直线与圆的方程典型例题.docx

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直线与圆的方程典型例题

高中数学圆的方程典型例题

类型一：

圆的方程

例1求过两点A（1,4）、B（3,2）且圆心在直线y

0上的圆的标准方程并判断点

P（2,4）与圆的关

系．

分析：

欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，

而要判断点P与圆的位置关系，

只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，

若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，

则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．

解法一：

（待定系数法）

设圆的标准方程为（x

a）2

（y

b）2

r2．

∵圆心在y0上，故

b0

．

∴圆的方程为（xa）2

y2

r2

．

又∵该圆过A（1,4）、B（3,2）两点．

（1

a）2

16

r2

∴

a）2

r2

（3

4

解之得：

a

1，r2

20．

所以所求圆的方程为（x1）2y220．

解法二：

（直接求出圆心坐标和半径）

因为圆过

A（1,4）

、B（3,2）两点，所以圆心

C必在线段

AB的垂直平分线

l上，又因为

4

2

1，故

l的斜率为

1，又AB的中点为（2,3），故AB的垂直平分线

l的方程为：

kAB

3

1

y3x

2即x

y

1

0．

又知圆心在直线

y

0

上，故圆心坐标为

C（1,0）

∴半径r

AC

（1

1）2

42

20．

故所求圆的方程为

（x

1）2

y2

20．

又点P（2,4）到圆心C（1,0）的距离为

dPC

（21）2

42

25r．

∴点P在圆外．

例2求半径为

4，与圆x2

y2

4x

2y4

0

相切，且和直线

y0相切的圆的方程．

第1页共21页

分析：

根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．

解：

则题意，设所求圆的方程为圆

C：

（x

a）2

（y

b）2

r2

．

圆C与直线y

0相切，且半径为

4，则圆心C的坐标为C1（a,4）或C2（a,

4）．

又已知圆x2

y2

4x

2

y

4

0的圆心A的坐标为（2,1）

，半径为3．

若两圆相切，则

CA

4

3

7

或

CA

431

．

（1）当C1（a,4）时，（a

2）2

（4

1）2

72

，或（a

2）2

（4

1）2

12

（无解），故可得

a

2210．

∴所求圆方程为

（x

2

2

10）2

（y

4）2

42，或（x

2

210）2

（y

4）2

42．

（2）当C2（a,

4）

时，（a

2）2

（

4

1）2

72，或（a

2）2

（4

1）2

12

（无解），故

a

22

6．

∴所求圆的方程为

（x226）2

（y

4）2

42，或（x

2

2

6）2

（y

4）2

42．

说明：

对本题，易发生以下误解：

由题意，所求圆与直线y

0相切且半径为4，则圆心坐标为C（a,4），且方程形如

（x

a）2

（y4）2

42

．又圆x2

y2

4x

2y

4

0，即（x2）2

（y

1）2

32

，其圆心为

A（2,1），半径为3．若两圆相切，则CA

4

3．故（a

2）2

（4

1）2

72，解之得a

2210．所

以欲求圆的方程为（x2210）2

（y

4）2

42，或（x

2

2

10）2

（y

4）2

42．

上述误解只考虑了圆心在直线

y

0上方的情形，而疏漏了圆心在直线

y

0下方的情形．另外，误

解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．

例3求经过点A（0,5），且与直线x2y0和2xy0都相切的圆的方程．

分析：

欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．

解：

∵圆和直线x2y0与2xy0相切，

∴圆心C在这两条直线的交角平分线上，

又圆心到两直线x2y0和2xy0的距离相等．

x2yx2y

∴．

55

∴两直线交角的平分线方程是x3y0或3xy0．

第2页共21页

又∵圆过点A（0,5），

∴圆心C只能在直线3xy0上．

设圆心C（t,3t）

∵C到直线2x

y

0的距离等于AC，

∴2t3t

t2

（3t

5）2

．

5

化简整理得t2

6t

5

0．

解得：

t

1或t

5

∴圆心是（1,3），半径为

5

或圆心是（5,15），半径为5

5．

∴所求圆的方程为

（x1）2

（y3）2

5或（x5）2

（y

15）2

125．

说明：

本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．

例4、设圆满足：

（1）截y轴所得弦长为2；

（2）被x轴分成两段弧，其弧长的比为3:

1，在满足条件

（1）

（2）的所有圆中，求圆心到直线l：

x2y0的距离最小的圆的方程．

分析：

要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．

解法一：

设圆心为P（a,b），半径为r．

则P到x轴、y轴的距离分别为b和a．

由题设知：

圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90，故圆截x轴所得弦长为2r．

∴r22b2

又圆截y轴所得弦长为2．

∴r2a21．

又∵P（a,b）到直线x2y0的距离为

a2b

d

5

第3页共21页

∴5d2

a

2

2b

a2

4b2

4ab

a2

4b2

2（a2

b2）

2b2

a2

1

当且仅当a

5

b时取“=”号，此时dmin

．

5

这时有

ab

2b2

a2

1

a

1

a

1

∴

或

b

1

b

1

又r2

2b2

2

故所求圆的方程为

（x1）2

（y1）2

2或（x

1）2

（y1）2

2

解法二：

同解法一，得

d

a2b

．

5

∴a

2b

5d．

∴a2

4b2

45bd5d2．

将

a

2

22

1

代入上式得：

b

2b245bd5d210．

上述方程有实根，故

8（5d21）0，

∴d

5

．

5

将d

5

1．

代入方程得b

5

又2b2

a2

1∴a

1．

由a

2b

1知a、b同号．

第4页共21页

故所求圆的方程为（x1）2

（y1）2

2或（x1）2

（y1）2

2．

说明：

本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？

类型二：

切线方程、切点弦方程、公共弦方程

例5

已知圆O：

x2

y2

4，求过点P2，4

与圆O相切的切线．

解：

∵点P2，4

不在圆O上，

∴切线PT的直线方程可设为

y

kx2

4

根据dr

∴

2k

4

2

1

k2

解得

k

3

4

所以

y

3

x

2

4

4

即

3x4y

10

0

因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为

x2．

说明：

上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．

本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏

解）．还可以运用x0xy0yr2，求出切点坐标x0、y0的值来解决，此时没有漏解．

例6两圆C1：

x2y2D1xE1yF10与C2：

x2y2D2xE2yF20相交于A、B两

点，求它们的公共弦AB所在直线的方程．

分析：

首先求A、B两点的坐标，再用两点式求直线AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程

太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．

解：

设两圆C1、C2的任一交点坐标为（x0,y0），则有：

22

x0y0D1x0E1y0F10

x02y02D2x0E2y0F20

①

②

①－②得：

（D1D2）x0

（E1

E2）y0

F1

F20

．

∵A、B的坐标满足方程

（D1

D2）x

（E1

E2）y

F1F2

0

．

∴方程（D1D2）x（E1

E2）y

F1

F2

0

是过A、B两点的直线方程．

又过A、B两点的直线是唯一的．

∴两圆C1、C2的公共弦AB所在直线的方程为

（D1

D2）x

（E1

E2）yF1F20．

第5页共21页

说明：

上述解法中，巧妙地避开了求A、B两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去

求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．

例7、过圆x2y21外一点M（2,3），作这个圆的两条切线MA、MB，切点分别是A、B，求直线AB的方程。

练习：

1．求过点M（3,1），且与圆（x

1）2

y2

4相切的直线l的方程．

解：

设切线方程为

y

1

k（x

3），即kx

y

3k

10

，

∵圆心

（1,0）

到切线l的距离等于半径

2，

∴|k

3k

1|

2，解得k

3

，

2

2

4

k

1

∴切线方程为y

1

3

（x

3），即3x

4y

13

0，

4

当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为

x3，圆心（1,0）到此直线的距离等于半径

2

，

故直线x3也适合题意。

所以，所求的直线

l的方程是3x4y

13

0或x

3．

2、过坐标原点且与圆

x2

y2

4x

2y

5

0相切的直线的方程为

2

（y1）25

解：

设直线方程为

y

kx，即kx

y

0.∵圆方程可化为

（x

2）2

，∴圆心为（2，

2

-1），半径为

10

.依题意有

2k

1

10，解得k

3或k

1

，∴直线方程为

y

3x或

k2

1

2

2

3

y

1x.

3

3、已知直线5x

12y

a

0与圆x2

2x

y2

0相切，则a的值为

.

解：

∵圆（x

1）2

y2

1

的圆心为（

1，0），半径为

1，∴

5

a

1，解得a

8或a

18.

52

122

类型三：

弦长、弧问题

例8、求直线l:

3xy6

0被圆C:

x2

y2

2x4y0截得的弦AB的长.

第6页共21页

例9、直线3xy

23

0截圆x2

y2

4得的劣弧所对的圆心角为

解：

依题意得，弦心距

d

3，故弦长

AB

2r2

d2

2，从而△OAB是等边三角形，故截

得的劣弧所对的圆心角为AOB.

3

例10、求两圆x2y2xy20和x2y25的公共弦长

类型四：

直线与圆的位置关系

例11、已知直线3xy23

0和圆x2

y2

4，判断此直线与已知圆的位置关系.

例12、若直线y

x

m与曲线y

4

x2

有且只有一个公共点，求实数

m的取值范围.

解：

∵曲线y

4

x2

表示半圆x2

y2

4（y

0），∴利用数形结合法，可得实数

m的取值范

围是2m

2

或m

22

.

例13圆（x

3）2

（y3）2

9上到直线

3x

4y

110的距离为

1的点有几个？

分析：

借助图形直观求解．或先求出直线

l1、l2的方程，从代数计算中寻找解答．

解法一：

圆（x

3）2

（y

3）2

9

的圆心为O1（3,3），半径r

3

．

设圆心O1到直线3x

4y

11

3

3

4

3

11

3．

0的距离为d，则d

32

42

2

如图，在圆心O1同侧，与直线3x

4y

11

0平行且距离为

1的直线l1与圆有两个交点，这两

个交点符合题意．

又rd321．

∴与直线3x4y110平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．

∴符合题意的点共有3个．

解法二：

符合题意的点是平行于直线3x4y110，且与之距离为1的直线和圆的交点．设

第7页共21页

所求直线为3x

4y

m

0

m

11

1，

，则d

42

32

∴m11

5，即m

6，或m

16，也即

l1：

3x4y

60，或l2：

3x4y160．

设圆

2

2

O1

x

3）

（

y

3）9的圆心到直线

l1

、

l2

的距离为

d1

、

d2

，则

：

（

d1

3

3

4

3

6

3

3

4

3

16

1．

32

42

3，d2

32

42

∴l1与O1相切，与圆O1有一个公共点；l2

与圆O1相交，与圆O1有两个公共点．即符合题意的

点共3个．

说明：

对于本题，若不留心，则易发生以下误解：

设圆心O1到直线3x

4y

3

3

4

3

11

110的距离为d，则d

32

23．

42

∴圆O1到3x4y

11

0距离为1的点有两个．

显然，上述误解中的

d是圆心到直线3x4y

110的距离，d

r，只能说明此直线与圆有

两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为

1．

到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断．

练习

：

直线x

y

1与圆

x

2

y

2

2ay

0（a

0）没有公共点，则

a的取值范围是

1

解：

依题意有

a

1

a，解得

2

1

a

2

1.∵a

0，∴0a

21.

2

练习

2：

若直线

y

kx

2与圆（x

2）2

（y

3）2

1有两个不同的交点，则

k的取值范围

是

.

2k

1

k

4

，∴k的取值范围是（0,4）.

解：

依题意有

k2

1，解得0

1

3

3

3、

圆x2

y2

2x4y

30上到直线xy1

0的距离为

2的点共有（

）．

（A）1个

（B）2个

（C）3个

（D）4个

第8页共21页

分析：

把

2

2

2430化为

2

2

，圆心为

，，半径为

x

y

x1

y2

8

12

xy

r

22，圆心到直线的距离为

2，所