Theorem319设fz在区域G内解析R为区域G内一个矩形C为其.docx
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Theorem319设fz在区域G内解析R为区域G内一个矩形C为其
Theorem3.19.设f(z在区域G内解析.R为区域G内一个矩形,C为其边界,则f(zdz=0CProof对于任意G内的矩形P,CP为其边界(方向约定为逆时钟,记围道积分为I(P=CPf(zdz如图,我们将矩形R对分成四个小矩形R1,R2,R3,和R4.R3R2R4R显然I(R=i=14R1I(Ri由复平面的矢量相加三角不等式可得|I(R|≤4|I(Ri|i=1所以,至少有一个Ri,使得|I(Ri|≥1|I(R|4我们将其记为R(1.同样我们可以重复上述过程,将R(1对分为四个更小的矩形.并得到其中一个矩形R(2满足11|I(R(2|≥|I(R(1|≥2|I(R|44重复下去,R(2R(1R得R⊃R(1⊃R(2⊃...⊃R(k⊃...使得|I(R(k|≥1|I(R|4k由区间套定理可证,存在唯一的一点z0属于所有的矩形R(k.21
因为f(z在z0点解析,所以∀>0,∃δ>0.若|z−z0|<δ,则f(z−f(z0−f(z0 容易证明∂F=if(z∂y由上面的定理,可得F(z=σ1fdz其中积分路线σ1由竖直线段(x0,y0到(x0,y和水平线段(x0,y到(x,y构成(图中红线.又可得到∂F=f(z∂x即∂F∂F=i∂y∂x函数F的实部和虚部满足Cauchy−Riemann方程,且偏导数连续.所以F为圆内的解析函数,且F(z=f(zf(z的原函数存在,所以围道积分恒为零.Cauchy定理的证明我们来证明f(z的导数f(z连续.任取解析区域内一点z0,则在区域内存在z0的一个邻域|z−z0|<.在此邻域内Cauchy定理成立,可知在此邻域内f(z的各阶导数都存在并且连续(解析.于是,在解析区域内f(z连续,故可用Green公式证明Cauchy定理.Problems1.试按给定的路径计算下列积分: 2+i(10Rezdz,积分路径为: i.线段[0,2]和[2,2+i]组成的折线,ii.线段z=(2+it,0≤t≤1.√dz√,规定zz=1=1,积分路径为由z=1出发的: zCi.单位圆的上半周,ii.单位圆的下半周.(22.计算下列积分: (1|z|=1dz;z|dz|;zdz;|z|dz.z(2|z|=1(3|z|=1(4|z|=13.计算下列积分: 23 πz1sindz,C分别为: −14C1i.|z|=,2ii.|z−1|=1,iii.|z|=3,iv.|z|=R,R→∞.1(2eizdz,C分别为: 2+1zCi.|z−i|=1,ii.|z|=2,√iii.|z+i|+|z−i|=22,θiv.闭合曲线r=3−sin2.4(1z24.计算下列积分: (1|z|=2coszdz;zz2−1dz;z2+1sin(ezdz;zezdz.coshz(2|z|=2(3|z|=2(4|z|=25.计算下列积分: (1|z|=2sinzdz;z2|z|ezdz;z2sinzdz;z4z2(z2dz.+16ezdz;z3z(2|z|=2(3|z|=2(4|z|=26.(1计算积分|z|=1(2a取何值时,函数F(z=z0ez1a+3dz是单值的? zz24
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