2 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示.docx
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2第2讲平面向量基本定理及坐标表示
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
1.平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),
λa=(λx1,λy1),|a|=.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标;
②设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),
||=.
3.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,a∥b⇔x1y2-x2y1=0.
导师提醒
1.理解基底需关注三点
(1)基底e1,e2必须是同一平面内的两个不共线向量,零向量不能作为基底.
(2)基底给定,同一向量的分解形式唯一.
(3)如果对于一组基底e1,e2,有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,则可以得到
2.应用共线向量定理应注意两点
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件不能表示成=,因为x2,y2有可能等于0,应表示为x1y2-x2y1=0.
(2)判断三点是否共线,先求每两点对应的向量,然后按两向量共线进行判定.
3.牢记两个结论
(1)已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则P点坐标为.
(2)已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为.
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( )
(2)若a,b不共线,且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.( )
(3)平面向量的基底不唯一,只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.( )
(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可表示成=.( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)√ (4)×
(教材习题改编)下列哪组向量可以作为平面向量的一组基底( )
A.e1=(-2,4),e2=(1,-2)
B.e1=(4,3),e2=(-3,8)
C.e1=(2,3),e2=(-2,-3)
D.e1=(3,0),e2=(4,0)
解析:
选B.对于A,e1=-2e2,对于C,e1=-e2,对于D,e1=e2,对于B,不存在λ∈R,使e1=λe2,故选B.
已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=( )
A.(-7,-4) B.(7,4)
C.(-1,4)D.(1,4)
解析:
选A.法一:
设C(x,y),
则=(x,y-1)=(-4,-3),
所以
从而=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故选A.
法二:
=(3,2)-(0,1)=(3,1),
=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).
故选A.
若向量a=(2,1),b=(-1,2),c=,则c可用向量a,b表示为( )
A.c=a+bB.c=-a-b
C.c=a+bD.c=a-b
解析:
选A.设c=xa+yb,则=(2x-y,x+2y),所以解得则c=a+b.
(教材习题改编)向量a,b满足a+b=(-1,5),a-b=(5,-3),则b=________.
解析:
由a+b=(-1,5),a-b=(5,-3),得2b=(-1,5)-(5,-3)=(-6,8),所以b=(-6,8)=(-3,4).
答案:
(-3,4)
(教材习题改编)已知A(-2,-3),B(2,1),C(1,4),D(-7,t),若与共线,则t=________.
解析:
=(2,1)-(-2,-3)=(4,4),
=(-7,t)-(1,4)=(-8,t-4).
因为与共线,
所以4(t-4)-4×(-8)=0.
即4t+16=0,所以t=-4.
答案:
-4
平面向量基本定理的应用(师生共研)
(1)(一题多解)(2019·郑州模拟)如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3,F为AE的中点,则=( )
A.- B.-
C.-+D.-+
(2)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点.若=λ+μ,则λ+μ=________.
【解析】
(1)法一:
如图,取AB的中点G,连接DG,CG,则易知四边形DCBG为平行四边形,所以==-=-,所以=+=+=+=+,于是=-=-=-=-+,故选C.
法二:
=+=+
=-+
=-+
=-+++(++)
=-+.
(2)因为=+=+=+(+)=2++=2--,所以=-,所以λ=-,μ=,所以λ+μ=.
【答案】
(1)C
(2)
平面向量基本定理应用的实质和一般思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.
[提醒] 在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,要熟练运用平面几何的一些性质定理.
1.在△ABC中,点P是AB上一点,且=+,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又=t,则实数t的值为________.
解析:
因为=+,
所以3=2+,
即2-2=-,
所以2=.
即P为AB的一个三等分点(靠近A点),
又因为A,M,Q三点共线,设=λ.
所以=-=λ-
=λ-=+,
又=t=t(-)=t
=-t.
故解得故t的值是.
答案:
2.已知点A,B为单位圆O上的两点,点P为单位圆O所在平面内的一点,且与不共线.
(1)在△OAB中,点P在AB上,且=2,若=r+s,求r+s的值;
(2)已知点P满足=m+(m为常数),若四边形OABP为平行四边形,求m的值.
解:
(1)因为=2,所以=,
所以=(-)=-,
又因为=r+s,
所以r=,s=-,
所以r+s=0.
(2)因为四边形OABP为平行四边形,
所以=+,
又因为=m+,
所以=+(m+1),
依题意,是非零向量且不共线,
所以m+1=0,
解得m=-1.
平面向量的坐标运算(多维探究)
角度一 已知向量的坐标进行坐标运算
(1)已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),c=(x,y),若3a-2b+c=0,则c=( )
A.(-23,-12)B.(23,12)
C.(7,0)D.(-7,0)
(2)平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C(-1,c)(c>0),且||=2,若=λ+μ,则实数λ+μ的值为________.
【解析】
(1)3a-2b+c=(23+x,12+y)=0,故x=-23,y=-12,故选A.
(2)因为||=2,所以||2=1+c2=4,因为c>0,所以c=.因为=λ+μ,所以(-1,)=λ(1,0)+μ(0,1),所以λ=-1,μ=,
所以λ+μ=-1.
【答案】
(1)A
(2)-1
角度二 解析法(坐标法)在向量中的应用
(1)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=________.
(2)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为________.
【解析】
(1)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1),
则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a==(-1,1),b==(6,2),c==(-1,-3).因为c=λa+μb,所以(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),即解得λ=-2,μ=-,所以=4.
(2)以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),可得直线BD的方程为2x+y-2=0,点C到直线BD的距离为=,圆C:
(x-1)2+(y-2)2=,因为P在圆C上,所以P(1+cosθ,2+sinθ),=(1,0),=(0,2),=λ+μ=(λ,2μ),所以λ+μ=2+cosθ+sinθ=2+sin(θ+φ)≤3,tanφ=2.
【答案】
(1)4
(2)3
(1)向量坐标运算的策略
①向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行;
②若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标;
③解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
(2)向量问题坐标化
当题目条件中所给的几何图形方便建立平面直角坐标系(如矩形、等腰三角形等)时,可建立平面直角坐标系,将向量坐标化,将向量问题转化为代数问题,更便于计算求解.
1.已知平行四边形ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对角线AC与BD交于点O,则的坐标为( )
A.B.
C.D.
解析:
选D.因为=+=(-2,3)+(3,7)=(1,10),所以==,所以=.
2.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动.若=x+y,其中x,y∈R,求x+y的最大值.
解:
以O为坐标原点,所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(1,0),B,
设∠AOC=α,
则C(cosα,sinα),
由=x+y,得
所以x=cosα+sinα,y=sinα,
所以x+y=cosα+sinα=2sin,
又α∈,所以α+∈,
所以sin∈,故x+y的最大值为2.
平面向量共线的坐标表示(多维探究)
角度一 利用两向量共线求参数或坐标
(1)(2019·开封模拟)已知平面向量a,b,c,a=(-1,1),b=(2,3),c=(-2,k),若(a+b)∥c,则实数k=________.
(2)已知梯形ABCD,其中AB∥CD,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为________.
【解析】
(1)由题意,得a+b=(1,4),由(a+b)∥c,得1×k=4×(-2),解得k=-8.
(2)因为在梯形ABCD中,AB∥CD,DC=2AB,所以=2.设点D的坐标为(x,y),则=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y),=(2,1)-(1,2)=(1,-1),所以(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2),所以解得故点D的坐标为(2,4).
【答案】
(1)-8
(2)(2,4)
角度二 利用向量共线求解三点共线问题
已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三点共线,则k的值是( )
A.-B.
C.D.
【解析】 =-=(4-k,-7),=-=(-2k,-2).因为A,B,C三点共线,所以,共线,所以-2×(4-k)=-7×(-2k),解得k=-.
【答案】 A
(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式:
①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0;②已知b≠0,则a∥b的充要条件是a=λb(λ∈R).
(2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平
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