北师大版九年级上册数学第一单元试题整理.docx

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北师大版九年级上册数学第一单元试题整理

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第一章达标检测卷

一、选择题（每题3分，共30分）

1．如图，已知菱形ABCD的边长为3，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是（）

A．12B．9C．6D．3

（第1题）（第4题）（第6题）

2．下列命题为真命题的是（）

A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线垂直的四边形是菱形

C．对角线相等的四边形是矩形D．四边相等的四边形是正方形

3．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是（）

A．矩形B．菱形

C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形

4．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积

的（

）

1

1

1

3

A.5

B.4

C.3

D.10

5．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的有（）

①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它

是正方形．

A．1个B．2个C．3个D．4个

6．如图，已知正方形ABCD的对角线长为22，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为

（）

A．82B．42C．8D．6

7．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）

A．90°B．60°C．45°D．30°

8．如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接OB.若∠DAC＝28°，

则∠OBC的度数为（）

A．28°B．52°C．62°D．72°

（第7题）（第8题）

（第9题）

（第10题）

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9．如图，在矩形纸片

ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是

（）

．AF＝AE

．△ABE≌△AGF

．EF＝25

．AF＝EF

A

B

C

D

10．如图，在正方形

ABCD中，点P是AB上一动点（点P不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P

分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N.下列结论：

①△APE≌△AME；②PM＋PN＝

2

2

2

）

BD；③PE＋PF＝PO.其中正确的有（

A．0个B．1个C．2个D．3个

二、填空题（每题3分，共24分）

11．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α

也随之变化，两

条对角线长度也在发生改变．当∠α

的度数为________时，两条对角线长度相等．

12．如图，四边形

ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过

O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部

分．当菱形的两条对角线的长分别为

6和8时，则阴影部分的面积为

________．

（第11题）（第12题（第13题）

13．如图是根据四边形的不稳定性制作的边长为15cm的可活动衣架，若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15cm，

则∠1＝________.

14．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝

________.

15．如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为（1，3），则对角线BD的长等于________．

（第15题）（第16题）

（第17题）（第18题）

16．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝________.

17．如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．若AB＝8，AD＝12，

则四边形ENFM的周长为________．

18．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC

＝60°.连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH，使∠HAE＝60°，⋯，按此规律所作的第n个菱形的边长是

________．

三、解答题（19，20题每题9分，21题10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分）

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19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC的垂直平分线交AD，BC于点E，F.求证：

四边形AECF是菱形．

（第19题）（第20题）

20．如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.

（1）求证：

四边形OCED是菱形；

（2）若AB＝3，BC＝4，求四边形OCED的面积．

21．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.

（1）求证：

△BCE≌△DCF；

（2）若∠FDC＝30°，求∠BEF的度数．

（第21题）

22．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E.

（1）求证：

△DCE≌△BFE；

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（2）若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的长．

（第22题）

23．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点的一个60°的角∠EAF绕点A旋转，∠EAF

的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F不与B，C，D重合，连接EF.

（1）求证：

BE＝CF.

（2）在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形AECF的面积是否发生变化？

如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由．

（第23题）

24．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.

（1）探究线段OE与OF的数量关系并说明理由．

（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

请说明理由．

（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE________是菱形（填“可能”或“不可能”）．请说明理由．

（第24题）

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答案

一、1.D2.A

3．D点拨：

首先根据三角形中位线定理知：

所

得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边

形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原

四边形的对角线必互相垂直，由此得解．

4．B

5．A点拨：

①当AB＝BC时，它是菱形，正确；

②当AC⊥BD时，它是菱形，正确；③当∠ABC＝90°

时，它是矩形，正确；④当AC＝BD时，它是矩形，因

此④是错误的．

6．C7.C8.C

9．D点拨：

如图，由折叠得∠1＝∠2.

∵AD∥BC，∴∠3＝∠1.∴∠2＝∠3.

∴AE＝AF.故选项A正确．

由折叠得CD＝AG，∠D＝∠G＝90°.

∵AB＝CD，∴AB＝AG.

∵AE＝AF，∠B＝90°，

∴Rt△ABE≌Rt△AGF（HL）．

故选项B正确．

设DF＝x，则GF＝x，AF＝8－x.

又AG＝AB＝4，

∴在Rt△AGF中，根据勾股定理得（8－x）2＝42＋

x2.

解得x＝3.∴AF＝8－x＝5.

则AE＝AF＝5，

∴BE＝

2

2

2

2

AE－AB＝

5－4＝3.

过点F作FM⊥BC于点M，则EM＝5－3＝2.

在Rt△EFM中，根据勾股定理得

EF＝

2

2

EM＋FM＝

22＋42＝

20＝2

5，则选项C正确．

∵AF＝5，EF＝25，∴AF≠EF.故选项D错误．

（第9题）

10．D点拨：

∵四边形ABCD是正方形，∴∠PAE

＝∠MAE＝45°.

∵PM⊥AC，∴∠PEA＝∠MEA.

又∵AE＝AE，∴根据“ASA”可得△APE≌△AME.故①正确．由①得PE＝ME，∴PM＝2PE.同理PN＝2PF.又易知PF＝BF，四边形PEOF是矩形，∴PN＝2BF，PM

＝2FO.∴PM＋PN＝2FO＋2BF＝2BO＝BD.故②正确．在

Rt△

PFO

中，∵

2＋

2＝

2，而

＝

，∴

2＋

2

FO

PF

PO

PE

FO

PE

PF

2

＝PO.故③正确．

二、11.90°点拨：

对角线相等的平行四边形是

矩形．

12．12点拨：

∵菱形的两条对角线的长分别为6

和8，∴菱形的面积＝1×6×8＝24.∵O是菱形两条对

2

1

角线的交点，∴阴影部分的面积＝

2×24＝12.

13．120°

（第14题）

14．22.5°点拨：

如图，由四边形ABCD是正方

1

形，可知∠CAD＝2∠BAD＝45°.

由FE⊥AC，可知∠AEF＝90°.

在Rt△AEF与Rt△ADF中，AE＝AD，AF＝AF，

∴Rt△AEF≌Rt△ADF（HL）．

11

∴∠FAD＝∠FAE＝2∠CAD＝2×45°＝22.5°.

15.1016.2－1

17．20点拨：

点N是BC的中点，点E，F分别是

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BM，CM的中点，由三角形的中位线定理可证EN∥MC，

11

NF∥ME，EN＝2MC，FN＝2MB.又易知MB＝MC，所以四边形ENFM是菱形．由点M是AD的中点，AD＝12得AM＝6.在Rt△ABM中，由勾股定理得BM＝10.因为点E是BM的中点，所以EM＝5.所以四边形ENFM的周长为20.

18．（3）n－1

三、19.证明：

∵EF垂直平分AC，

∴∠AOE＝∠COF＝90°，OA＝OC.

∵AD∥BC，∴∠OAE＝∠OCF.

∴△AOE≌△COF（ASA）．

∴AE＝CF.又∵AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形．

∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．

20．

（1）证明：

∵DE∥AC，CE∥BD，

∴四边形OCED为平行四边形．

∵四边形ABCD为矩形，∴OD＝OC.

∴四边形OCED为菱形．

（2）解：

∵四边形ABCD为矩形，

1

∴BO＝DO＝2BD.

1

1

1

∴S△OCD＝S△OCB＝

S△ABC＝

××3×4＝3.

2

2

2

∴S菱形OCED＝2S△OCD＝6.

21．

（1）证明：

在△BCE与△DCF中，

BC＝DC，

∠BCE＝∠DCF，

CE＝CF，

∴△BCE≌△DCF.

（2）解：

∵△BCE≌△DCF，

∴∠EBC＝∠FDC＝30°.

∵∠BCD＝90°，∴∠BEC＝60°.∵EC＝FC，∠ECF＝90°，

∴∠CEF＝45°.∴∠BEF＝105°.

22．

（1）证明：

∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝

∠C＝90°，

∴∠ADB＝∠DBC.

根据折叠的性质得∠ADB＝∠BDF，∠F＝∠A＝

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90°，

∴∠DBC＝∠BDF，∠C＝∠F.

∴BE＝DE.

在△DCE和△BFE中，

∠DEC＝∠BEF，

∠C＝∠F，

DE＝BE，

∴△DCE≌△BFE.

（2）解：

在Rt△BCD中，

∵CD＝2，∠ADB＝∠DBC＝30°，

∴BD＝4.

∴BC＝2

3.

在Rt△ECD中，易得∠EDC＝30°.

∴DE＝2EC.

∴（2EC）

2

2

2

－EC＝CD.

∵CD＝2，

23∴CE＝3.

43

∴BE＝BC－EC＝3.

（第23题）

23．

（1）证明：

如图，连接AC.

∵四边形ABCD为菱形，

∠BAD＝120°，

∴∠ABE＝∠ACF＝60°，

∠1＋∠2＝60°.

∵∠3＋∠2＝∠EAF＝60°，

∴∠1＝∠3.

∵∠ABC＝60°，AB＝BC，

∴△ABC为等边三角形．

∴AC＝AB.

∴△ABE≌△ACF.

∴BE＝CF.

（2）解：

四边形AECF的面积不变．由

（1）知△ABE≌△ACF，

则S△ABE＝S△ACF，

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故S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝S△ABC.

如图，过A作AM⊥BC于点M，则BM＝MC＝2，

∴AM＝

2

2

2

2

AB

－BM＝

4－2＝23.

1

1

∴S△ABC＝2BC·AM＝2×4×2

3＝43.

故S

四边形

＝4

3.

AECF

24．解：

（1）OE＝OF.理由如下：

∵CE是∠ACB的平

分线，

∴∠ACE＝∠BCE.又∵MN∥BC，

∴∠NEC＝∠BCE.

∴∠NEC＝∠ACE.∴OE＝OC.

∵CF是∠ACD的平分线，∴∠OCF＝∠FCD.又∵MN∥BC，∴∠OFC＝∠FCD.

∴∠OFC＝∠OCF.

∴OF＝OC.∴OE＝OF.

（2）当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB

为直角时，四边形AECF是正方形．

理由如下：

∵当点O运动到AC的中点时，AO＝

CO，

又∵EO＝FO，

∴四边形AECF是平行四边形．

∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO.

∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF.

∴四边形AECF是矩形．已知MN∥BC，当∠ACB＝

90°时，∠AOE＝90°，∴AC⊥EF.

∴四边形AECF是正方形．

（3）不可能理由如下：

连接BF，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

111

∴∠ECF＝2∠ACB＋2∠ACD＝2（∠ACB＋∠ACD）＝

90°.若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC.但在一个三角

形中，不可能存在两个角为90°，故四边形BCFE不可

能为菱形．

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