精品教案 113 集合的基本运算.docx
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精品教案113集合的基本运算
1.1.3 集合的基本运算
教学分析
课本从学生熟悉的集合出发,结合实例,通过类比实数加法运算引入集合间的运算,同时,结合相关内容介绍子集和全集等概念.在安排这部分内容时,课本继续注重体现逻辑思考的方法,如类比等.
值得注意的问题:
在全集和补集的教学中,应注意利用图形的直观作用,帮助学生理解补集的概念,并能够用直观图进行求补集的运算.
三维目标
1.理解两个集合的并集与交集、全集的含义,掌握求两个简单集合的交集与并集的方法,会求给定子集的补集,感受集合作为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确,进一步提高类比的能力.
2.通过观察和类比,借助Venn图理解集合的基本运算.体会直观图示对理解抽象概念的作用,培养数形结合的思想.
重点难点
教学重点:
交集与并集、全集与补集的概念.
教学难点:
理解交集与并集的概念,以及符号之间的区别与联系.
课时安排
2课时
第1课时
导入新课
思路1.我们知道,实数有加法运算,两个实数可以相加,例如5+3=8.类比实数的加法运算,集合是否也可以“相加”呢?
教师直接点出课题.
思路2.请同学们考察下列各个集合,你能说出集合C与集合A,B之间的关系吗?
(1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6};
(2)A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},C={x|x是实数}.
引导学生通过观察、类比、思考和交流,得出结论.教师强调集合也有运算,这就是我们本节课所要学习的内容.
思路3.
(1)①如图1甲和乙所示,观察两个图的阴影部分,它们分别同集合A、集合B有什么关系?
图1
②观察集合A,B与集合C={1,2,3,4}之间的关系.
学生思考交流并回答,教师直接指出这就是本节课学习的课题:
集合的基本运算.
(2)①已知集合A={1,2,3},B={2,3,4},写出由集合A,B中的所有元素组成的集合C.
②已知集合A={x|x>1},B={x|x<0},在数轴上表示出集合A与B,并写出由集合A与B中的所有元素组成的集合C.
推进新课
(1)通过上述问题中集合A,B与集合C之间的关系,类比实数的加法运算,你发现了什么?
(2)用文字语言来叙述上述问题中,集合A,B与集合C之间的关系.
(3)用数学符号来叙述上述问题中,集合A,B与集合C之间的关系.
(4)试用Venn图表示A∪B=C.
(5)请给出集合的并集定义.
(6)求集合的并集是集合间的一种运算,那么,集合间还有其他运算吗?
请同学们考察下面的问题,集合A,B与集合C之间有什么关系?
①A={2,4,6,8,10},B={3,5,8,12},C={8};
②A={x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级女同学},B={x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级男同学},C={x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级同学}.
(7)类比集合的并集,请给出集合的交集定义,并分别用三种不同的语言形式来表达.
活动:
先让学生思考或讨论问题,然后再回答,经教师提示、点拨,并对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路,主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画,用Venn图来表示.
讨论结果:
(1)集合之间也可以相加,也可以进行运算,但是为了不和实数的运算相混淆,规定这种运算不叫集合的加法,而是叫做求集合的并集.集合C叫集合A与B的并集.记为A∪B=C,读作A并B.
(2)所有属于集合A或属于集合B的元素组成了集合C.
(3)C={x|x∈A,或x∈B}.
(4)如图1所示.
(5)一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集.其含义用符号表示为A∪B={x|x∈A,或x∈B},用Venn图表示,如图1所示.
(6)集合之间还可以求它们的公共元素组成的集合,这种运算叫求集合的交集,记作A∩B,读作A交B.①A∩B=C,②A∪B=C.
(7)一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集.
其含义用符号表示为:
A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
用Venn图表示,如图2所示.
图2
例1集合A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},则A∩B,B∪C,A∩B∩C分别是什么?
活动:
学生先思考集合中元素的特征,明确集合中的元素.将集合中元素利用数形结合在数轴上找到,那么运算结果寻求就易进行.这三个集合都是用描述法表示的数集,求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素.
解:
因为A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},在数轴上表示,如图3所示,所以A∩B={x|0<x<5},B∪C={x|x>0},A∩B∩C=.
图3
点评:
本题主要考查集合的交集和并集.求集合的并集和交集时,①明确集合中的元素;②依据并集和交集的含义,直接观察或借助于数轴或Venn图写出结果.
变式训练
1.设集合A={x|x=2n,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N},求A∩B,A∪B.
解:
对任意m∈A,则有m=2n=2·2n-1,n∈N*,因n∈N*,故n-1∈N,有2n-1∈N,那么m∈B,即对任意m∈A有m∈B,所以A⊆B.
而10∈B但10A,即AB,那么A∩B=A,A∪B=B.
2.求满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B的个数.
解:
满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B一定含有元素3,B={3};还可含1或2其中一个,有{1,3},{2,3};还可含1和2,即{1,2,3},那么共有4个满足条件的集合B.
3.设集合A={-4,2,a-1,a2},B={9,a-5,1-a},已知A∩B={9},求a.
解:
∵A∩B={9},则9∈A,a-1=9或a2=9.
∴a=10或a=±3.
当a=10时,a-5=5,1-a=-9;
当a=3时,a-1=2不合题意;
当a=-3时,a-1=-4不合题意.
故a=10.此时A={-4,2,9,100},B={9,5,-9},满足A∩B={9}.
4.设集合A={x|2x+1<3},B={x|-3<x<2},则A∩B等于( )
A.{x|-3<x<1} B.{x|1<x<2}
C.{x|x>-3}D.{x|x<1}
解析:
集合A={x|2x+1<3}={x|x<1},
观察或由数轴得A∩B={x|-3<x<1}.
答案:
A
例2设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},若A∩B=B,求a的值.
活动:
明确集合A,B中的元素,教师和学生共同探讨满足A∩B=B的集合A,B的关系.集合A是方程x2+4x=0的解组成的集合,可以发现,B⊆A,通过分类讨论集合B是否为空集来求a的值.利用集合的表示法来认识集合A,B均是方程的解集,通过画Venn图发现集合A,B的关系,从数轴上分析求得a的值.
解:
由题意得A={-4,0}.
∵A∩B=B,∴B⊆A.
∴B=或B≠.
当B=时,即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无实数解,
则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.
当B≠时,若集合B仅含有一个元素,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,
此时,B={x|x2=0}={0}⊆A,即a=-1符合题意.
若集合B含有两个元素,则这两个元素是-4,0,
即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的解是-4,0.
则有
解得a=1,则a=1符合题意.
综上所得,a=1或a≤-1.
变式训练
1.已知非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则能使A⊆(A∩B)成立的所有a值的集合是什么?
解:
由题意知A⊆(A∩B),即A⊆B,A非空,利用数轴得解得6≤a≤9,即所有a值的集合是{a|6≤a≤9}.
2.已知集合A={x|-2≤x≤5},集合B={x|m+1≤x≤2m-1},且A∪B=A,试求实数m的取值范围.
分析:
由A∪B=A得B⊆A,则有B=或B≠,因此对集合B分类讨论.
解:
∵A∪B=A,∴B⊆A.
又∵A={x|-2≤x≤5}≠,∴B=,或B≠.
当B=时,有m+1>2m-1,∴m<2.
当B≠时,观察图4:
图4
由数轴可得解得2≤m≤3.
综上所述,实数m的取值范围是m<2或2≤m≤3,即m≤3.
点评:
本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想,以及集合间关系的应用.已知两个集合的运算结果,求集合中参数的值时,由集合的运算结果确定它们的关系,通过深刻理解集合表示法的转换,把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题.这称为数学的化归思想,是数学中的常用方法,学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.
课本本节练习1,2,3.
【补充练习】
1.设集合A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},
(1)求A∩B,A∪B.
(2)用适当的符号(⊇,⊆)填空:
A∩B________A,B________A∩B,A∪B________A,A∪B________B,A∩B________A∪B.
解:
(1)因A,B的公共元素为5,8,故两集合的公共部分为5,8,
则A∩B={3,5,6,8}∩{4,5,7,8}={5,8}.
又A,B两集合的所有相异元素为3,4,5,6,7,8,故A∪B={3,4,5,6,7,8}.
(2)由Venn图可知
A∩B⊆A,B⊇A∩B,A∪B⊇A,A∪B⊇B,A∩B⊆A∪B.
2.设A={x|x<5},B={x|x≥0},求A∩B.
解:
因x<5及x≥0的公共部分为0≤x<5,
故A∩B={x|x<5}∩{x|x≥0}={x|0≤x<5}.
3.设A={x|x是锐角三角形},B={x|x是直角三角形},求A∩B.
解:
因三角形按角分类时,锐角三角形和直角三角形彼此孤立,故A,B两集合没有公共部分.
所以A∩B={x|x是锐角三角形}∩{x|x是钝角三角形}=.
4.设A={x|x>-2},B={x|x≥3},求A∪B.
解:
在数轴上将A,B分别表示出来,得A∪B={x|x>-2}.
5.设A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},求A∪B.
解:
因矩形是平行四边形,故由A及B的元素组成的集合为A∪B,A∪B={x|x是平行四边形}.
6.已知M={1},N={1,2},设A={(x,y)|x∈M,y∈N},B={(x,y)|x∈N,y∈M},求A∩B,A∪B.
分析:
M,N中的元素是数,A,B中的元素是平面内的点集,关键是找其元素.
解:
∵M={1},N={1,2},∴A={(1,1),(1,2)},B={(1,1),(2,1)},故A∩B={(1,1)},A∪B={(1,1),(1,2),(2,1)}.
7.若A,B,C为三个集合,A∪B=B∩C,则一定有( )
A.A⊆CB.C⊆AC.A≠CD.A=
解析:
思路一:
∵(B∩C)⊆B,(B∩C)⊆C,A∪B=B∩C,
∴A∪B⊆B,A∪B⊆C.∴A⊆B⊆C.∴A⊆C.
思路二:
取满足条件的A={1},B={1,2},C={1,2,3},排除B,D,
令A={1,2},B={1,2},C={1,2},则此时也满足条件A∪B=B∩C,
而此时A=C,排除C.
答案:
A
观察:
(1)集合A={1,2},B={1,2,3,4}时,A∩B,A∪B这两个运算结果与集合A,B的关系;
(2)当A=时,A∩B,A∪B这两个运算结果与集合A,B的关系;
(3)当A=B={1,2}时,A∩B,A∪B这两个运算结果与集合A,B的关系.
由
(1)
(2)(3)你发现了什么结论
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