圆中的基本概念及定理与圆有关的位置关系及圆中的计算讲义作业和答案.docx

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圆中的基本概念及定理与圆有关的位置关系及圆中的计算讲义作业和答案

圆中的基本概念及定理（讲义）

Ø课前预习

在小学的时候，我们知道“一中同长”表示的是圆，中心称为______，固定的线段长称为_______，还知道半径为r的圆的周长为_________，面积为__________．

在七年级我们学习了圆的另外一种说法：

平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．固定的端点O称为圆心，线段OA称为半径．

一条弧AB和经过这条弧的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形．

顶点在圆心的角叫做圆心角．

Ø知识点睛

1.

平面上到_____的距离等于_____的所有点组成的图形叫做圆，其中，_____称为圆心，_____称为半径；圆O记作_____．

2.圆中概念：

弧：

_________________________，弧包括______和_______；

弦：

_______________________________________________；

圆周角：

___________________________________________；

圆心角：

___________________________________________；

弦心距：

___________________________________________．

3.圆的对称性：

圆是轴对称图形，其对称轴是_________________________；

圆是中心对称图形，其对称中心为_______．

4.圆中基本定理：

*

（1）垂径定理：

_____________________________________

______________________________________________；

推论：

_________________________________________

______________________________________________；

总结：

知二推三①_______________________________，

②_____________________，③____________________，

④_____________________，⑤____________________．

（2）四组量关系定理：

在_____________________中，如果_______________、______________、_______________、_______________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

（3）圆周角定理：

___________________________________．

推论1：

________________________________________．

圆中处理问题的思路

①找圆心，连半径，转移边；

②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式；

③遇直径，找直角，由直角，找直径；

④由弧找角，由角看弧．

推论2：

________________________________________，_______________________________________________．

推论3：

_______________________________________．

（4）三点定圆定理：

_________________________________．

三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的_______，三角形叫做圆的___________，外接圆的圆心是____________________，叫做三角形的___________．

Ø精讲精练

1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（）

A．CM=DMB．=

C．∠ACD=∠ADCD．OM=MB

第1题图第2题图

2.如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若

，则⊙O的半径为_________．

3.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为__________mm．

第3题图第4题图

4.如图，圆拱桥桥拱的跨度AB=12m，桥拱高CD=4m，则拱桥的直径为__________．

5.如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，垂足为E，连接OB，CB．已知⊙O的半径为2，AB=

，则∠BCD=_______．

第5题图第6题图

6.如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD=50°，则

∠ACD=________．

7.一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为________．

第7题图第8题图

8.如图，E为正方形ABCD的边CD的中点，经过A，B，E三点的⊙O与边BC交于点F，P为上任意一点．若正方形ABCD的边长为4，则sin∠P的值为__________．

9.

如图，∠AOB=100°，点C在⊙O上，且点C不与A，B重合，则∠ACB的度数为（）

A．50°

B．80°或50°

C．130°

D．50°或130°

10.如图，点D为边AC上一点，点O为边AB上一点，AD=DO．以O为圆心，OD长为半径作半圆，交AC于另一点E，交AB于F，G两点，连接EF．若∠BAC=22°，则∠EFG=______．

第10题图第11题图

11.

如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角

∠DCE=64°，那么∠BOD的度数为__________．

12.如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是点________．

13.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）

A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块

第13题图第14题图

14.如图，⊙O的两条弦AB，CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是__________．

15.已知

的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为_________________．

【参考答案】

Ø课前预习

圆心，半径，2πr，πr2

Ø知识点睛

1.定点；定长；定点；定长；⊙O

2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧；优弧；劣弧；

连接圆上任意两点的线段叫做弦；

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角；

顶点在圆心的角叫做圆心角；

圆心到弦的距离叫做弦心距

3.任意一条过圆心的直线；圆心

4.

（1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；

①过圆心的直线；②垂直于弦；③平分弦；④平分优弧；

⑤平分劣弧

（2）同圆或等圆；两个圆心角；两条弧；两条弦；

两个弦心距．

（3）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；

同弧或等弧所对的圆周角相等；

直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；

圆内接四边形对角互补

（4）不在同一条直线上的三个点确定一个圆；外接圆；内接三角形；三角形三边垂直平分线的交点；外心．

Ø精讲精练

1.D

2.

3.8

4.13m

5.30°

6.40°

7.

m

8.

9.D

10.33°

11.128°

12.Q

13.B

14.

15.7cm或17cm

圆中的基本概念及定理（习题）

Ø巩固练习

1.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径OB为10，截面圆圆心O到水面的距离OC为6，则水面宽AB的长为（）

A．16B．10C．8D．6

第1题图第2题图

2.如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，则下列说法不一定正确的是（）

A．AD=BDB．∠ACB=∠AOE

C．=D．OD=DE

3.如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，若∠BOC=70°，则∠A的度数为（）

A．70°B．35°C．30°D．20°

第3题图第4题图

4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（）

A．1B．

C．2D．

5.

如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O

的弦，∠ABD=58°，则∠BCD=（）

A．116°B．32°

C．58°D．64°

6.

如图，AB是半圆O的直径，C，D是上的两点，若

∠ADC=120°，则∠BAC=________．

第6题图第7题图

7.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且∠C=70°，则∠OAB=

__________．

8.

如图，点O为优弧ACB所在圆的圆心，∠AOC=108°，若点D在AB的延长线上，且BD=BC，则∠D=_________．

第8题图第9题图

9.如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A，B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB=20°，则∠OCD=_________．

10.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知

AB=16m，半径OA=10m，则中间柱CD的高度为______m．

第10题图第11题图

11.如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：

“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：

CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，若CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为_________．

12.如图，若△ABC的顶点都在⊙P上，则点P的坐标是________．

第12题图第13题图

13.小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图所示（网格中每个小正方形的边长均为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是__________．

14.如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，若四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=______．

第14题图第15题图

15.如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，

DB=10cm，以DB为直径作⊙O，交射线AP于E，F两点，则线段EF的长是___________cm．

Ø思考小结

1.圆中处理问题的思路

①找圆心，连半径，转移边；

②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式；

③遇直径，找直角，由直角，找直径；

④由弧找角，由角看弧．

2.中考数学中涉及“一半”的相关内容

①直角三角形斜边中线等于斜边的一半；

②30°所对的直角边等于斜边的一半；

③三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；

④圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半．

3.阅读材料回答问题

如图，在锐角△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，△ABC的外接圆半径为R，则

．

证明：

连接CO并延长，交⊙O于点D，连接DB，则∠D=∠A

∵CD为直径，

∴∠DBC=90°

在Rt△BDC中，

∴

，即

．

同理可证

∴

．

与圆有关的位置关系及圆中的计算（讲义）

Ø课前预习

1.半径为r的圆的周长为__________，面积为__________．

2.如图，圆心角为n°的扇形的弧长为_______，面积为________．

3.已知圆上一段弧长为4πcm，它所对的圆心角为120°，则圆的半径为____________．

4.默写圆周角定理的相关推论：

推论1：

同弧或等弧所对的圆周角相等；

推论2：

________________________________________；

_______________________________________________．

推论3：

圆内接四边形对角互补．

5.我们知道扇形能够围成圆锥，如图，从半径为4的⊙O上剪下一个圆心角度数为n的扇形，用其围成一个圆锥，在围成的过程中，扇形的弧长与底面圆的周长恰好相等．已知圆锥底面圆的半径为1，则n的值为__________．

6.根据给出的圆锥的相关信息，画出圆锥的三视图，并标注相关线段长．

主视图左视图

俯视图

Ø知识点睛

与圆有关的位置关系，关键是找d和r．

1.点与圆的位置关系

d表示__________的距离，r表示___________．

①点在圆外：

_____________；

②点在圆上：

_____________；

③点在圆内：

_____________．

2.直线与圆的位置关系

d表示__________________的距离，r表示__________．

①直线与圆相交：

____________；

②直线与圆相切：

____________；

③直线与圆相离：

____________．

切线的性质定理：

__________________________________；

切线的判定定理：

__________________________________

__________________________________________________．

*切线长定理：

______________________________________

__________________________________________________．

*3.圆与圆的位置关系

d表示__________的距离，R表示________，r表示_________．

①圆与圆外离：

_________________；

②圆与圆外切：

_________________；

③圆与圆内切：

_________________；

④圆与圆内含：

_________________；

⑤圆与圆相交：

_________________．

4.圆内接正多边形

_______________________________叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的_________.

中心角：

___________________________________________；

边心距：

___________________________________________．

5.圆中的计算公式

弧长公式：

____________________．

扇形面积公式：

①________________；②________________．

圆锥的侧面积公式：

_________________________________．

圆锥的全面积公式：

__________=__________+__________．

扇形及其所围圆锥间的等量关系：

①________________________________________________；

②________________________________________________．

Ø精讲精练

1.矩形ABCD中，AB=8，

，点P在AB边上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）

A．点B，C均在圆P外

B．点B在圆P外、点C在圆P内

C．点B在圆P内、点C在圆P外

D．点B，C均在圆P内

2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，

∠A=60°，BC=4cm，以点C为圆

心，以3cm长为半径作圆，则⊙C

与AB的位置关系是__________．

3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB有且只有一个公共点，则R的取值范围是_________________．

4.在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm．若⊙A，⊙B的半径分别为1cm，4cm，则⊙A，⊙B的位置关系是_______．

5.若有两圆相交于两点，且圆心距为13cm，则下列哪一选项中的长度可能为此两圆的半径（）

A．25cm，40cmB．20cm，30cm

C．1cm，10cmD．5cm，7cm

6.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点E，则∠E=______．

第6题图第7题图

7.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，若∠P=40°，则∠ACB=_______．

8.

如图，EB，EC是⊙O的两条切线，

B，C是切点，A，D是⊙O上两点，

如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么

∠A=______．

9.如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在边AD，DC上．现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是________．

10.

如图，在⊙O中，FC为直径，长为8．分别以F，C为圆心，以⊙O的半径R为半径作弧，与⊙O相交于点E，A和D，B，则A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，

顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA．

过点O作OG⊥BC，垂足为G，则OG

长为_______．

11.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在线段AC的延长线上，且

．

（1）求证：

直线BF是⊙O的切线；

（2）若AB=5，

，求BC和BF的长．

12.如图，⊙O的半径是1，A，B，C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是___________．

第12题图第13题图

13.如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是________．

14.如图，一把打开的雨伞可近似地看成一个圆锥，若伞骨（面料下方能够把面料撑起来的支架）末端各点所在圆的直径AC的长为12分米，伞骨AB的长为9分米，则制作这样的一把雨伞至少需要绸布面料__________平方分米．

15.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都是腰长为4、底边为2的等腰三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为__________．

16.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则图中阴影部分的面积为__________．

17.如图，现有圆心角为90°的一个扇形纸片，该扇形的半径是50cm．小红同学为了在圣诞节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是____________．

18.如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥，则圆锥的高为_______．

【参考答案】

Ø课前预习

1.2πr，πr2

2.

，

3.6cm

4.直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

5.90

6.图形略．

Ø知识点睛

1.点到圆心；圆的半径；d＞r；d=r；d＜r．

2.圆心O到直线l；圆的半径；d＜r；d=r；d＞r．

圆的切线垂直于过切点的半径；

过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线；

过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．

3.圆心之间；大圆半径；小圆半径;

d＞R+r；d=R+r；d=R-r；0≤d＜R-r；R-r＜d＜R+r

4.顶点都在同一圆上的正多边形；外接圆；

一个正多边形的相邻的两个顶点与它的中心的连线的夹角叫中心角；

正多边形的每条边到其外接圆的圆心的距离叫做边心距．

5.

．①

；②

；

S=πlr；

全面积；侧面积；底面积；

圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长；圆锥的侧面积等于扇形面积．

Ø精讲精练

1.C

2.相交

3.3＜R≤4或

4.外切

5.B

6.50°

7.110°

8.99°

9.

10.

11.

（1）证明略；

（2）

；

．

12.

13.6π

14.54π

15.4π

16.

17.18°

18.

cm

阅读前面的命题及证明，完成下面的①②两个小题．

①前面的阅读材料中略去了“

”和“

”的证明过程，画出图形并证明

．

②直接用前面阅读材料中的结论解题

已知，在锐角△ABC中，

∠A=60°，求△ABC的外接圆半径R及∠C的度数．

【参考答案】

Ø巩固练习

1.A

2.D

3.B

4.D

5.B

6.30°

7.20°

8.27°

9.65°

10.4

11.26寸

12.（-2，-1）

13.

14.60°

15.6

Ø思考小结

3.①证明略②R=1，∠C=75°

与圆有关的位置关系及圆中的计算（习题）

Ø巩固练习

1.在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是（）

A．当a＜5时，点B在⊙A内

B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内

C．当a＜1时，点B在⊙A外

D．当a＞5时，点B在⊙A外

2.已知⊙O1，⊙O2的半径分别是

，

，若两圆相交，则圆心距O1O2可能取的值是（）

A．2B．4C．6D．8

3.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线CD与⊙O的位置关系是（）

A．相离B．相切C．相交D．无法确定

第3题图第4题图

4.如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°．点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设

，则x的取值范围是_______．

5.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．如果OP=4，PA=

，那么∠AOB=_______．

第5题图第6题图

6.如图，AB是⊙O的直径，点D在线段AB的延长线上，DC切⊙O于点C．若∠A=25°，则∠D=_________．

7.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，AC是⊙O的直径．若∠BAC=35°，则∠P=________．

第7题图第8题图

8.已知宽为3cm的刻度尺的一边与⊙O相切，另一边与⊙O的两个交点处的读数如图所示（单位：

cm），则⊙O的半