数值分析习题(含答案).doc
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数值分析习题参考解答江世宏编
第一章绪论
姓名学号班级
习题主要考察点:
有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1若误差限为,那么近似数0.003400有几位有效数字?
(有效数字的计算)
解:
,
故具有3位有效数字。
2具有4位有效数字的近似值是多少?
(有效数字的计算)
解:
,欲使其近似值具有4位有效数字,必需
,,即
即取(3.14109,3.14209)之间的任意数,都具有4位有效数字。
3已知,是经过四舍五入后得到的近似值,问,有几位有效数字?
(有效数字的计算)
解:
,,而,
故至少具有2位有效数字。
故至少具有2位有效数字。
4设,的相对误差为,求的误差和相对误差?
(误差的计算)
解:
已知,则误差为
则相对误差为
5测得某圆柱体高度的值为,底面半径的值为,已知,,求圆柱体体积的绝对误差限与相对误差限。
(误差限的计算)
解:
绝对误差限为
相对误差限为
6设的相对误差为,求的相对误差。
(函数误差的计算)
解:
,
7计算球的体积,为了使体积的相对误差限为,问度量半径时允许的相对误差限为多大?
(函数误差的计算)
解:
球体积为,
欲使,必须。
8设,求证:
(1)
(2)利用
(1)中的公式正向递推计算时误差逐步增大;反向递推计算时误差逐步减小。
(计算方法的比较选择)
解:
如果初始误差为,若是向前递推,有
可见,初始误差的绝对值被逐步地扩大了。
如果是向后递推,其误差为
可见,初始误差的绝对值被逐步减少了。
第二章插值法
姓名学号班级
习题主要考察点:
拉格朗日插值法的构造,均差的计算,牛顿插值和埃尔米特插值构造,插值余项的计算和应用。
1已知,求的拉氏插值多项式。
(拉格朗日插值)
解法一(待定系数法):
设,由插值条件,有
解得:
。
故。
解法二(基函数法):
由插值条件,有
2已知,用线性插值求的近似值。
(拉格朗日线性插值)
解:
由插值节点与被插函数,可知,,,其线性插值函数为
的近似值为。
3若为互异节点,且有
试证明。
(拉格朗日插值基函数的性质)
解:
考虑辅助函数,其中,,。
是次数不超过的多项式,在节点()处,有
这表明,有n+1个互异实根。
故,从而对于任意的均成立。
4已知,用抛物线插值计算的值并估计截断误差。
(拉格朗日二次插值)
解:
由插值条件,其抛物线插值函数为
将代入,计算可得:
。
其余项为:
其中,
故误差的上界为:
。
5用余弦函数在,,三个节点处的值,写出二次拉格朗日插值多项式,并近似计算及其绝对误差与相对误差,且与误差余项估计值比较。
(拉格朗日二次插值)
解:
由插值条件,二次拉格朗日插值多项式为
绝对误差为:
相对误差为:
余项为:
,其中,
其余项的上界为:
比较可知,实际计算所得的绝对误差较余项公式所估计出的值要小一些。
6已知函数值,求函数的四阶均差和二阶均差。
(均差的计算)
解:
采用列表法来计算各阶均差,有
x
y
一阶均差
二阶均差
三阶均差
四阶均差
0
6
1
10
4
3
46
18
14/3
4
82
36
6
1/3
6
212
65
29/3
11/15
1/15
从表中可查得:
。
x
y
一阶均差
二阶均差
4
82
1
10
72/3
3
46
18
6
故。
其实,根据均差的对称性,,该值在第一个表中就可以查到。
7设求之值,其中,而节点互异。
(均差的计算)
解:
由均差可以表示成为函数值的线性组合,有
而,故。
8如下函数值表
0
1
2
4
1
9
23
3
建立不超过三次的牛顿插值多项式。
(牛顿插值多项式的构造)
解:
先构造均差表
x
f(x)
一阶均差
二阶均差
三阶均差
0
1
1
9
8
2
23
14
3
4
3
-10
-8
-11/4
故。
9求一个次数小于等于三次多项式,满足如下插值条件:
,,,。
(插值多项式的构造)
解法一(待定系数法):
设,则
,由插值条件,有
解得:
。
故
解法二(带重节点的均差法):
据插值条件,造差商表
x
y
一阶差商
二阶差商
三阶差商
1
2
2
4
2
2
4
3
1
3
12
8
5
2
故
10构造一个三次多项式,使它满足条件(埃尔米特插值)。
解:
设,
利用插值条件,有
解得:
。
11设。
(1)试求在上的三次埃尔米特插值多项式,使得,以升幂形式给出。
(2)写出余项的表达式。
(埃尔米特插值及其余项的计算)。
解:
,,,,
设,
解得:
,,,。
故。
,其中,。
12若,试证明:
(插值余项的应用)
解:
以为插值条件,作线性插值多项式,有
其余项为
故。
13设求使;
又设,则估计余项的大小。
(插值误差的估计)
解:
由插值条件,有
解得:
从而
其余项为
第三章函数逼近
姓名学号班级
习题主要考察点:
最小二乘法,最佳平方逼近,正交多项式的构造。
1设,求于上的线性最佳平方逼近多项式。
(最佳平方逼近)
解:
,,
,
法方程组为
解得:
,
线性最佳平方逼近多项式为:
。
2令,且设,求使得为于上的最佳平方逼近多项式。
(最佳平方逼近)
解:
,,
,
法方程组为
解得:
,
线性最佳平方逼近多项式为:
。
3证明:
切比雪夫多项式序列
在区间上带权正交。
(正交多项式的证明)
解:
对于,有
对于,有
故,序列在[-1,1]上带权正交。
4求矛盾方程组:
的最小二乘解。
(最小二乘法)
解法一:
求与,使得
达到最小。
于是,令
即:
,其最小二乘解为:
。
解法二:
,记作,该矛盾方程组的最小二乘解,应满足以下方程组
,即
解之,得。
5已知一组试验数据
2
2.5
3
4
5
5.5
4
4.5
6
8
8.5
9
试用直线拟合这组数据.(计算过程保留3位小数)。
(最小二乘线性逼近)
解:
作矩阵
,
法方程为
即
解得:
,。
其直线拟合函数为。
6用最小二乘原理求一个形如的经验公式,使与下列数据相拟合.
19
25
31
38
44
19
32.3
49
73.3
97.8
(最小二乘二次逼近)
解:
等价于对数据表
361
625
961
1444
1936
19
32.3
49
73.3
97.8
作线性拟合。
其法方程组为:
解得:
,
故经验公式为。
第四章数值积分
姓名学号班级
习题主要考察点:
代数精度的计算,构造插值型求积公式(梯形,辛甫生公式),复化求积的计算,高斯公式的构造。
1给定求积公式试确定使它的代数精度尽可能高。
(代数精度的应用和计算)
解:
分别取,使上述数值积分公式准确成立,有;
解得:
。
故求积公式为。
再取,左边=,右边=
再取,左边=,右边=
此求积公式的最高代数精度为3。
2求积公式,试确定系数,及,使该求积公式具有尽可能高的代数精确度,并给出代数精确度的次数。
(代数精度的应用和计算)
解:
分别取,使求积公式准确成立,有
解得:
。
求积公式为。
再取,左边=右边
故该求积公式的最高代数精度为2。
3数值积分公式,是否为插值型求积公式,为什么?
又该公式的代数精确度为多少?
(插值型求积公式特征)
解:
令,
,
,
故代数精度为1。
由于求积节点个数为2,代数精度达到1次,故它是插值型的求积公式。
4如果,证明用梯形公式计算积分所得到的结果比准确值大,并说明其几何意义。
(梯形求积)
解:
梯形求积公式
是由过点,的线性插值函数
在[a,b]上的定积分。
注意到:
在区间[a,b]上,,而,有
从而。
其几何意义可作以下解释:
在区间[a,b]上,,故曲线下凹,直线位于曲线之上,因此,曲边梯形的面积小于梯形面积。
5用的复化梯形公式计算积分,并估计误差。
(复化梯形求积)
解:
,取求积节点为
因,则误差大约为:
。
6设,则用复化辛甫生公式计算,若有常数使,则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。
(复化辛甫生公式)
解:
7已知高斯求积公式将区间[0,1]二等分,用复化高斯求积法求定积分的近似值。
(高斯公式)
解:
对于作变量换,有
对于作变量换,有
8试确定常数A,B,C和,使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。
试问所得的数值积分公式代数精度是多少?
它是否为高斯型的?
(代数精度的应用和计算,高斯点的特征)
解:
分别取,使上述数值积分公式准确成立,有;
整理得:
解得:
。
数值求积公式为
再取,左边=,右边=
再取,左边=,右边=
可见,该数值求积公式的最高代数精度为5。
由于该公式中的节点个数为3,其代数精度达到了次,故它是高斯型的。
9设是[0,1]区间上带权的最高次幂项系数为1的正交多项式系
(1)求。
(2)构造如下的高斯型求积公式。
(高斯求积)
解
(1):
采用施密特正交化方法,来构造带权且在[0,1]上正交的多项式序列
取,设,且它与在[0,1]上带权正交,于是
,
故。
设,且它与、在[0,1]上带权正交,于是
,
,
解
(2):
的零点为:
。
设
分别取,使上述求积公式准确成立,有
,即
解得:
,。
高斯型求积公式为
第五章非线性方程求根
姓名学号班级
习题主要考察点:
二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根,迭代法求根的收敛性和收敛速度的讨论。
1用二分法求方程的正根,要求误差小于0.05。
(二分法)
解:
,,,在[0,2]连续,故[0,2]为函数的有根区间。
(1)计算,故有根区间为[1,2]。
(2)计算,故有根区间为。
(3)计算,故有根区间为。
(4)计算,故有根区间为。
(5)计算,故有根区间为。
(6)计算,故有根区间为。
(7)计算,故有根区间为。
(8)若取中点作为取根的近似值,其误差小于
取近似根,可满足精度要求。
2说明方程在区间[1,2]内有惟一根,并选用适当的迭代法求(精确至3位有效数),并说明所用的迭代格式是收敛的。
(迭代法)
解:
,,,故函数单调增加,因此,该方程在(1,2)之间存在着惟一的实根。
取迭代函数
显然,且
故迭代()对任意初始值收敛。
对于初值,其迭代值分别为
,,,
由于,故作为近似值,已精确到了3位有效数字。
3设有解方程的迭代法
(1)证明均有(为方程的根)。
(2)此迭代法的收敛阶是多少,证明你的结论。
(3)取用此迭代法求方程根的近似值,误差不超过,列出各次迭代值。
(和收敛
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