应力状态分析
目标:
任意一点的应力状态stressstate——整个变形体的应力状态
13.1.1应力分析截面法
外力outsideforces——产生内力
应力:
正应力(stress)σ,切应力(shearstress)τ
要点:
截开物体后,内力变外力。
13.1.1.1单向拉伸uniaxialtensile应力分析
C1面上全应力:
S=F/A=F/(A0/cosθ)=σ0cosθ
正应力:
σ=Scosθ=σ0cos2θ
切应力:
τ=Ssinθ=σ0cosθsinθ
结论:
任意方向都可由σ0和θ确定其全应力S,正应力σ,切应力τ,即:
单向拉伸只需σ0即可确定任意面的应力状态。
13.1.1.2两向应力状态
设任意斜面AB(夹角θ)上的全应力S,
S可以分解为正应力σ,切应力τ
由于静力平衡
即有:
解得:
13.1.2应力分析单元体法
变形体多向受力,用截面法不全面,需改进——单元体法!
设物体内任一单元体受力,将全应力均加以分解后,得九个应力分量stresscomponents,可写为矩阵:
作用面
作用方向
注意:
应力是张量tensor(标量,矢量,张量)
张量的定义:
满足坐标系转换关系的分量集合
正负号:
正面正向、负面负向取正号,正面负向、负面正向取负号。
单元体平衡有:
τxy=τyxτxz=τzxτyz=τzy
因此σij=
是对称张量
当同一单元取不同坐标系时,各应力值会不一样,但是点的应力状态未改变。
圆柱坐标——柱坐标应力张量
球坐标——球坐标应力张量
13.1.3任意斜面上的应力stressontheobliqueplane
已知应力状态σij=
,求斜面ABC上的应力(全应力S,正应力σ,切应力τ),设斜面ABC的法线方向余弦为l,m,n即:
l=cos(N,x)m=cos(N,y)n=cos(N,z)
解:
将全应力沿坐标方向分解为:
SxSySz
由静力平衡forceequilibrium
SxdA-σxdAx-τyxdAy-τzxdAz=0
而dAx=ldAdAy=mdAdAz=ndA
所以Sx=σxl+τyxm+τzxn
同理Sy=τxyl+σym+τzyn
Sz=τxzl+τyzm+σzn
因此S2=Sx2+Sy2+Sz2
σ=Sxl+Sym+Szn
=σxl2+σym2+σxn2+2(τxylm+τyzmn+τxzln)
τ2=S2-σ2
习题:
13章1、7
1、什么叫张量?
张量有什么性质?
7、已知受力物体内一点的应力张量为
Mpa,求外法线方向余弦为
的斜切面上的全应力、正应力和切应力。
13.1.4主应力与应力不变量stressinvariants
主平面principalplane——切应力为0的平面。
主应力principalstress——主平面上的正应力。
应力主轴(主方向)——主平面的法线方向。
也就是将
变换为
,即将实对称阵变为对角阵。
13.1.4.1任意坐标系
设ABC为主平面,在主平面上有τ=0
由于τ2=S2-σ2即可得S=σ
所以Sx=Sl=σlSy=σmSz=σn
因此有:
(σx-σ)l+τyxm+τzxn=0
τxyl+(σy-σ)m+τzyn=0
τxzl+τyzm+(σz-σ)n=0
而:
l2+m2+n2=1此为隐含条件
所以有:
此式即
展开整理为:
σ3-J1σ2-J2σ-J3=0*****
其中:
J1=σx+σy+σz
可以求出三个实根σ1σ2σ3
分别代入前式可求出三个主方向:
l1m1n1l2m2n2l3m3n3
注意:
应力状态确定——主应力唯一,即方程*****唯一,也即J1J2J3为不变值,分别为应力张量的第一不变量J1第二不变量J2第三不变量J3
应力不变量stressinvariants
13.1.4.2主轴坐标系
若以主应力(σ1σ2σ3方向即主轴方向)作坐标系,则坐标轴为1,2,3方向轴。
此时
,
在此坐标系下的任意斜面(l,m,n)上有:
S1=σ1lS2=σ2mS3=σ3n
以及:
S2=σ12l2+σ22m2+σ32n2
σ=σ1l2+σ2m2+σ3n2
τ2=S2-σ2
而且:
J1=σ1+σ2+σ3
J2=-(σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1)
J3=σ1σ2σ3
又由于:
l2+m2+n2=1
所以有:
此方程为一椭球面方程,称应力椭球面。
其中S1S2S3分别表示全应力S在1,2,3轴向上的投影。
概念:
单向应力状态——两个主应力为0
平面应力状态——一个主应力为0
可以分别写出单向应力状态和平面应力状态的应力张量
13.1.4.3解例
例题:
Mpa,求主应力及主方向
解:
方法1,可以求J1J2J3,然后求解。
方法2,用
即
行变换后
即
再列变换有
所以:
σ1=20,σ2=0,σ3=-10
注意:
σ1σ2σ3按大小顺序排列。
将σ1=20代入求l1m1n1有方程组:
(10-σ1)l+0×m-10n=0
0×l+(-10-σ1)m+0×n=0
-10×l+0×m+(10-σ1)n=0
且有:
l2+m2+n2=1
可求出:
l1=-n1=±
m1=0
同理代入σ2=0可求出l2=n2=±
m2=0
σ3=-10可求出l3=n3=0m3=±1
实际上解本题:
将对称阵经正交变换转变为对角阵,且求正交变换,即:
已知
,求
使
练习:
Mpa,求主应力及主方向。
13.1.5主切应力和最大切应力maximumshearstress
主切应力principalshearstress——当切应力为极大值时,注意:
此时正应力不一定为0。
推导:
取应力主轴作为坐标轴
τ2=S2-σ2
=σ12l2+σ22m2+σ32n2-(σ1l2+σ2m2+σ3n2)
求τ的极值且条件为l2+m2+n2=1
解出三个极值为:
l=0m=±
n=±
此时τ23=±(σ2-σ3)/2
此面上有σ=(σ2+σ3)/2
l=±
m=0n=±
此时τ31=±(σ3–σ1)/2
此面上有σ=(σ1+σ3)/2
l=±
m=±
n=0
此时τ12=±(σ1–σ2)/2
此面上有σ=(σ1+σ2)/2
若σ1>σ2>σ3则τmax=(σ1–σ3)/2
此切应力为最大值即最大切应力。
主切应力平面
特性:
1)三向等拉等压状态σ1=σ2=σ3=±σ,则
τ12=τ23=τ13=0
2)三应力同时增减同值时,主切应力值不变。
13.1.6应力球张量与应力偏张量sphericaltensorofstressanddeviatortensorofstress
13.1.6.1应力张量的分解
σij=
应力偏张量应力球张量
其中:
σm=(σx+σy+σz)/3=J1/3
特点:
应力偏张量使形状变化,应力球张量使体积变化
结论:
材料的塑性变形由应力偏张量引起。
13.1.6.2应力偏张量性质
应力偏张量有三个不变量J1/J2/J3/
其中J1/=0J2/和J3/的表达式与前述类似。
在主坐标系中有:
J1/=0
J2/=[(σ1–σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3–σ1)2]/6
J3/=σ1,σ2,σ3,
作用:
根据应力偏张量判断变形类型
J3/>0伸长,J3/<0压缩,J3/=0平面应变
在三向静水压力下金属如何变形?
习题:
13章4、8
4、应力偏张量和应力球张量的物理意义是什么?
8、已知受力体内一点的应力张量分别为
MPa,
MPa,
MPa,
(1)画出该点的应力单元体
(2)求出该点的主应力及主方向、主切应力、最大切应力、等效应力。
(3)画出该点的应力莫尔圆。
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